函数基础2——函数的单调性、奇偶性、幂函数、二次函数

知能点全解：

知能点一： 函数单调性的定义 1、图形描述：

从函数yx2的图象（图1）看到：图象在 y轴的右侧部分是从左向右连续上升的，也就 是说，当x在区间[0，+)上取值时，随着x的 增大,相应的y值也随着增大，即如果任取x1,x20,，得到y1=有y1f(x)

f(x1),y2=f(x2),那么当x1=x2在[0,+ )上是增函数。

,y2=

f(x2),那么当x1y2。这时我们就说函数 2、定量描述 对于函数

f(x)f(x)f(x1)=x2在(-,0)上是减函数.

的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，

f(x1)f(x1)（1）若当x1<>

f(x2),则说f(x)f(x2),则说f(x)在区间D上是增函数； 在区间D上是减函数。

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数f(x)的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 特别提醒：

1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数yx2（图1），当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的，如图2。 2、函数的单调区间是其定义域的子集；

3、x1,x2应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

例 1 如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y以及在每一单调区间上，函数y

解：函数y其中yf(x)的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，

f(x)是增函数还是减函数。

y-5-2O135xf(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，

f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数。

知能点二：用定义证明函数的单调性

1

例 2 ：证明函数f(x)x则

33xR是增函数。

证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x1x2x2)

222∵x1∴∴

x2 ∴x1x20 ， 又∵x1x1x2x2(x1f(x1)f(x2)

22x22)23x2420,

f(x1)f(x2)0f(x)x3即

在R上是增函数。

x1x例 3：证明函数fx在0,1上是减函数

证明：设x1,x2是0,1上的任意两个实数，且x1fx1fx21x2x1111x1xxxxx21122xxxxx1x212121 x1x21xx12x1x2x1x21

x1x2∵x1x21 ∴x1x20 x1x20 x1x2-1 0 ∴fx1xx1fx20

所以函数fx在0,1上是减函数。

特别提醒：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： （1）取值，即设x1,x2是区间上的任意两个实数，且x1x2的正负，当正负不确定时，可以分区间进行讨论，判断正负；

（4）根据定义得出结论。 及时演练： 1、判断并证明下列函数的单调性 （1）（3）f(x)3x2f(x)x xR （2）（4）f(x)3x2f(x)x xR 2、讨论下列函数的单调性，指出其单调区间并予以证明 （1）fx（3）fx1x2 （2）fx （4）fx3x2 x2x3x3x23、判断下列各函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数 （1）y2x,x(0,) （2）y21x1,x(1,0] （3）y2x1 (,) （4）yxx1.(1,) 4、讨论函数

f(x)x2ax3在(-2,2)内的单调性 知能点三：判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论

2

1、函数yfx与函数yfx的单调性相反

1f2、当fx恒为正或恒为负时，函数yx与函数yfx的单调性相反

3、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。

例 4：求函数fx解：fx ∵a0xaxax2a0的单调区间。

xax2x

x，yax得单调递减区间是,0和0,，y2在R上单调递减

∴函数fx及时演练： xaxa0的单调区间是,0和0,。

1、下列函数中，在区间0,2上为增函数的是（ B ） A、y3x B、yx1 C、y21x D、yx 2、在,0上单调递减的函数是（ A ） A、yxx1 B、y1x2 C、y2x3 D、x2x2 3、函数yx2xx11的单调递减区间是 1,2和2, 。 04、已知fx,gx定义在同一区间上，fx是增函数，gx是减函数，且gx A、fxgx为减函数 B、f，则（ B ） xfgx为增函数 x C、fxgx为减函数 D、为增函数 gx5、fx2x3x2的单调减区间是 ,234和0,34 。 ybxaxc26、二次函数1,8yaxbxc的递增区间为,2，则二次函数的递减区间为 。 2x9x13，则使函数f27、已知函数fx2x是减函数的区间是 ,14 。 ；②y1f8、设fx是定义在区间U上的增函数，且fxyf0，则下列函数：①y1fxx③x2；④yf。 x中，是减函数的有 ①②④ （把序号填在横线上）知能点四：复合函数单调性的判断 对于函数yf(u)和ug(x)，如果ug(x)在区间(a,b)上是具

