江西上饶市重点中学2011届高三第二次联考数学理科

准考证号 姓名

（在此卷上答题无效）

绝密★启用前

上饶市重点中学2011届高三第二次联考

数学试题（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。总分150分，时间：120分钟。 考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。3．考试结束后，监考员将试题、答题卡一并收回。

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1、已知i为虚数单位，若(3i)iabi（a,bR），则点(a,b)位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若“axa2”是“x3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 A. a3 B. a3 C.a1 D. a1

3、已知圆心在x轴上，半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的

方程是

A．(x10)2y25 C．(x10)2y25

B．(x5)2y25 D．x2y1025

x2y2x2y2４.与曲线1共渐近线的双曲线方程为 1共焦点，而与双曲线

362449x2y2x2y2y2x2y2x21 B、1 C、1 D、1 A、

916169916169 上饶市重点中学2011届高三第二次联考文科数学试卷 第1页（共4页）

5、已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为 Ａ．y1.23x0.08 Ｃ．y1.23x4

Ｂ．y1.23x5

Ｄ．y0.08x1.23

3

2

6、若a﹥3，则函数f(x)=x-ax+ 1 在（0，2）上的零点个数是

A. 0 B. １ C. 2 D. 3 7、若某空间几何体的三视图如图 所示，则该几何体的体积是

DFA第7题CE主视图B俯视图21左视图21A． B．2

32 C．1 D．

3

2

A

8、如图，在△ABC中,BD1DC,AE3ED，若ABa,

ACb，△BDE的面积为1，且∠BAC=，则ab的值为

6A．63 B．123 C．24 D． 243

B

D

C

9. 已知数列：,,,,,,,,,,...,依它的前10项的规律，这个数列的第100项a100满足

A．01213214321112123123411 B. 10 2210、四边形ABCD中，ABADCD1，BD2，BDCD.将四边形ABCD沿 对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论（1）

1ACBD;（2）BAC90;（3）四面体ABCD的体积为,其中正确的个数是

3Ａ．0

Ｂ．1 Ｃ．2

Ｄ．3

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

注意事项：第II卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

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二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知集合A={0，2，α² }，B={1，α}，若A∪B={0，1，2,4}，则实数α的值为 ． 12.如图所示的程序框图，若输入n=-6，则输出的n值为 ．

n=n+3 fxxn结束 输出n 输入n 开始

13.定义行列式运算 否 f（x）在R上单调递增？ 是 nlog9nx1x2y1y2x1y2x2y1,将函数f(x)31cosx的图象向右平移sinx(0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 ．

14．已知点D是等腰直角三角形△ABC的重心，B=

，AB=1，点P在△ADC所在的平面2区域内（包括边界），且BPxBAyBC,则2x+y的取值范围是 ． 15．．给出下列四个命题：

2①命题“对任意的xR,x20”的否定是“存在xR,使x〈； 0”②定义在[0,]的函数f(x)=sinx, 若0x1x2, 则必存在x(x1,x2),使2222(x1x2)cosxsinx1sinx2成立；

③若a,b[0,1]，则不等式ab④设函数f(x)xsinx，x[1成立的概率是；

4422,]，若f(x1)f(x2)，则不等式x1x2必定22成立．

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号） 三、解答题（解答应写出必要计算过程，推理步骤和文字说明，共75分）

16、（12分）在直角坐标系xoy中，若角、的始边都为x轴的非负半轴，

11点P（，cos2)与点Q(sin2,1)分别在、的终边上.且OPOQ。

22(1)求cos2的值； (2) 求sin()的值

17．（12分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a2b3a3b27. （1）求{an}，{bn}的通项公式；

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（2）记cnan2010，nN*，An为数列{cn}的前n项和，当n为多少时An取得最大值a或最小值？（3）求数列n的前n项和Sn.

bnA １８．现有一块棱长为a的正方体形的木料，如图，NBPD1QB1C1DMCM、N、P分别为AD、CD、BB1的中点．现要沿过M、 N、P三点的平面将木料锯开。

