2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市八年级(下)期中数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市八年级（下）期中数学

试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列方程中，一元二次方程是( )

A. 𝑥2+𝑥+1=0 C. 𝑥2+𝑥2=0

1

B. 𝑎𝑥2+𝑏𝑥=0 D. 3𝑥2−2𝑥𝑦−5𝑦2=0

E是AD边的中点，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，2. 如图，在矩形ABCD中，

垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△𝐴𝐸𝐹∽△𝐶𝐴𝐵；②𝐶𝐹=2𝐴𝐹；③𝐷𝐹=𝐷𝐶；④tan∠𝐶𝐴𝐷=√2，其中正确的结论有( )

A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④

3. 解方程𝑥2−√2𝑥=0，较简便的解法是( )

A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法

4. 关于x的方程𝑥2+2(𝑘+2)𝑥+𝑘2=0的两实根之和大于−4，则k的取值范围是( )

A. 𝑘>−1 B. 𝑘<0 C. −1<𝑘<0 D. −1≤𝑘<0

5. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )

A. 4，6，8 B. 6，8，10 C. 6，9，10 D. 5，11，13

𝑥−𝑦=2

6. 方程组{的解是( )

2𝑥+𝑦=10

A. {𝑦=2

𝑥=5

B. {𝑦=2

𝑥=4

C. {𝑦=3

𝑥=5

D. {𝑦=2

𝑥=−4

7. 某商场台灯销售的利润为每台40元，平均每月能售出600个．这种台灯的售价每

上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，台灯的售价是多少？若设每个台灯涨价x元，则可列方程为( )

A. (40+𝑥)(600−10𝑥)=10000 C. 𝑥[600−10(𝑥−40)]=10000

B. (40+𝑥)(600+10𝑥)=10000 D. 𝑥[600+10(𝑥−40)]=10000

8. 根据下列条件，得不到平行四边形的是( )

A. 𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶 C. 𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶

B. 𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷 D. 𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶

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∠𝐴𝐶𝐵=90，𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=9. 如图，已知在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，

√3，把𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶沿着AB翻折得到𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷，过点B作𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且tan∠𝐴𝐷𝐹=√.则下列结论：

23

①𝐴𝐸=𝐵𝐸； ②△𝐵𝐸𝐷∽△𝐴𝐵𝐶； ③𝐵𝐷2=𝐴𝐷⋅𝐷𝐸； ④𝐴𝐹=

2√13

． 3

其中，正确的结论是( )

A. ①④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④

10. 已知▱ABCD的周长是22，△𝐴𝐵𝐶的周长是17，则AC的长为( )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶∶𝐵𝐶=4∶3，点

D在CB的延长线上，且𝐵𝐷=𝐴𝐵，则𝐷𝐶∶𝐴𝐵=________。

12. 已知关于x的一元二次方程𝑎𝑥2−3𝑏𝑥−5=0的一个根是2，则8𝑎−12𝑏的值是：

______．

13. 已知三角形的三边分别是9，12，15，这个三角形的面积是______． 𝐴𝐵=13，𝐵𝐶=12，𝐶𝐷=4，𝐴𝐷=3，14. 如图𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，

则四边形ABCD的面积是______ ．

15. 为了宣传环保，刘红同学写了一篇倡议书，决定用微信的方式传播，她设计了如下

的传播规则：将倡议书点对点的发给自己n个微信好友，每位好友收到后，又转发给自己n个与前面n个人互不相同的好友，依此类推，已知经过两轮传播后，共有133人参与了活动，则𝑛=______．

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16. 已知一个直角三角形的两条直角边的差为2，两条直角边的平方和为8，则这个直

角三角形的面积是______ ．

17. 18、如图，长方形ABCD中(AD> AB)，M为CD上一点，

若沿着AM折叠，点N恰落在BC上，则∠ ANB+∠ M NC=__________度．

18. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，AD为中线，E为边BC上一点，过E作𝐸𝐹//𝐴𝐵交AC于F，交

AD于M，𝐸𝐺//𝐴𝐶交AB于G．

(1)如图1，若E与D重合，写出图中所有与FG相等的线段，并选取一条给出证明． (2)如图2，若E与D不重合，在(1)中与FG相等的线段中找出一条仍然与FG相等的线段，并给出证明．

(3)如图3，若E在BC的延长线上，其它条件不变，作出图形(不写作法)，𝐹𝐺=____________．

19. 一元二次方程5𝑥2=8𝑥的解是______．

20. 如图，等腰直角三角形ABC中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，D是AB上一点，连接

CD，过点A作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于F交BC于E，G在是CF上一点，过点G作𝐺𝐻⊥𝐵𝐶于H，3，𝐻𝐾=2：𝐴𝐷=10，延长GH到K连接KC，使∠𝐾+2∠𝐵𝐴𝐸=90°，若HG：则线段CF的长度为______．

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三、解答题（本大题共7小题，共56.0分） 21. 解下列方程

(1)2𝑥2−5𝑥+2=0(配方法) (2)3𝑥2−5𝑥=2

(3)(2−𝑥)2+𝑥2=4 (4)(𝑥−2)2=(2𝑥+3)2．

22. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵>𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐶，DE是AB的垂直平分线，垂