有单调性，当x(a,b)时，u(m,n)，且yf(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数yf(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表：

3

yf(u) u(m,n)ug(x) 增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ x(a,b) x(a,b) yf(g(x))以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。

例 5：求函数y解：由x2令 u函数u2004x02x2004x2，得x0的单调递增区间.

或x2004 ∴函数的定义域是,02004u,

x2004x2 则y 易知函数y,u在0,上是增函数，

2x2004x的单调递增区间是1002,

x2004x∵原函数的定义域为,02004所以函数yx2004xax2 ∴函数u的单调递增区间是2004,

的单调递增区间是2004bx(a0,b0)的单调性

b,a,.

拓展知识点：函数y,（1）单调增区间：0,（2）单调减区间：b,ab

b,a,0a

（3）图像的两条渐进线分别为x（4）图像如右：

0和yax

典型题型全解

题型一：利用函数单调性比较函数值的大小

例 6：如果函数fxxbxc2，对任意实数t都有f2t2f2t，比较f1,f2,f4的

大小。

解：由题意知，fx得对称轴为x及时演练 1、已知fx，故f1f3

f1f ∵fx在2,上是增函数 ∴f2当x4x,xR，的大小关系为 cba 。 f2f3f4，即f24

f时， fx为增函数，设a1xf1,bf4,c则a,b,c2，2、若x1,x23、函数f,0，且x1x2，函数fx，则fx1与fx2的大小关系为fx1，那么f0,ffx2。 xxpxq2对任意x均有f1xf1x1,f1的大小关系为 f1f0f1 。 题型二：利用函数单调性求参数的范围

例 7：已知fxx21ax2在,4上是减函数，求实数a2的取值范围。

解：要是fx在,4上是减函数，由二次函数的图像可知， 只要对称x1a4即可，解得a3。 及时演练： 1、若函数ymxb在,上是增函数，则有（ C ） A、b0 B、b0 C、m0 D、m4 0 2、若fxx2ax2与gxax1在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是（ D ） A、1,00,1 B、1,00,1 C、0,1 D、0,1 3、已知函数yxax522在1,上递增，则a的取值范围是 2, 。 则实数a的取值范围是 1,3 。 x的最小值为fa，24、已知函数fx5、函数fx6、函数fxx6x8,x1,a，并且f2x2ax0x1的最大值是a2，那么实数a的取值范围为 1,0 。 的取值范围是 25, 。 4xmx5在区间2,上是增函数，则f1题型三：利用函数单调性求函数的最值 例 8：（1）求函数y（2）已知A解：（1）由则yxxx1的值域；

1,bb1，对于函数fx12x121，若xA时，fxx1xA，求b的值。

x0x10得，函数的定义域为1,，而函数yx和y在1,上都是增函数，

x1得最小值为x1也是增函数，当x1时，它取得最小值，所以y1，即它

的值域为1,。 （2）函数fx12x121表示开口向上，顶点坐标1,1，对称轴x1的抛物线。

因此，当x1,b时，fx是增函数 ∴当xb时，fx取最大值fb，而fb1,b，

12 ∴fbb，即b121b。解得b1,或b3。 ∵b1， ∴b3。

及时演练： 1、函数yx1在2,2上的最大值与最小值分别为 3，0 。 2、已知函数fxx4x,x1,52，则这个函数的值域为 4,5 。 x2，则f题型四：函数单调性定义逆命题及其应用 逆命题：已知函数yfx在定义域的某个区间上为增函数（减函数），若x1（fx1fx1fx2x2）

