离散数学形成性考核作业

离散数学作业1

姓 名：王坤宇 学 号：763 得 分： 教师签名： 离散数学集合论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2009年4月26日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。

一、单项选择题

1．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( B )．

A．{a，{a}}A B．{ a }A C．{2}A D．A 2．设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ B ）．

A．{2}B B．{2, {2}, 3, 4}B C．{2}B D．{2, {2}}B 3．若集合A={a，b，{ 1，2 }}，B={ 1，2}，则（ D ）．

A．B A B．A B C．B A D．B A 4．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( C )．

A．{{1}, {a}} B．{,{1}, {a}} C．{,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }} 5．设集合A = {1，2，3}，R是A上的二元关系，

R ={a , baA，b A且ab1}

则R具有的性质为（B）．

A．自反的 B．对称的 C．传递的 D．反对称的 6．设集合A = {1，2，3，4，5，6 }上的二元关系R ={a , ba , bA，且a =b }，则R具有的性质为（D）．

A．不是自反的 B．不是对称的 C．反自反的 D．传递的 7．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系

R = {1 , 1，2 , 2，2 , 3 ，4 , 4}， S = {1 , 1，2 , 2，2 , 3，3 , 2，4 , 4}，

则S是R的（D）闭包．

A．自反 B．传递 C．对称 D．以上都不对 8．设集合A={a, b}，则A上的二元关系R={，}是A上的(C )关系．

A．是等价关系但不是偏序关系 B．是偏序关系但不是等价关系 C．既是等价关系又是偏序关系 D．不是等价关系也不是偏序关系 9．设集合A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}上的偏序关系

1 的哈斯图如右图所示,若A的子集B = {3 , 4 , 5}，

3 2 则元素3为B的（C）．

A．下界 B．最大下界 4 5 C．最小上界 D．以上答案都不对

10．设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：

f = {1 , 2，2 , 1，3 , 3}， g = {1 , 3，2 , 2，3 , 2}， h = {1 , 3，2 , 1，3 , 1}，

则 h =（B）．

（A）f◦g （B）g◦f （C）f◦f （D）g◦g

二、填空题 1．设集合A{1,2,3},B{1,2}，则AB= {1，2，3} ，AB= {1，2} ． 2．设集合A{1,2,3},B{1,2}，则P(A)-P(B )={3,{1,3},{2,3}{1,2,3}} ，A B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．

3．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 210 ． 4．设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R从A到B的二元关系，

R ={a , baA，bB且2a + b4}

则R的集合表示式为{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<1,3>}．

5．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}， A到B的二元关系

R＝{x,yy2x,xA,yB} 那么R－1＝{<8,4>,<6,3>} 6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，则R具有的性质是 反自反性 ．

7．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，若在R中再增加两个元素 { < d, c>, } ，则新得到的关系就具有对称性． 8．设A={1, 2}上的二元关系为R={|xA，yA, x+y =10}，则R的自反闭包为 {<1,1>, <2,2>} ．

9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含<1,1>, <2,2>, <3,3> 等元素．

10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是 f={<1,a>,<2.b>}或g={<1,b>,<2.a>} ．

三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

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★ 形成性考核作业 ★

1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则 (1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系．

参考测试2类似题答案~

2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R1-1、R1∪R2、R1∩R2是自反的” 是否成立？并说明理由．

参考测试2类似题答案~

3．设R，S是集合A上的对称关系，判断R∩S是否具有对称性，并说明理由．

参考测试2类似题答案~

4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f是否构成函数f：AB，并说明理由．

(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2)f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}； (3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．

答：（1）因为<1, 4> f，<1, 8> f，不满足函数的单值性，所以f不是函数。 （2）因为4不属于Dom（f），不满足函数的单值性，所以f不是函数。 （3）因为f满足函数定义，所以f是函数。

四、计算题

1．设E{1,2,3,4,5},A{1,4},B{1,2,5},C{2,4}，求：

(1) (AB)~C； (2) (AB)- (BA) (3) P(A)－P(C)； (4) AB． 答：~C={1，3，5}

(1) (AB)~C={1，4}{1，3，5}={1，3，4，5}

3

(2) (AB)- (BA)= {1，2，4，5} - {1，4}={3，5} (3)P(A)= {φ，1，4，{1}，{4}，{1，4}} P(C)= {φ，2，4，{2}，{4}，{2，4}}

P(A)－P(C)= {φ，2，1，{2}，{1}，{1，4}，{2，4}} (4) AB=(AB)- (BA) ={3，5}

2．设集合A＝{{a, b}, c, d }，B={a, b, {c, d }}，求

(1) BA； (2) AB； (3) A－B； (4)BA． 答：前三题可参考上题做法

(4)BA={<{a,b}, a>, <{a,b}, b>, <{a,b}, {c,d}>, , ,,, ,}

3．设A={1，2，3，4，5}，R={|xA，yA且x+y4}，S={|xA，yA且x+y<0}，试求R，S，R•S，S•R，R-1，S-1，r(S)，s(R)． 答：由题意知：

R={<1,1 >, <2, 2>, <1, 2>, <1, 3>，<3, 1>，<2, 1>} S=φ R•S={<1,1 >, <2, 2>, <1, 2>, <1, 3>，<3, 1>，<2, 1>}•φ=φ S •R =φ•{<1,1 >, <2, 2>, <1, 2>, <1, 3>，<3, 1>，<2, 1>}=φ R-1={<1,1 >, <2, 2>, <1, 2>, <3,1>，<1, 3>，<2, 1>} S-1=φ

r(S)= {<1,1 >, <2, 2>, <3,3 >，<4, 4>，<5, 5>}

s(R) = {<1,1 >, <2, 2>,<1, 2>, <3,1>，<1, 3>，<2, 1>,}

4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．

(1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图； (3) 求出集合B的最大元、最小元．

答：R={<1,1 >, <2, 2>, <1, 2>, <1, 3>，<1,4>，<1,5 >, <1, 6>, <1, 7>，<1,8>，<2, 4>,<2, 6>，<2, 8>, <3, 3>，<3,6>，<4, 4>,<4, 8>, <5, 5>，<6,6>，<7, 7>,<8, 8>}

(2 )关系R的哈斯图：

8 4 6 5 2 3 7 1

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★ 形成性考核作业 ★

(3) 由图知道，B没有最大元、其最小元是1.

五、证明题

1．试证明集合等式：A (BC)=(AB)  (AC)． 证明：设任意 x A (BC)，那么 x A或x BC，

也就是 x A或（x B且 x C）

由此得 x A 或 x B且x A 或 x C，即x (A B) (AC)

所以，A (BC) (AB)  (AC) 又因为对 任意 x (AB)  (AC)，由 （x A 或xB）且（x A或xC）， 也就是 x A或（ x B且 x C）；

得 x A 或 x B  C，即 x A(B C)．

所以， (AB)  (AC) A (BC) 所以A (BC)=(AB)  (AC)

2．对任意三个集合A, B和C，试证：若AB = AC，且A，则B = C．

3．设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意aA，存在bA，使得R，则R是等价关系．

证明：因为任意aA，存在bA，使得R； 又因为R的对称性，所以< b, a >R； 又因为R有传递性，所以< a, a >R 则R是集合A上的自反关系 所以R是等价关系。

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