足为D，交AC于E．

(1)若∠𝐴=50°，求∠𝐸𝐵𝐶的度数；

(2)若△𝐴𝐵𝐶的周长为40cm，一边长为15cm，求△𝐵𝐶𝐸的周长．

23. 如图，一艘轮船在点A处测得东北方向上有一灯塔P，该

轮船以每小时40海里的速度向北偏东75°方向航行，航行30分钟到达B处时，灯塔P恰好在轮船的正北方向．若该轮船以同样的速度继续向前行驶到C处时，灯塔P在轮船的北偏西15°方向，求轮船从B处航行多长时间到达C处？(结果保留根号)

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24. 如图，菱形EFGH的顶点E、G分别在矩形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在

矩形ABCD的对角线BD上． (1)求证：𝐵𝐺=𝐷𝐸；

(2)若𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=4，则菱形EFGH的面积最大值是______．

25. 某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经

市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价0.1元，销售量将减少1千克 (1)现该商场保证每天盈利1500元，同时又要照顾顾客，那么每千克应涨价多少元？ (2)若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，使该商场获利最大？

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CD，△𝐸𝐴𝐵∽△𝐶𝐴𝐷； 26. (1)发现问题：如图1，将△𝐴𝐸𝐶旋转到△𝐴𝐵𝐷，连接BE、求证：

(2)探究问题：如图2，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，分别以AB、AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使𝐴𝐸=𝐴𝐵，𝐴𝐷=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷，连接BD、CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由；

(3)拓展应用：如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=45°，𝐴𝐵=7𝑐𝑚，𝐵𝐶=3𝑐𝑚，以点A为直角顶点作等腰三角形DAC，连接BD，请直接写出BD的长．

27. 正方形ABCD中，将线段AB绕点B顺时针旋转𝛼(其中0°<

𝛼<90°)，得到线段BE，连接𝐴𝐸.过点C作𝐶𝐹⊥𝐴𝐸交AE延长线于点F，连接EC，DF． (1)在图1中补全图形； (2)求∠𝐴𝐸𝐶的度数；

(3)用等式表示线段AF，DF，CF的数量关系，并证明．

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：A、𝑥2+𝑥+1=0，只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； B、𝑎𝑥2+𝑏𝑥=0(𝑎≠0)，是方程，不符合题意； C、𝑥2+

1𝑥2

=0为分式方程，不符合题意；

D、3𝑥2−2𝑥𝑦−5𝑦2=0含有2个未知数，不符合题意； 故选：A．

找到化简后只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0的整式方程的选项即可．

此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2.【答案】B

【解析】 【分析】

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．

①只要证明∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐹𝐸=90°即可； ②由𝐴𝐷//𝐵𝐶，推出△𝐴𝐸𝐹∽△𝐶𝐵𝐹，推出AE和CF的关系即可； ③只要证明DM垂直平分CF，即可证明；

𝐴𝐵=𝑏，则𝐴𝐷=2𝑎，由△𝐵𝐴𝐸∽△𝐴𝐷𝐶，求出a和b的关系，可得tan∠𝐶𝐴𝐷④设𝐴𝐸=𝑎，的值． 【解答】

解：如图，过D作𝐷𝑀//𝐵𝐸交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐷=𝐵𝐶，

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∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于点F，

∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐹𝐸=90°， ∴△𝐴𝐸𝐹∽△𝐶𝐴𝐵，故①正确； ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴△𝐴𝐸𝐹∽△𝐶𝐵𝐹， ∴𝐵𝐶=𝐶𝐹，

∵𝐴𝐸=𝐴𝐷=𝐵𝐶，

2

2

1

1

𝐴𝐸

𝐴𝐹

∴𝐶𝐹=2，

∴𝐶𝐹=2𝐴𝐹，故②正确； ∵𝐷𝐸//𝐵𝑀，𝐵𝐸//𝐷𝑀， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴𝐵𝑀=𝐷𝐸=2𝐵𝐶， ∴𝐵𝑀=𝐶𝑀， ∴𝐶𝑁=𝑁𝐹，

∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于点F，𝐷𝑀//𝐵𝐸， ∴𝐷𝑁⊥𝐶𝐹， ∴𝐷𝑀垂直平分CF， ∴𝐷𝐹=𝐷𝐶，故③正确；

设𝐴𝐸=𝑎，𝐴𝐵=𝑏，则𝐴𝐷=2𝑎， 由△𝐵𝐴𝐸∽△𝐴𝐷𝐶，有𝑎=∴tan∠𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐷=2𝑎=正确的有①②③． 故选B．