f2例 9：已知函数y2x在0,上是减函数，试比较

f3f与f4a2a1的大小。

133解：aa1a244∵yfx在0,上是减函数 ∴

a23a1f

4及时演练： 1、函数fx2、fx3、若函数y2xmx3在2,上为增函数，在,2上为减函数，则m222= -8 。 x2ax1af在,2上为增函数，在2,上为减函数，则f2= 7 。 f1mfb0x在R上单调递减，且f2m，则实数m的取值范围是 ,1 。 ，则方程fx04、已知函数在区间a,b上具有单调性，且fa在区间a,b上（ D ） 0 A、至少有一实根 B、至多有一实根 C、没有实根 D、必有唯一实根 5、函数fx在,0和0,上递减，且f2f20，则fx15

的解集是 ,11,3 。 6、fx是定义在0,上的增函数，则不等式fx题型五：抽象函数单调性的判断 f8x2的解集为2,16 7例 10：已知函数fx的定义域为R，满足fx解：设bx1x2a1fx0，且gxfxc（c为常数）在

区间a,b上是减函数，判断并证明gx在区间b,a上的单调性。

，则bx1x2a

f∵gx在区间a,b上是减函数 ∴gx1又∵fxgx2即fx1c0fx2c 则fx11fx2

1fx ∴1fx1x2 即fx1fx2

∴gx在区间b,a上是减函数。 及时演练： 1、设函数fx的定义在R上的增函数，fxy成立，求函数Hx求证：fa2fxf若不等式fxy,f31。0fx21x2x1的最小值为 2 。 2、已知函数fx在区间,上是增函数，对实数a,b满足abfbf。 afb f3、已知函数fx，当x,y R时，恒有fxyxfy，当x0时，fx0，试判断fx在0,上的单调性，并证明你的结论。 6

函数的奇偶性（教师用）

知能点全解：

知能点一：函数奇偶性定义 1、图形描述： 从函数yx2的图像（右图一）和函数yx21x的图像

（右图二）看到：函数y函数y1x的图像是关于y轴对称，

的图像是关于原点对称的。我们把函数图

像关于y轴对称的这一类函数叫做偶函数；图像是关于原点对称的这一类函数叫做奇函数。 2、定量描述

一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，则称fx为偶函数；如果都有f-xf-fx，则称fx为奇函数；如果f(x)f(x)与f-x-fx同时成立，那么函数

x既是奇函数又是偶函数；如果f(x)f(x)与f-x-fx都不能成立，那么函数fx既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

如果函数fx是奇函数或偶函数，则称函数yf(x)具有奇偶性。

特别提醒：

1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。 2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：

（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步； （2）判断fxfx与fxfx这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。

例 1：判断下列函数的奇偶性：

（1）fx（3）fxx1x11x2； （2）fxx11x1x；

x22； （4）

x1x x0fx

x1x x0x1x1f解：（1）函数的定义域xR，对称于原点.

∵fxx1x1x1x1∴fx（2）∵

x1x1x

是奇函数

1x1x≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点 ∴fx既不是奇函数也不是偶函数。

，关于原点对称。又∵x的定义域为［－1，0）∪（0，1］

1(x)x21x20,1x1,（3）由得 ∴fx0且x4.|x2|20,x20 从而有fx1x2x22=

1xx2，这时有fx=－

1xx2=－fx，故fx为

奇函数。

（4）∵函数fx的定义域是,00,，

当x当x0时，x00， ∴fxx1xx1xfx

时，-x0，∴fxx1xx1xfx

故函数fx为奇函数。

7

及时演练： 1、已知五个函数：①y1x；②y2x1；③y(x1)2；④f(x)(x)2；⑤y1(xR)。其中奇函数的序号为： ① 。 2、判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)1x121x2x12 （2）xxf(x)2xx1x1x22(x0)(x0)x1x1 （3）fx 12 （4）fx 2（1）既是奇函数又是偶函数； （2）奇函数； （3）奇函数； （4）奇函数。 3、已知函数的定义域为,00,，且满足2fx1fx，是判断fxx奇偶性。 知能点二：函数具有奇偶性的几个结论 1、yfx是偶函数yfx的图像关于y轴对称；y于原点对称。