（1）求作锯面与平面AA1C1C的交线GH，其中G、H 分别在C1C、AA1上（写出作图过程即可，不必证明）A, 1并说明GH与平面ABCD的关系，然后给出证明。 （2）若Q为C1D1的中点．求点P到平面MNQ的距离． １９．（１２分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训,现 分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽 取4次,绘制成茎叶图如下：

（Ⅰ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,用列举 法计算甲的成绩比乙高的概率;

（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由. ２０．(13分)已知椭圆C:xa22

甲 乙 9 7 7 8 1 2 8 5 3 5 yb221(ab0)经过点P(2,1),离心率e32,直线l与椭圆

C交于A,B两点(A,B均异于点P),且有PAPB0.

(1)求椭圆C的方程； (2)求证：直线l过定点. 2１.(1４分)已知函数f(x)=alnx+x(a为实常数).

2

(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；

(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.

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上饶市2011届高中数考试题（文科答案）

一．(1)—(10) ABCDA BCDBB

15二．（11）.2 （12）. （13）. （14）. [1，2]（15）．①②④

2611116．解：（1）因为OPOQ，所以sin2cos2，„„„„„2分

222112即(1cos2)cos2，所以cos2， „„„„„„„„4分 2231． „„„„„„„„6分 32122 （2）因为 cos，所以sin，

33121所以点P(,)，点Q(,1)， „„„„„„„„8分

2334312 又点P(,)在角的终边上，所以sin，cos ．

235531010同理 sin，cos， „„„„„„„10分

1010所以cos22cos12

∴sin()sincoscossin410331010()．„„12分 510510101dq2717．解：（1）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且

12dq7解得d2，q2． „„„„„„„„„„„2分 所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1． „„„„„„„„„„4分 （2）因为cnan20102n20110n1005.5，

所以，当1n1005时，cn0，当n1006时，cn0. „„„„„„„„6分

所以当n1005时，An取得最小值. „„„„„„„„„„„7分 （3）

352n32n1an2n1n1．Sn112n2n1 ①„„„„„„9分

2222bn2 上饶市重点中学2011届高三第二次联考文科数学试卷 第5页（共4页）

2Sn2352n32n1n3n2② ②-①得 222112n32222n1n1Sn222n2n12222n16n1。„„12分

2222212n112

18. 解：（1）设MN与BC的延长线相交于点F，连PF与CC1相交于点G，设NM与BA的延长线相交

于点E，连PE与AA1相交于点H，连GH，

直线GH即为平面MNP与平面AA1C1C的交线, „„„2分 GH∥平面ABCD,下面给出证明. „„„„„3分 ∵CG∥BP ∴FG：GP=FC：CB

D同理可证EH：HP=EA：AB ME∵AC∥EF ∴FC：CB = EA：AB

A∴FG：GP=EH：HP

H∴GH∥EF又GH平面ABCD,EF平面ABCD

∴GH∥平面ABCD „„„„„„„„6分 （2）∵BB1∥QN， BB1 平面MNQ，NQ平面MNQ， D1FNCGBPQC1∴BB1∥平面MNQ， „„„„„„7分 A1B1∴点P到平面MNQ的距离等于点B到平面MNQ的距离。„„„9分

设BD∩MN=T．∵平面MNQ平面ABCD，∴由BT⊥MN得BT⊥平面MNQ，„10分

33∴点P到平面MNQ的距离为BT=BD2a． „„„„„„„„12分

4419、解:（Ⅰ）由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为:

甲:82 81 79 88 乙:85 77 83 85 „„„„„„2分 记从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个为(x,y),

用列举法表示如下:（82，85），（82，77），（82，83），（82，85），（81，85），（81，77）， （81，83），（81，85），（79，85），（79，77），（79，83）,(79,85),(88,85),(88,77), (88,83),(88,85) „„„„„„„„„„„４分

甲的成绩比乙高的概率为

41 „„„„„„„„„„６分 1（注：只写最后一步给2分）

（Ⅱ）本小题的结论唯一但理由不唯一,只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分.