𝐷𝐶

𝑏𝑏

2𝑎𝑏

1

𝐴𝐹1

，即𝑏=√2𝑎，

√2，故④不正确． 2

3.【答案】D

【解析】解：解方程𝑥2−√2𝑥=0较简便的解法是因式分解法， 故选D．

根据方程的特点得出即可．

本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．

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4.【答案】D

【解析】解：设x的方程𝑥2+2(𝑘+2)𝑥+𝑘2=0的两实根是𝑎 𝑏， 由根与系数的关系得：𝑎+𝑏=−

2(𝑘+2)1

=−(2𝑘+4)，

∵关于x的方程𝑥2+2(𝑘+2)𝑥+𝑘2=0的两实根之和大于−4 ∴−(2𝑘+4)>−4， ∴𝑘<0，

𝑏2−4𝑎𝑐=[2(𝑘+2)]2−4×1×𝑘2=8𝑘+8≥0， 𝑘≥−1，

即k的取值范围是−1≤𝑘<0． 故选D．

根据根的判别式求出𝑘≥−1，根据根与系数的关系求出−(2𝑘+4)>−4，求出𝑘<0，即可求出答案．

本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：应用根与系数的关系式的前提条件是𝑏2−4𝑎𝑐≥0，𝑎≠0．

5.【答案】B

【解析】解：A、42+62=52≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、62+82=102，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、62+92≠102，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、52+112=146≠132，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B．

只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．

本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

6.【答案】B

【解析】解：{

𝑥−𝑦=2 ①

，

2𝑥+𝑦=10 ②

①+②得：3𝑥=12， 𝑥=4，

把𝑥=4代入①得：𝑦=2，

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𝑥=4

∴方程组的解为：{．

𝑦=2故选：B．

方程组利用加减消元法求出解即可．

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

7.【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了有实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据总利润=单台利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】

解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出(600−10𝑥)个台灯， 依题意，得：(40+𝑥)(600−10𝑥)=10000， 故选：A．

8.【答案】C

【解析】接：A、𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶，可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；

B、𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；

C、𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶不能判定是平行四边形，梯形也符合此条件，故此选项错误； D、𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶，可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意； 故选：C．

根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．

此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．

9.【答案】D

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【解析】解：如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90，𝐴𝐶=3，𝐵𝐶=√3， ∴𝐴𝐵=2√3，

∴∠𝐴𝐵𝐶=60°，∠𝐵𝐴𝐶=30°， 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶沿着AB翻折得到𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷， ∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，

∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶=30°，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=60°，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶=90°， 𝐴𝐷=𝐴𝐶=3，𝐵𝐷=𝐵𝐶=√3． ∵𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐶=90°， ∴∠𝐸𝐵𝐶=90°， ∴∠𝐸𝐵𝐶+∠𝐶=180°， ∴𝐵𝐸//𝐴𝐶，

∴∠𝐸𝐵𝐴=∠𝐵𝐴𝐶=30°， ∴∠𝐸𝐵𝐴=∠𝐸𝐴𝐵， ∴𝐵𝐸=𝐴𝐸，即①正确； 由上可知，∠𝐷𝐵𝐸=30°， ∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐵𝐴𝐶， 又∵∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶=90°， ∴△𝐵𝐸𝐷∽△𝐴𝐵𝐶，即②正确； 由②知，𝐴𝐶=𝐵𝐶， ∴𝐵𝐷⋅𝐵𝐶=𝐴𝐶⋅𝐷𝐸，

又由折叠可知，𝐵𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐶， ∴𝐵𝐷2=𝐴𝐷⋅𝐷𝐸，即③正确； ∵𝐵𝐷2=𝐴𝐷⋅𝐷𝐸， ∴(√3)2=3𝐷𝐸， ∴𝐷𝐸=1，

过点F作𝐹𝐺⊥𝐷𝐸于点G，

𝐵𝐷

𝐷𝐸

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∵tan∠𝐴𝐷𝐹=∴

𝐹𝐺𝐷𝐺

√3， 2

=

√3， 2

设𝐹𝐺=√3𝑡，则𝐷𝐺=2𝑡， 又∵△𝐵𝐸𝐷∽△𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐷𝐸𝐵=60°， ∴𝐺𝐸=𝑡，

∴2𝑡+𝑡=1，解得𝑡=3，

∴𝐷𝐺=3，𝐴𝐺=3−3=3，𝐺𝐹=3， ∴𝐴𝐹=√𝐴𝐺2+𝐺𝐹2=√()2+()2=

3

3

7

1

2√13，故④正确． 3

2

2

7

1

1

综上，正确的结论是①②③④． 故选：D．

∠𝐴𝐵𝐶=60°，∠𝐵𝐴𝐶=30°，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，由直角三角形的三边关系可得，由折叠可知，得出边之间的关系，又𝐵𝐸⊥𝐵𝐶，则可得𝐵𝐸//𝐴𝐶，可得∠𝐸𝐵𝐴=∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐵，则𝐵𝐸=𝐴𝐸，可得出结论①正确；由题可知，∠𝐷𝐵𝐸=60°−∠𝐸𝐵𝐴=30°=∠𝐵𝐴𝐶，则可得△𝐵𝐸𝐷∽△𝐴𝐵𝐶，即结论②正确；又△𝐵𝐸𝐷∽△𝐴𝐵𝐶得，𝐵𝐷⋅𝐵𝐶=𝐴𝐶⋅𝐷𝐸，又△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐵𝐷，易得𝐵𝐷2=𝐴𝐷⋅𝐷𝐸，则结论③正确；过点F作𝐹𝐺⊥𝐷𝐸于点G，在△𝐷𝐸𝐹中，已知tan∠𝐴𝐷𝐹=√，且∠𝐷𝐸𝐹=60°，𝐷𝐸=1，可解△𝐷𝐸𝐹，在直角△𝐴𝐹𝐺中，利用勾