2、奇函数fx在x0fx是奇函数yfx的图像关

有定义，必有f00。

3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

4、fx,gx是定义域为D1,D2且D1D2要关于原点对称，那么就有以下结论： 奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。 6、多项式函数P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数多项式函数P(x)是偶函数P(x)的偶次项的系数和常数项全为零； P(x)的奇次项的系数全为零。

例 2：下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定通过原点；③偶函数

的图像关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是fx=0(x为： ③ 。

R)，其中正确命题的序号

例 3：若函数ykxb(k0)是奇函数，则b

则b0 ；若函数yaxbxc(a0)为偶函数，

2 0 。 及时演练： 1、在下面的四幅图中，只画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法依据。 2、直角坐标系内，函数yx23|x|1的图像关于 y轴 。 3、定义在R上的奇函数f(x)一定满足关系式 ( D ) A、f(x)f(x)0 B、f(x)f(x)0 C、f(x)4、函数f(x)f(x)0 D、 f(x)f(x)0 是奇函数，且在,0上是增函数，则下列结论正确的是（ D ） 8

A、f05、设f(x)0 B、f1f1 C、f0f1 D、f1f02 是R上偶函数，且在0,是减函数，若x1f，且x1x20，则（ A ） A、fx1x2 B、fx1ffx2 0C、fx1fx2 D、fx1与fx2的大小不确定 x是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程fxf6、已知函数y的所有实根之和为 0 。 7、已知f(x)是定义在R上的任意一个增函数，Gxxfx，则Gx必定为（ A ） A、增函数且为奇函数 B、增函数且为偶函数 C、减函数且为奇函数 D、减函数且为偶函数 8、若fxa1x22ax3为偶函数，则在,3上函数的单调性为 在区间,0是增函数，在区间0,3上是减函数 。 9、已知函数则满足fx10、若fxf(x)0是奇函数，定义域为xxR且x0，又f(x)在0,上为增函数，且f10，的x的取值范围是 1,01, 。 2k2xk1x32是偶函数，则f(x)的递减区间是 0, 。 11、已知函数fxm1x2mx3为偶函数，则fx在5,2上是（ A ） A、增函数 B、减函数 C、非单调函数 D、可能是增函数，也可能是减函数 知能点三：抽象函数的奇偶性

例 4：已知函数f(x)对一切x,yR，都有f(xy)f(x)f(y)，

（1）求证：f(x)是奇函数；（2）若f(3)a，用a表示f(12) 解：（1）显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称在f(xy)f(x)f(y)中， 令yx，得f(0)f(x)f(x)，令xy0，得f(0)f(0)f(0)， ∴f(0)0，∴f(x)f(x)0，即f(x)f(x)， ∴f(x)是奇函数 （2）由f(3)a，f(xy)f(x)f(y)及f(x)是奇函数， 得f(12)2f(6)4f(3)4f(3)4a

及时演练： 1、函数fx,x偶函数。 2、设函数ff(x)R。若对于实数x1,x2，都有fx1x2fx1x22fx1fx2。求证：x1,x2f(x)为的定义域关于原点对称，且对于定义域内的任意f(x)x1x2，有x1x21ffx1fx2，求证：xfx21为奇函数。 R3、定义在实数集上的函数fx，对任意x,y（1）求证：f01；（2）判断函数f，都有fxyfxy2f且f0xfy，0。 x的奇偶性。 典型题型全解

