高等数学(专升本)学习指南讲解

高等数学（专升本）学习指南

一、判断题

111．(lnxlog2x)'xxln2，是否正确（ 对 ）

解：对原式直接求导即可得到。

1lnx1(lnxlog2x)'lnxln2xxln2

2. 函数yxsinx在区间[0,2]上是单调减少，是否正确（ 错 ） 解：函数y的导数 y1cosx0 其中，

x0,2

所以函数y在该区间是个递增函数。

x23x2sinxlim21xxx2cosx3．，是否正确（ 对 ）

x23x2sinxlim2解：原式：xxx2cosx

原式分子sinx有界，分母cosx有界，其余项均随着x趋于无穷而趋于无穷。 这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。

x23x2sinxx2lim2lim21xxx2cosxxx得到：

22ytanxdy2tanxsecxdx，是否正确（ 对 ） 4．设，则

解：对原式关于x求导，并用导数乘以dx项即可，注意三角函数求导规则。

y'tan2x2tanxdtanxdx2tanxsec2x dy所以，dx2tanxsec2x，即

dy2tanxsec2xdx 2x12x5. edx2ec，是否正确（ 对 ）

e2x解：

dx12e2xd2x12x2eC

6．(sinxcosx)'cosxsinx，是否正确（对 ） 解：(sinxcosx)'sinxcosxcosxsinx

7．函数y(x2)2在区间[0,4]上极小值是1，是否正确（错解：对y关于x求一阶导，并令其为0，得到2x20；

解得x有驻点：x=2，代入原方程验证此为其极小值点。

sinx8. xlimx1，是否正确（ 错 ） 解：因为 1sinx1有界，

sinx所以 xlimx0

9．设

yarctan11x，则dy1x2dx，是否正确（错）

y111dyarctanx1212x21dx解：1xx 所以，

dy11x2dx

）

10．

2x1x2dxln(1x2)c，是否正确（ 对 ） 解：直接求积分即可得到。

2x1x2dx11x2dx2

11令yx21，有：1x2dx21x2d1x21ydylnyc

将yx21代回，有：lnycln1x2c 11.

(ex2x)'ex2xln2，是否正确（ 对 ） 解：

ex2xex2xex2xln2

12．函数yxcosx在(,)内是单调递增的，原因是y'0，是否正确（解：

yxcosx1sinx0，

x,

x23x213．

lim1x2x2x23，是否正确（ 对 ） x2x1解：原式=limx2x1limx1x2x2x113

14. 设

yxsin11x，则dy(sinx1xcos1x)dx，是否正确（ 对 ）

解：对y关于x求一阶导有：

yxsin1111dyx(sinxxcosx)dx 所以，

dy(sin1x1xcos1x)dx

uu21315．5du3(u25)2c，是否正确（ 对 ）

对 ）

解：

2uu5du1u25du22

令xu，则有：

23311121222u5dux5dxx5Cx52C22233

将xu代回上式得到：

2312uu5du3(u5)2c

222z2xy16．二元函数的极大值点(x0,y0)1,1，是否正确（ 错 ） 2解：因为x，y的极小值都是0，此时x=y=0，

222z2xy所以的极大值点(x0,y0)(0,0)

dzyxexx2yedx1(xy)zarctan(xy)17. 设，其中，则，是否正确（ 对 ）

解：直接求微计算：

dzdarctanxydxydxdxydxdyyx2dx1xy11xy1xy21yxexyxex2

yzyyycotsec2(2)x，xxxx，是否正确（ 对 ）

18．

zlntanylntanzyyyx2cotsec2xxxx 解：x19．设D为O(0,0)，A(1,0)与B(0,1)为顶点三角形区域，则

11xf(x,y)dxdydxD00f(x,y)dy，是否正确（ 对 ）

解：有题目中给出的条件知道区域D是由x0,y0,y1x所围成的区域， 其中

x0,1。

11x00所以：

f(x,y)dxdydxDfx,ydy

20. 微分方程y''y2sinx的一个特解应具有形式是y(axb)sinx(cxd)cosx，是否正确（ 对 ）

2解：原微分方程的特征函数是：10，w1。

得到两个无理根：i。 即iw是特征根。

*y因此，特解的形式为：(axb)sinx(cxd)cosx

322zx4x2xyy21．函数的两个驻点是(x0,y0)(1,1),(2,2)，是否正确（ 错）

解：驻点是使得函数一阶导为0的点。

dzdx34x22xyy2dxdxdx34x22xyy2dydy3x28x2ydx2x2ydy

所以有方程组：

3x28x2y02x2y0，得到点（0，0）和（2，2）

这两个点是函数的驻点。

dz2x2y(cost6t)e3x2y22．设ze，其中xsint,yt，求dt，是否正确（ 对 ）

解：直接展开来计算。

x2ydzdedtdtdex2ydxdex2ydydxdtdydt3dtdx2ydsintdx2yex2yex2ydxdtdydtex2y1costex2y23t2cost6t2ex2y