23股定理可求得，𝐴𝐹=

2√13，即结论④正确． 3

本题主要考查含30°的直角三角形，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等内容．

10.【答案】B

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【解析】解：∵▱ABCD的周长是22，△𝐴𝐵𝐶的周长是17，

∴𝐴𝐵+𝐵𝐶=11，𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶=17， ∴𝐴𝐶=17−11=6， 故选：B．

△𝐴𝐵𝐶的周长是17，由▱ABCD的周长是22，根据平行四边形的性质，可得𝐴𝐵+𝐵𝐶=11，𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶=17，继而求得答案．

此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

11.【答案】8∶5．

【解析】解：在△𝐴𝐵𝐶中， ∵∠𝐶=90°，AC：𝐵𝐶=4：3， ∴设𝐴𝐶=4𝑥， 则𝐵𝐶=3𝑥，𝐴𝐵=5𝑥， ∵𝐵𝐷=𝐴𝐵，

∴𝐶𝐷=𝐵𝐷+𝐵𝐶=8𝑥． ∴𝐷𝐶∶𝐴𝐵=8𝑥∶5𝑥=8∶5．

12.【答案】10

【解析】解：把𝑥=2代入方程𝑎𝑥2−3𝑏𝑥−5=0得4𝑎−6𝑏−5=0， 所以4𝑎−6𝑏=5，

所以8𝑎−12𝑏=2(4𝑎−6𝑏)=2×5=10． 故答案为10．

先把𝑥=2代入方程𝑎𝑥2−3𝑏𝑥−5=0得4𝑎−6𝑏=5，再把8𝑎−12𝑏变形为2(4𝑎−6𝑏)，然后利用整体代入的方法计算．

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

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13.【答案】

【解析】 【分析】

先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式即可求出其面积．

本题考查了勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，能够根据具体数据运用勾股定理的逆定理判定该三角形是一个直角三角形是解决此类问题的关键． 【解答】

解：∵92+122=152， ∴此三角形是直角三角形，

∴此直角三角形的面积为：2×9×12=． 故答案为．

1

14.【答案】36

【解析】连接AC，把四边形分解成两个直角三角形，分别求出面积相加即可．此题综合运用了勾股定理及其逆定理．

解：连接AC，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，根据勾股定理 𝐴𝐶=√32+42=5； 在△𝐴𝐵𝐶中，

𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=52+122=169， 𝐴𝐵2=132=169， ∴∠𝐴𝐶𝐵=90°；

则四边形ABCD的面积=𝑆△𝐴𝐶𝐷+𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×3×4+2×12×5=6+30=36． 故答案为：36．