题型一：利用函数的奇偶性求函数值

例 5： （1）若f(x)ax（2） 若

解：（1）∵fx ∴fcf(x)ax44bx22，且f(c)5，求f(c)的值；

3bx22，且f(c)5，求f(c)的值；

42axbx2axbx2fx ∴函数

f(x)为偶函数

fc5

9

f(x)axbx2（2）∵3f(x)axbx23 ∴fxfx4

∴fc值。

解：由fx2 ∴f7.5 ∵

f(x)ffc4 故fc1

x1时，f例 6：设f(x)是定义在R上的奇函数，fx2fx，当0fxx，求f7.5的

x，将其中的x用x2替换，可得：fx4f3.5f40.5ffx2fx

43.50.5

是定义在R上的奇函数， ∴f0.5f0.5 ∵当0x1时，fx3x ∴f7.5f0.50.5及时演练： 1、已知fx2、已知3、若f(x)f(x)xaxbx8,f5210,则f2 -26 。 f是定义在R上的奇函数，且fx312x3，又f1f5，则f752 -5 。 是定义在R上的奇函数，且fx2f(x),xR3fx，f12f3f2004 0 。 4、设函数为奇函数，f(1),f(x2)f(x)f(2)，则f(5) 。 5、函数fxxax,f13，则ff(x)1= -3 。 f(x)6、如果奇函数在区间3,7上是增函数，且最小值是5，那么在7,3上是（ B ） A、增函数且最小值为-5 B、增函数且最大值为-5 C、减函数且最小值为-5 D、减函数且最大值为-5 7、若fx、gx都是奇函数，Fxafxbgx2在0,上有最大值5，则Fx在,0上有（ C ） A、最小值-5 B、最大值-5 C、最小值-1 D、最大值-1 题型二：利用函数的奇偶性求函数的解析式

例 5： 已知f(x)是R上的奇函数，且当x时，f(x)x(1解：设x03x)，求

f(x)的解析式。

，则x0 ，用x替换

f(x)x(133x)中的x

得：fx∵

f(x)x13xx1x

f是R上的奇函数 ∴fxxx13x 即fxx13x

当x0时 又∵f(x)是R上的奇函数 ∴fx

0

综上所述：

x(13x) (x0)f(x)0 (x0) 3x(1x) (x0)及时演练： 1、若函数fx是偶函数，当1x0时，fxx1，则0x1时，fx 1x 。 322、已知fx是定义在R奇函数，且当x3、若奇函数y0时，fxx2x1，则32x2x1fx 0。 3x2x1fxxR且x0，当x0,时，fxx1，那么使得xfx0的x的取值范围是 1,00,1 。 10

4、设fx为偶函数，gx是奇函数，且fx5、已知函数fx是奇函数，当1x4gx21x1，则fx 1x12 ；gx xx12 时，fxx4x5，则当4x1时，函数fx的最大值是 -1 。 题型三：利用函数的奇偶性求函数的参数 例 6：已知fx∵fx∴

xaxbx121x1奇函数，求a,b的值。

解：∵函数fx是奇函数 ∴fxxafx

xaxbx12x2bx1xaxaxbx12 fxxaxbx12

xaxbx12xbx12 ∴aabb 解得：a0b0

及时演练： 1、已知函数fxaxbxc(2a3x1)ax1bxc22是偶函数，则a 1 ；b 0 。 2、已知奇函数fx a,b,cZ,f12,f23,求a,b,c的值。 11

幂函数（教师用）

知能点全解：

一、定义：一般地，我们把形如yxaaR的函数叫做幂函数，其中a为常数。

二、性质：

1、所有的幂函数在0,都有定义，并且图像都通过点1,1； 2、如果a0，则幂函数的图像经过原点，并且在区间0,上为增函数；如果a0，则幂函数的

图像不经过原点，并且在区间0,上为增函数 3、幂函数的图像及其奇偶性： 令aqp（p、q互质） a0 0a1 a1 p、q是奇数 q yx（p、p是奇数、q是偶数 q互质） p p是偶数、q是奇数 yx yx0 三、如右图a,b,c,d,e,f的大小关系为： abcde f典型题型全解