(1)派乙参赛比较合适, „„„„„„„„„„9分

上饶市重点中学2011届高三第二次联考文科数学试卷 第6页（共4页）

理由如下:

甲的平均分x甲82.5,乙的平均分x乙82.5,甲乙平均分相同;

2又甲的标准差的平方(即方差)S甲15,

222乙的标准差的平方(即方差)S乙 „„„1０分 14.33, S甲S乙甲乙平均分相同,但乙的成绩比甲稳定, 派乙去比较合适。 „„„„1２分 (2)派乙去比较合适,理由如下:

从统计学的角度看,甲获得85分以上(含85分)的概率P1乙获得85分以上(含85分)的概率P21 421, 42甲的平均分x甲82.5,乙的平均分x乙82.5,平均分相同;派乙去比较合适. (3)若学生或从得82分以上(含82分)去分析: 甲获得82分以上(含82分)的概率P121, 乙获得82分以上(含82分)的概率42P23, 4甲的平均分x甲82.5,乙的平均分x乙82.5,平均分相同;

派乙去比较合适.(同样给此问的分).

2０.(Ⅰ)解：易知

24a221b21,eca32,a2b2c2,∴a28,b22,c26.

故方程为

x8y21. ………………………2分

(Ⅱ)证明：设l：ykxm与椭圆C的方程联立,消去y得,

(14k2)x28kmx4m280.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x28km14k2,x1x24m814k22. ……………………4分

PAPB(x12,y11)(x22,y21)

(x12)(x22)(y11)(y21)(x12)(x22)(kx1m1)(kx2m1)(1k2)x1x2

上饶市重点中学2011届高三第二次联考文科数学试卷 第7页（共4页）

8km

12k16km5m2m314k22212k16km(5m3)(m1)14k22(6k5m3)(2km1)14k20

∴(6k5m3)(2km1)0. …………………7分 若6k5m30,则l：ykx6536k35k(x),

5563 ∴直线l过定点(,). …………………8分

5若2km10,则l：ykx2k1k(x2)1,

∴直线l过定点(2,1), 即为P点(舍去). …………………9分 若斜率k不存在,易知x,符合题意. ………………11分

56536综上,直线l过定点(,) ……………13分

52(x21)0， 2１．（1）当a2时，f(x)x2lnx，当x(1,)，f(x)x2故函数f(x)在(1,)上是增函数． „„„„„„„„„„„„„３分

2x2a(x0)，当x[1,e]，2x2a[a2,a2e2]． （2）f(x)x若a2，f(x)在[1,e]上非负（仅当a2，x=1时，f(x)0），

故函数f(x)在[1,e]上是增函数，此时[f(x)]minf(1)1． „„„„„„„4分 若2e2a2，当xaa时，f(x)0；当1x时，f(x)0，此时f(x)22是减函数； 当

axe时，f(x)0，此时f(x)是增函数． 2 上饶市重点中学2011届高三第二次联考文科数学试卷 第8页（共4页）

故[f(x)]minf(aaaa)ln()． „„„„„„„5分 2222若a2e2，f(x)在[1,e]上非正（仅当a2e2，x=e时，f(x)0），故函数f(x)在[1,e]上是减函数，此时[f(x)]minf(e)ae2． „„„„„„„6分

综上可知，当a2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1； 当2e2a2时，f(x)的最小值为

aaaa； ln()，相应的x值为2222当a2e2时，f(x)的最小值为ae2，相应的x值为e． „„„„„„９分 （3）不等式f(x)(a2)x， 可化为a(xlnx)x22x．

∵x[1,e], ∴lnx1x且等号不能同时取，所以lnxx，即xlnx0，

x22x因而a（x[1,e]） „„„„„„„„„„11分

xlnxx22x(x1)(x22lnx)令g(x)（x[1,e]），又g(x)； „„„„1２分

xlnx(xlnx)2当x[1,e]时，x10,lnx1，x22lnx0，

从而g(x)0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在[1,e]上为增函数， 故g(x)的最小值为g(1)1，所以a的取值范围是[1,)． „„„„1４分

上饶市重点中学2011届高三第二次联考文科数学试卷 第9页（共4页）