1

1

15.【答案】11

【解析】解：由题意，得 𝑛+𝑛2+1=133，

解得：𝑛1=−12(舍去)，𝑛2=11，

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故答案为：11．

将倡议书点对点的发给自己n个微信好友，第一轮传播了n个人，第二轮传播了𝑛2个人，根据两轮传播共有133人参与列出方程求解即可．

本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数根据两轮总人数为133人建立方程是关键．

16.【答案】1

【解析】解：设较小的直角边为x，则另一条直角边为𝑥+2， ∵两条直角边的平方和为8，

∴𝑥2+(𝑥+2)2=8，解得𝑥=√3−1或𝑥=−√3−1(舍去)， ∴𝑥+2=√3+1，

∴这个直角三角形的面积=2(√3−1)(√3+1)=1． 故答案为：1．

设较小的直角边为x，则另一条直角边为𝑥+2，再由勾股定理求出x的值，得出其面积即可．

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

1

17.【答案】90

【解析】易得∠𝐴𝑁𝑀=∠𝐴𝐷𝑀=90°，那么根据平角定义即可得到所求的两个角的度数之和．综合考查了折叠得到的对应角相等及平角定义．

根据折叠的性质，有∠𝐴𝑁𝑀=∠𝐴𝐷𝑀=90°；故∠𝐴𝑁𝐵+∠𝑀𝑁𝐶=180°−∠𝐴𝑁𝑀=90°． 答案为：90．

18.【答案】解：(1)𝐵𝐷=𝐷𝐶=𝐹𝐺，

证明：∵𝐸𝐹//𝐴𝐵，𝐵𝐷=𝐷𝐶， ∴𝐴𝐹=𝐶𝐹， 同理𝐵𝐺=𝐴𝐺，

∴𝐹𝐺=2𝐵𝐶=𝐵𝐷=𝐷𝐶， 即𝐵𝐷=𝐹𝐺．

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1

(2)𝐵𝑀=𝐹𝐺，

理由是：延长AD至𝐴′，使𝐷𝐴′=𝐴𝐷，连接𝐶𝐴′，

则△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴′𝐶𝐷，

∴𝐴′𝐶=𝐴𝐵，𝐴′𝐶//𝐴𝐵， ∵𝐹𝑀//𝐴𝐵，𝐺𝐸//𝐴𝐶， ∴四边形GEFA为平行四边形， ∴𝐹𝑀//𝐴′𝐶， ∴𝐴′𝐶=𝐴𝐶=𝐴𝐶=𝐴𝐵， ∴𝐹𝑀=𝐵𝐺， ∵𝐹𝑀//𝐵𝐺，

∴𝐵𝑀𝐹𝐺是平行四边形， ∴𝐵𝑀=𝐹𝐺． (3)𝐵𝑀．

𝐹𝑀

𝐴𝐹

𝐺𝐸

𝐵𝐺

【解析】解：(1)见答案．

(2)见答案

(3)𝐵𝑀=𝐹𝐺，

理由是：延长AD至𝐴′，使𝐷𝐴′=𝐴𝐷，连接𝐶𝐴′， △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴′𝐶𝐷， ∴𝐴′𝐶=𝐴𝐵，𝐴′𝐶//𝐴𝐵， ∵𝐹𝑀//𝐴𝐵，𝐺𝐸//𝐴𝐶， ∴四边形GEFA为平行四边形， ∴𝐹𝑀//𝐴′𝐶，𝐺𝐸=𝐴𝐹，

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∴𝐴′𝐶=𝐴𝐶=𝐴𝐶=𝐴𝐵， ∴𝐹𝑀=𝐵𝐺， ∵𝐹𝑀//𝐵𝐺，

∴𝐵𝑀𝐹𝐺是平行四边形， ∴𝐵𝑀=𝐹𝐺． 故答案为：BM．

𝐹𝑀𝐴𝐹𝐺𝐸𝐵𝐺

19.【答案】𝑥1=0，𝑥2=5

【解析】【试题解析】 解：5𝑥2=8𝑥， 5𝑥2−8𝑥=0， 𝑥(5𝑥−8)=0， ∴𝑥=0，5𝑥−8=0， ∴𝑥1=0，𝑥2=5，

故答案为：𝑥1=0，𝑥2=5．

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．

8

8

8

20.【答案】9√10

【解析】解：过点A作𝐴𝑀⊥𝐵𝐶于点M，交CD于点N， ∴∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐴𝑀𝐶=90°， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，

∴∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=45°，𝐴𝑀=𝐵𝑀=𝐶𝑀，∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝐴𝑀=45°，

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设∠𝐵𝐴𝐸=𝛼，则∠𝐸𝐴𝑀=45°−𝛼，∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐸=45°+𝛼， ∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点F，

∴∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐴𝐹𝐶=∠𝐸𝐹𝐶=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐹=90°−∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐸=𝛼， ∴∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐴𝐶𝐹=45°−𝛼=∠𝐸𝐴𝑀， ∵𝐺𝐻⊥𝐵𝐶于H， ∴∠𝐶𝐻𝐺=∠𝐶𝐻𝐾=90°，

∴∠𝐶𝐺𝐻=90°−∠𝐸𝐶𝐹=90°−(45°−𝛼)=45°+𝛼，∠𝐾+∠𝐾𝐶𝐻=90°， ∵∠𝐾+2∠𝐵𝐴𝐸=90°， ∴∠𝐾𝐶𝐻=2∠𝐵𝐴𝐸=2𝛼，

∴∠𝐾𝐶𝐺=∠𝐾𝐶𝐻+∠𝐸𝐶𝐹=2𝛼+(45°−𝛼)=45°+𝛼， ∴∠𝐶𝐺𝐻=∠𝐾𝐶𝐺， ∴𝐾𝐺=𝐾𝐶，

∵𝐻𝐺：𝐻𝐾=2：3，设𝐻𝐺=2𝑎，𝐻𝐾=3𝑎， ∴𝐾𝐶=𝐾𝐺=5𝑎，

∴𝑅𝑡△𝐶𝐻𝐾中，𝐶𝐻=√𝐶𝐾2−𝐻𝐾2=4𝑎， ∴𝑅𝑡△𝐶𝐻𝐺中，tan∠𝐸𝐶𝐹=𝐶𝐻=2， ∴𝑅𝑡△𝐶𝑀𝑁中，tan∠𝐸𝐶𝐹=

1

1

𝑀𝑁𝐶𝑀𝐻𝐺

1

=2，

1

∴𝑀𝑁=2𝐶𝑀=2𝐴𝑀=𝐴𝑁， ∵∠𝐸𝐶𝐹=∠𝐸𝐴𝑀=45°−𝛼， ∴𝑅𝑡△𝐴𝑁𝐹中，tan∠𝐸𝐴𝑀=𝐴𝐹=2， 设𝐹𝑁=𝑏，则𝐴𝐹=2𝑏，

∴𝑀𝑁=𝐴𝑁=√𝐴𝐹2+𝐹𝑁2=√5𝑏， ∴𝐴𝑀=𝐶𝑀=2𝐴𝑁=2√5𝑏，

∴𝑅𝑡△𝐶𝑀𝑁中，𝐶𝑁=√𝑀𝑁2+𝐶𝑀2=5𝑏， ∴𝐶𝐹=𝐹𝑁+𝐶𝑁=6𝑏，

∴𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐹中，tan∠𝐴𝐶𝐹=𝐶𝐹=6𝑏=3， ∵∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐷𝐴𝐹=𝛼，

∴𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中，tan∠𝐷𝐴𝐹=𝐴𝐹=3， ∴𝐷𝐹=3𝐴𝐹=3𝑏，