题型一：幂函数的基本概念和性质的辨析 及时演练： 1、下列函数中，定义域和值域不同的是（ D ） 11A、yx35 B、yx2 2C、yx3 D、 yx3 2、下列命题中正确的是（ C ） A、当n0时，函数yxn的图像是一条直线 B、幂函数的图像都经过点0,0,1,1 C、幂函数的图像不可能出现在第四象限 D、若幂函数yxn是奇函数，则yxn在其定义域上一定是增函数 12

3、下列函数中，不是幂函数的是（ C ） A、yx B、yx3 C、y2x D、y4、下列函数中，定义域为R的是（ C ） 3x1 A、y5、若x2 B、y 13x3 C、y2x D、y 。 x1x1x有意义，则x xx1或x16、fxmm12的定义域为 R 。 1x7、值域是0,的函数是（ B ） 1 A、y52x B、1y32 C、y12x D、yx3 题型二 ：幂函数的图像 例 1：右图中是幂函数y的n依次为（ B ） A、2,C、12xn在第一象限的图像，已知n取2,121212四个值，则相应于曲线C1,C2,C3,C411,,22212 B、2, D、2,,12,212

,2,2,,2, 及时演练： 1321、将yx2,yx,yx,yx,yx2,yx3,yx2,yx1填入对应图像下面。 n112、y xm（m为不为零的偶数，n为奇数，且mn0），那么它的大致图像是（ D ） （A） （B） （C） （D） 3、在同一坐标系内，函数yxa（a0）和yax1a的图像应是（ B ） （A） （B） （C） （D） 13

4、函数yx1nnN,n2的图像大致形状是：（ A ） （A） m（B） n（C） （D） 5、幂函数yx（m、n为互质的正整数）图像如图，则m、n之间的关系为（ C ） mn1 B、nmn A、m、n为奇数，0为奇数，m为偶数，mn1 mn1 C、n为奇数，m为偶数，011 D、n为偶数，m为奇数，06、函数y7、使x2x33与yx3的图像关于 yx 对称。 。 上方，那么a的取值范围为 a1 。 xx成立的x的取值范围为 xxa1且x08、如果幂函数y9、幂函数yxp的图像，当0xqx1时，在直线yx与y的图像都经过定点 1,1 ，若它们在第一象限部分关于直线y1 。 对称，则p,q应满足的条件是 pq题型三 ：函数值的大小比较 例 2 ：比较下列各组数的大小 （1）3和3.1；（2）8223378718和92 ；（3）323和6232； （4）4.13.1325,3.8233和1.95

解：（1）函数y8（2）

78x7832在0,上为减函数，又3783.1，所以332。

77771823，函数

231yx在0,上为增函数，又，则81122381981，所以88189。

2（3）3322333,26262335232632，函数y23x3在0,上为增函数，

23又

261，则25363223，所以6。

25（4）4.151,3.81231，1.90；所以4.13.82331.95。

及时演练： 1、比较下列各组数的大小 （1）a2、a3、a11.5  a（a1.50）； （2）0.2323  0.33； （3）0.30.4  0.40.3 ba2221.23,b1.13,c0.943413，则它们的大小关系为 c14 。 。 3,b4143,c2，则它们的大小关系为 caba4、已知0a1，则aa  aa。 14

题型四 ：综合运用 及时演练： 1、已知幂函数的图像经过P8,141，求这个函数的解析式，并判断其奇偶性。 42323解：设幂函数为yxa，∴8a 解得：a23 。所以函数的解析式为y23x 函数的定义域为x2、已知幂函数fxx0 ∵fm2m32xxxfx ∴函数yx23为偶函数。 xmZ为偶函数且在区间0,上是减函数。 af （1）求fx的解析式； （2）讨论xxbxfx的奇偶性。 x3 1所以f解：（1）由幂函数在0,上是减函数，可知m2 ∵mZ2m302m3， 解得1 ∴x0,1,2 由题意知，m2af是偶数 ∴m，xax2xx 4 （2）由（1）可知， x 故①若a③若a0,b0xbxfxax2bx3bx3 ，fx为非奇非偶函数；②若a0,b0，fx为奇函数； ，fx为即奇又偶函数 0,b0，fx为偶函数； ④若a0,b015

二次函数（教师用）

知能点全解：

一、定义：形如fx 1、一般式：fx 3、两根式：fxaxbxca0的函数叫做二次函数。

22二、二次函数的三种表达形式：

axbxca0

2 2、顶点式：fx0axmna0

axx1xx2a

b2a三、二次函数的图像和性质： 1、图像：二次函数fxaxbxca0的图像是以x22为对称轴的抛物线，其开口方向

b4acb,由a的符号确定，顶点坐标为2a4a。

b2a2、性质：二次函数fxaxbxca0的单调性以顶点坐标的横坐标x2为分界，当a0时，fx的单调递减区间是,b2a，fx的单调递增区间是,2ab；

,2ab当a0时，fbx,的单调递增区间是2a，fx的单调递减区间是ab2m

四、二次函数的对称性： 如二次函数y数yffx恒满足fmxafbmx，则其对称轴为x；特别地，当二次函

x恒满足fxafax(或f2axfx)，则其对称轴为xa。

五、函数的零点：

1、定义：一般地，如果函数yfx在实数a处的值等于零即fa0，则a叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）是函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 2、二次函数的零点：

（1）当0时，二次函数有两个零点；

（2）当0时，二次函数有一个二重零点或二阶零点。 （3）当0时，二次函数无零点。 六、二分法：

1、定义：对于区间a,b上连续的，且fafb0的函数yfx，通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

2、用二分法求函数零点的近似值

第一步：确定区间a,b，验证：fafb0，给定精确度； 第二步：求区间a,b得中点x1； 第三步：计算

ffx1；若

fx1=0，则x1就是函数零点；若

x1

fafx1(或b)0，则令bx1；若

x1fb0，则令a 第四步：判断是否达到精确度，即若

四步。

七、对于函数fx2ab，则得到零点近似值a，否则重复第二、三、

axhka0,xp,q的最值问题，最好用图像法，尤其当“轴变区间定”

和“轴定区间变”时，这两种情况利用图像作参考找出讨论时分类的标准。“轴定区间也定”这种情况也可以不利用图像，若hp,q，则xh时有最小值k，最大值是fp与fq中较大者；若

16

hp,q，则fp与fq中较小者为最小者，较大者为最大值，即最值在区间的端点处。

bxc0八、我们在解一元二次不等式ax2法见下表： 和ax2bxc0时，二次项系数a都变为正数，具体解

bf24ac 0 0 0 xaaxbxc20图像 b2a 无解 方程ax2bxc的解 0x1b2a,x2b2a x0 axbxc02的解 xx1或xx2 xx0 xR axbxc02 x1xx2 0  九、一元二次方程ax2bxcx1x2k 根的分布 图像 根的分布，具体情况见下表： kx1x2 x1kx2 充要条件 根的分布 图像 f f fkb2a00kkb2a00k k0 x1,x2k1,k2 k1x1k2x2k3在k1,k2内有且仅有一个根 fk1fk2 0或0且b2ak1,k2 充要条件 fk10fk02bk1k22a0 fffk10k20 k30fk10k1k2或bk12a2fk20或k1k2bk222a 十、方程在给定区间是否有实数解得判断方法： 1、确定函数的图像在区间a,b上是连续不间断的； 2、计算fa、fb的值并判断其符号； 3、若fafb0，则有实数解；

4、有些问题除用上述方法外还需结合函数的图像来作出判断。 十一、函数零点个数的确定方法：

1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；

17

2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间a,b上是连续不间断的，且fafb0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