第19页，共27页

1

2

𝐷𝐹

1

𝐴𝐹

2𝑏

1

𝐹𝑁

1

∵𝐴𝐷2=𝐴𝐹2+𝐷𝐹2，𝐴𝐷=10， ∴102=(2𝑎)2+(𝑏)2，

32

解得：𝑏1=∴𝐶𝐹=6×

3√10，𝑏223√102

=−

3√10(舍去)， 2

=9√10，

故答案为：9√10．

∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝐴𝑀=45°，作高线AM，根据等腰直角三角形和三线合一得：设∠𝐵𝐴𝐸=𝛼，𝐻𝐾=2：3，设𝐻𝐺=2𝑎，𝐻𝐾=3𝑎计算KC、表示各角的度数，证明𝐾𝐺=𝐾𝐶，由HG：KG和CH的长，根据等角三角函数得tan∠𝐸𝐴𝑀=

𝐹𝑁𝐴𝐹

=，设𝐹𝑁=𝑏，则𝐴𝐹=2𝑏，由

2

2

1

勾股定理列方程得：𝐴𝐷2=𝐴𝐹2+𝐷𝐹2，得102=(2𝑎)2+(3𝑏)2，解出b的值可得结论． 本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数表示角的度数和线段的长，构造方程解决问题．

21.【答案】解：(1)移项得，2𝑥2−5𝑥=−2

方程两边同时除以2得，𝑥2−2𝑥=−1，

配方得，𝑥2−2𝑥+(−4)2=−1+(−4)2，即(𝑥−4)2=16 方程两边直接开方得，𝑥−4=±4， 解得，𝑥1=2，𝑥2=2；

(2)移项，3𝑥2−5𝑥−2=0，

方程左边化为两个因式积的形式，( 𝑥−2 )( 3𝑥+1 )=0， 故𝑥−2=0 或 3𝑥+1=0， 解得，𝑥1=2，𝑥2=−3；

(3)原方程可化为：2𝑥2−4𝑥=0， 提取公因式得，2𝑥(𝑥−2)=0， 故2𝑥=0 或 𝑥−2=0， 解得𝑥1=0，𝑥2=2；

(4)移项得，(𝑥−2)2−(2𝑥+3)2=0

因式分解得，(𝑥−2+2𝑥+3)(𝑥−2−2𝑥−3)=0，即(3𝑥+1)(−𝑥−5)=0，

第20页，共27页

11

5

3

5

5

5

5

9

5

故3𝑥+1=0 或−𝑥−5=0 解得，𝑥1=−3，𝑥2=−5．

1

【解析】(1)先移项，再把方程左边画出完全平方式的形式，利用直接开方法求出x的值即可；

(2)先移项，再把方程左边化为两个因式积的形式，求出x的值即可； (3)先把方程化为一元二次方程的一般形式，求出x的值即可； (4)直接利用平方差公式即可得出结论．

本题考查的是解一元二次方程，在解答此类问题时要注意根据方程的特点选取适当的解题方法．

22.【答案】解：(1)∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，DE是AB的垂直平分线

∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴=50°． ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=65°． ∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝐸=15°．

(2)①已知𝐴𝐵=𝐴𝐶=15𝑐𝑚，△𝐴𝐵𝐶的周长为40cm， ∴𝐵𝐶=10𝑐𝑚．

根据垂直平分线的性质可得𝐵𝐸+𝐶𝐸=𝐴𝐶， ∴△𝐵𝐶𝐸周长=𝐵𝐸+𝐶𝐸+𝐵𝐶=25𝑐𝑚． ②已知𝐵𝐶=15𝑐𝑚，△𝐴𝐵𝐶的周长为40cm， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=12.5𝑐𝑚．

根据垂直平分线的性质可得𝐵𝐸+𝐶𝐸=𝐴𝐶， ∴△𝐵𝐶𝐸周长=𝐵𝐸+𝐶𝐸+𝐵𝐶=27.5𝑐𝑚．

【解析】(1)已知𝐴𝐵=𝐴𝐶，要求∠𝐸𝐵𝐶就先求出∠𝐴𝐵𝐸的度数，利用线段垂直平分线的性质易求解．

(2)已知△𝐴𝐵𝐶的周长为40cm，一边长为15cm，求△𝐵𝐶𝐸周长只需证明𝐵𝐸+𝐶𝐸=𝐴𝐶，分两种情况讨论即可．

本题考查了线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；进行线段以及角的有效转移是正确解答本题的关键．

23.【答案】解：如图，作𝐵𝐷⊥𝐴𝑃于D．

第21页，共27页

由题意可知，∠𝑁𝐴𝐵=75°，∠𝑁𝐴𝐷=45°，𝐴𝐵=40×2=20(海里)． 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，∵∠𝐴𝐷𝐵=90°，∠𝐵𝐴𝐷=75°−45°=30°， ∴𝐵𝐷=𝐴𝐵=10．