随堂演练：

一、选择题： 1、二次函数

A、b2af(x)ax2bxc(a0)，若f(x1)f(x2)(x1x2)，则f(x1x224acb4a)2等于（ ）

B、 ba C、c D、

2、已知函数f(x)4x2mx5在区间[2,)上是增函数，则f(1)的范围是（ ）

A、f(1)25 B、 f(1)25 C、 f(1)25 D、 f(1)25

3、设x,y是关于m的方程m22ama60的两个实根，则(x1)2(y1)2的最小值是（ ） A、494 B、18 C、8 D、

234

4、下列图中yaxbx与yaxb(ab0)的图像只可能是（ ）

5、已知函数yxbxc且f(1x)f(x)，则下列不等式中成立的是( )

A、f(2)f(0)f(2) B、 f(0)f(2)f(2) C、 f(0)f(2)f(2) D、 f(2)f(0)f(2) 6、已知函数f(x)mx2(m3)x1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值区间是（ ）

A、(0,1] B、(0,1) C、(,1) D、(,1] 7、设b0，二次函数yax2bxa2a1的图像为下列之一，则a的值为（ ）

2A、 1 B、 -1 C、

二、填空题： 1、函数y2x22、不等式x23、函数

125 D、

125

5x2的图像与y轴交点的坐标是 ；当x 时，y有最小值 5xm0的解集是x7x2，则m2 。

f0f(x)axbxc(a0,b0,c0)的图像的顶点位于第 象限。

4、二次函数fx满足f2xf2x，又fx在0,2上是增函数，且fa，那么a的

取值范围为 。

5、二次函数yfx的图像过原点，且顶点为2,8，则fx6、函数

f(x)ax2ax2b(a0)在2,3上有最大值

2 。 ，那么

axbxc025，最小值2，则a,b的值为 ，且

a07、已知二次方程ax2bxc为 。 8、二次不等式ax29、函数fx20的两个实根是

2,3的解集

bx202的解集是11,，则ab23 。

x2axa2a在区间,3上单调递减，则实数a的取值范围是 。

18

10、函数fxx2ax0x1的最大值是a22，那么实数a的取值范围是 。

1与011、设函数fxxxa(a0)，若fm02，则fm的关系为 。

12、方程mx22mx10有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______ 13、函数yx2(a2)x3,xa,b的图像关于直线x1对称，则b=________ 14、方程x22ax40的两根均大于1，则实数a的取值范围是 。 15、不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是________ 16、二次函数yax2bxc的图像如图所示，记Nabc2ab,

Mabc2ab，则M与N的大小关系是_________________

三、解答题：

1、已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为(1,3)。 （1）若方程f(x)6a0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。

2、不等式x42x2a2a20恒成立，求实数a的取值范围。 3、设f(x)ax2bxc(abc),f(1)0,g(x)axb （1） 求证：函数f(x)与g(x)图像有两个交点； （2） 设

f(x)与g(x)图像交于A,B两点，A,B在x轴上射影为A1,B1，求

3A1B1的取值范围；

（3） 求证：当x时，恒有

f(x)g(x)

4、已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(12)的值。 5、设函数f(x)ax22ax1在3,2上有最大值4，求实数a的值。 6、已知函数

f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且fxx2x

2 (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|； (Ⅲ)若hx＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．

参：

一、选择题：1-7、DACDCDC 二、填空题： 1、0,2，

5a1a1,,； 2、14； 3、四； 4、0,4； 5、2x8x； 6、；7、 b0b34892xx2或x3 ； 8、14； 9、,3； 10、1,0； 11、fm10。

12、1,0； 3 13、6； 14、2,1565355； 215、2,2 16、M＜N

三、解答题： 1、（Ⅰ）

f(x)x2x.

3)(23,0).

（Ⅱ）当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(,22、a2或a1 3、（1）略；（2）3,2322x；（3）略。 4、0； 5、－3或；

81237、（I）g(x)＝x2

. (II)原不等式的解集为[-1, ]；(III) 0

19