21

1

在𝑅𝑡△𝑃𝐵𝐷中，∵∠𝑃𝐷𝐵=90°，∠𝐵𝑃𝐷=45°， ∴𝐵𝑃=√2𝐵𝐷=10√2．

∵∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐴𝑃𝐵+∠𝐵𝑃𝐶=45°+15°=60°，∠𝑃𝐴𝐶=30°， ∴∠𝐴𝐶𝑃=180°−∠𝐴𝑃𝐶−∠𝑃𝐴𝐶=90°．

在𝑅𝑡△𝐴𝑃𝐶中，∵∠𝐴𝐶𝑃=90°，∠𝑃𝐴𝐶=30°，设𝑃𝐶=𝑥， ∴𝐴𝑃=2𝑃𝐶=2𝑥，𝐴𝐶=√3𝑃𝐶=√3𝑥， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=√3𝑥−20． 在𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐶中，∵∠𝐵𝐶𝑃=90°， ∴𝐵𝐶2+𝑃𝐶2=𝑃𝐵2，

∴(√3𝑥−20)2+𝑥2=(10√2)2，

解得𝑥1=5√3+5，𝑥2=5√3−5(不合题意舍去)， ∴𝐵𝐶=√3(5√3+5)−20=5√3−5， ∴

5√3−0

=

√3−1． 8

3−18

答：轮船从B处航行√

小时到达C处．

【解析】作𝐵𝐷⊥𝐴𝑃于D，解𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷，得出𝐵𝐷=2𝐴𝐵=10.解𝑅𝑡△𝑃𝐵𝐷，求出𝐵𝑃=√2𝐵𝐷=10√2.根据三角形内角和定理求出∠𝐴𝐶𝑃=180°−∠𝐴𝑃𝐶−∠𝑃𝐴𝐶=90°.解𝑅𝑡△𝐴𝑃𝐶，设𝑃𝐶=𝑥，得到𝐴𝑃=2𝑃𝐶=2𝑥，那么𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=𝐴𝐶=√3𝑃𝐶=√3𝑥，√3𝑥−20.在𝑅𝑡△𝐵𝑃𝐶中利用勾股定理列出方程，求出x，得到BC，根据时间=路程÷速度求解即可．

本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理，利用三角形内角和定理求出∠𝐴𝐶𝑃=90°，进而利用勾股定理列出方程是解题的关键．

1

24.【答案】8

【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐹𝐵𝐺=∠𝐻𝐷𝐸，

第22页，共27页

75

∵四边形EFGH是菱形，

∴𝐹𝐺=𝐸𝐻，∠𝐸𝐹𝐺=∠𝐸𝐻𝐺，∠𝐺𝐹𝐻=2∠𝐸𝐹𝐺，∠𝐸𝐻𝐹=2∠𝐸𝐻𝐺， ∴∠𝐺𝐹𝐻=∠𝐸𝐻𝐺， ∴∠𝐵𝐹𝐺=∠𝐷𝐻𝐸，

∠𝐹𝐵𝐺=∠𝐻𝐷𝐸

在△𝐵𝐹𝐺和△𝐷𝐻𝐸中，{∠𝐵𝐹𝐺=∠𝐷𝐻𝐸，

𝐹𝐺=𝐸𝐻∴△𝐵𝐹𝐺≌△𝐷𝐻𝐸(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐺=𝐷𝐸；

(2)解：当点F与B重合，点H与D重合时，菱形EFGH的面积最大，如图所示： ∵四边形EFGH是菱形， ∴𝐸𝐺⊥𝐵𝐷，𝐵𝐸=𝐷𝐸=𝐵𝐺， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠𝐵𝐴𝐷=90°，

设𝐵𝐸=𝐷𝐸=𝑥，则𝐴𝐸=4−𝑥，

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，由勾股定理得：32+(4−𝑥)2=𝑥2， 解得：𝑥=

258

1

1

，

258

∴𝐶𝐺=𝐴𝐸=4−

=， 8

7

∴菱形EFGH的面积最大值=矩形ABCD的面积−△𝐴𝐵𝐸的面积−△𝐶𝐷𝐺的面积=3×4−2×2×8×3=故答案为：8．

(1)证明△𝐵𝐹𝐺≌△𝐷𝐻𝐸(𝐴𝐴𝑆)，即可得出𝐵𝐺=𝐷𝐸；

(2)当点F与B重合，点H与D重合时，菱形EFGH的面积最大，由菱形的性质得出𝐸𝐺⊥𝐵𝐷，𝐵𝐸=𝐷𝐸=𝐵𝐺，设𝐵𝐸=𝐷𝐸=𝑥，则𝐴𝐸=4−𝑥，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，由勾股定理得出方程32+(4−𝑥)2=𝑥2，解得𝑥=

25

751

7

758

；

，得出𝐶𝐺=𝐴𝐸=4−8

258

=，菱形EFGH的面

8

7

积最大值=矩形ABCD的面积−△𝐴𝐵𝐸的面积−△𝐶𝐷𝐺的面积，即可得出答案． 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

25.【答案】解：(1)设每千克应涨价x元，由题意列方程得：

(5+𝑥)(200−

𝑥

)=1500 0.1

第23页，共27页

解得：𝑥=5或𝑥=10，

答：为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；

(2)设涨价x元时总利润为y， 则𝑦=(5+𝑥)(200−0.1)

=−10𝑥2+150𝑥+1000 =−10(𝑥2−15𝑥)+1000

=−10(𝑥−7.5)2+1562.5，

答：若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．

𝑥

【解析】(1)根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值； (2)根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值即可． 本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如𝑦=−𝑥2−2𝑥+5，𝑦=3𝑥2−6𝑥+1等用配方法求解比较简单．

26.【答案】(1)证明：如图1中，

∵∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷，𝐴𝐸=𝐴𝐵，𝐴𝐶=𝐴𝐷， ∴𝐴𝐶=𝐴𝐷， ∴△𝐸𝐴𝐵∽△𝐶𝐴𝐷．

(2)解：如图2中，结论：𝐵𝐷=𝐸𝐶．

𝐴𝐸

𝐴𝐵

∵∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐶𝐴𝐷，

第24页，共27页

∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷， ∵𝐴𝐸=𝐴𝐵，𝐴𝐶=𝐴𝐷， ∴△𝐸𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐷， ∴𝐵𝐷=𝐸𝐶．

(3)如图3中，作𝐶𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻.设AB交CD于点O．

∵△𝐴𝐷𝐶是等腰直角三角形， ∴∠𝐴𝐷𝑂=∠𝑂𝐵𝐶=45°， ∵∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐵𝑂𝐶， ∴△𝐴𝑂𝐷∽△𝐶𝑂𝐵， ∴

𝐷𝑂𝑂𝐵𝐷𝑂

=

𝐴𝑂𝐶𝑂𝑂𝐵

，

∴𝑂𝐴=𝑂𝐶，∵∠𝐵𝑂𝐷=∠𝐴𝑂𝐶， ∴△𝐵𝑂𝐷∽△𝐶𝑂𝐴， ∴∠𝐷𝐵𝐴=∠𝐴𝐶𝑂=45°， ∴∠𝐷𝐵𝐶=90°，

∵△𝐵𝐻𝐶是等腰直角三角形，𝐵𝐶=3， ∴𝐵𝐻=𝐶𝐻=

3√2，𝐴𝐻2

=7−

3√2， 2

∴𝐴𝐶2=𝐴𝐻2+𝐶𝐻2=58−21√2， ∴𝐶𝐷2=2𝐴𝐶2=116−42√2，

∴𝐵𝐷2=𝐶𝐷2−𝐵𝐶2=107−42√2 ∴𝐵𝐷=7√2−3．

如图4中，将△𝐴𝐵𝐷绕点A顺时针旋转90°得到△𝐴𝐶𝐸．

第25页，共27页

则𝐵𝐷=𝐶𝐸，△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶=45°，𝐵𝐸=7√2， ∴∠𝐸𝐵𝐶=90°，

∴𝐵𝐷=𝐸𝐶=√𝐵𝐸2+𝐵𝐶2=√107．

综上所述，满足条件的BD的值为7√2−3或√107．

【解析】(1)根据两边成比例夹角相等判断即可；

(2)结论：𝐵𝐷=𝐸𝐶，只要证明△𝐸𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐷，即可解决问题； (3)分两种情形分别求解即可解决问题；

本题考查了相似形综合题、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

27.【答案】解：(1)图形如图1所示：

(2)∵四边形ABCD是正方形， ∴𝐴𝐵=𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∵𝐵𝐴=𝐵𝐸=𝐵𝐶，

∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐸𝐴，∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐵𝐶𝐸， ∴2∠𝐵𝐸𝐴+2∠𝐵𝐸𝐶=360°−90°=270°， ∴∠𝐵𝐸𝐴+∠𝐵𝐸𝐶=135°，

第26页，共27页

∴∠𝐴𝐸𝐶=135°．

(3)结论：𝐴𝐹=√2𝐷𝐹+𝐶𝐹． 理由：∵∠𝐴𝐸𝐶=135°， ∴∠𝐶𝐸𝐹=180°−135°=45°， ∵𝐶𝐹⊥𝐸𝐹，

∴∠𝐶𝐹𝐸=90°，∠𝐸𝐶𝐹=45°， ∴𝐹𝐸=𝐹𝐶，𝐸𝐶=√2𝐶𝐹， ∵△𝐴𝐷𝐶是等腰直角三角形，

∴∠𝐴𝐶𝐷=45°=∠𝐸𝐶𝐹，𝐴𝐶=√2𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐹， ∵

𝐴𝐶𝐶𝐷

=

𝐸𝐶𝐶𝐹

=√2，

∴△𝐴𝐶𝐸∽△𝐷𝐶𝐹， ∴𝐷𝐹=𝐶𝐷=√2， ∴𝐴𝐸=√2𝐷𝐹，

∴𝐴𝐹=𝐴𝐸+𝐸𝐹=√2𝐷𝐹+𝐶𝐹．

𝐴𝐸

𝐴𝐶

【解析】(1)根据要求画出图形即可．

(2)利用正方形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．

(3)结论：𝐴𝐹=√2𝐷𝐹+𝐶𝐹.证明△𝐴𝐶𝐸∽△𝐷𝐶𝐹，推出𝐷𝐹=𝐶𝐷=√2，可得结论． 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

𝐴𝐸

𝐴𝐶

第27页，共27页