zycos(xy)cosyzsin(xy)xcosy23. ，x，是否正确（ 对 ） zsinxyxcosyycosxycosyx解：x

2yx24．若D是由曲线与yx围成的区域，则把二重积分化为二次积分，便有

f(x,y)dxdydxD01xx2f(x,y)dy，是否正确（ 对 ）

2yx解：曲线与yx有两个交点在（0，0）和（1，1）。 2且在两个交点之间时，xx

所以，

f(x,y)dxdydx1xD0x2f(x,y)dy

xxy''ye1yaxe25．微分方程的一个特解应具有形式是，是否正确（ 错 ）

解：原微分方程可以看成是以下两个微分方程的组合：

xyyeyy112

2对于方程（1）有特征方程10，得到特征值1。

*xyaxe1其中单特征根，所以有特解：。（a为常数）

对于方程（2），因为一阶导项为0，右边项为常数1.

*y所以，它有特解形式为：b。（b为常数）

*xyaxeb。综上两点，方程的特解形式为：（其中a，b为常数） 22z3(xy)的最小值点是(x0,y0)(1,1)，是否正确（错 ） 26. 函数

解：因为原式中x20，当且仅当x=0时，取到极小值0 ；

同样，y20，当且仅当y=0时，取到极小值0 。

所以，函数的极小值点位于（0，0）

eax(yz)27．设

ua21，其中yasinx,zcosx，则 duaeax(yz)aeaxcosxeaxsindxa21a21xa21，是否正确（ 对 ） 解：因为

ueax(yz)a21，所以： aeaxyzeaxdyaxdzdudxedxa21a21dxa21axdaeaxasinxyzeaxdcosxdxea21a21dxa21aeaxyzaeaxcosxeaxsinxa21a21a21

z28．zx3yxy3，则x3x2yy3，是否正确（对 ）

zx3yxy3解：xx3x2yy3

29. 设D是曲线y1x2与y0所围成，则

xd1D，是否正确（错 ）

1解：

xdD11xdx1x2011dyx2x40241

*xxyaxeb，是否正确（ 对 ） y''ye130．微分方程的一个特解应具有形式是

解：原微分方程可以看成是以下两个微分方程的组合：

xyyeyy112

2对于方程（1）有特征方程10，得到特征值1。

*xyaxe1其中单特征根，所以有特解：。（a为常数）

对于方程（2），因为一阶导项为0，右边项为常数1.

*y所以，它有特解形式为：b。（b为常数）

*xyaxeb。综上两点，方程的特解形式为：（其中a，b为常数）

二、选择题

1. 设函数yarcsin(x2)，它的定义域是【 C】

A．|x|1； B. 1x2； C. 1x3； D. |x|3

解：1sinx1，

所以，arc(sinx)的定义域为[-1，1] 得arcsinx2的定义域为（1，3]

111lim1n2. 极限248(1)n12n【 C 】

23A. 1； B. 0; C. 3； D. 2

1解：令

S112141n81n2n

1则2S1111n248161n12n1

所以，

S1n1n2Sn112n1 因为nlim1n12n10

所以：limnS1n1n2Snlim1n12n11

2即，原式=3

3. 下列各函数的极限存在的是【 A 】

A. limx2xx1； B. lim12x02x1； C. limsinxx； 解：对四个选项分别计算极限得到如下结果

1limxx0e D.

x2lim21xx1A．

1x02x1B．

limC．xlimsinx 无确定极限

D．x0lime1x

4. 当x0时，3x是【 C 】

2A. x的同阶无穷小量 B. x的等阶无穷小量

C. 比x高阶的无穷小量 D. 比x低阶的无穷小量

解：3x中x是二阶的，x本身是一阶的

22阶高于1阶，所以3x是比x高阶的无穷小量。

2x24f(x)x1的间断点为x【 D 】 5. 函数

A. 1 B. 2 C. 2 D. 1

x24f(x)x1的分母为0时，无意义。所以x-1=0是fx间断点。 解：

即：fx的间断点是x=1 。

2xyxe，则y'【 B 】 6. 若

2xxx2x(x2x)e(2x1)e2xexeA. B. C. D.

x解：直接求积得到：22xex

yx2ex2xexx2exx22xex

7. 函数

f(x)1x，满足拉格朗日中值定理条件的区间是【 A 】

A．[1,2] B. [2,2] C. [2,0] D. [0,1]

1x，易知分母为零是其间断点，即x=0点。只有A选项所示的区间中没有

解：

f(x)包含间断点x=0，所以满足条件。

1f(x)(exex)28. 函数的极小值点为【 C 】

A. 0 B. 1 C. 1 D. 不存在

xxxxxxee2ee2， e0e0解：因为，，所以

xx当且仅当ee的时候可以取到等号。

xx而要使得ee，则需要xx，即 x0。

1f(x)(exex)2，所以当x0时，方程有极小值1。

9．

1dx12x【 B 】

A. 12x B. 12xC C.

112x2 D. 212xC

解：简单积分，直接求积即可得到：12xC

1112xdx12x2dx1112x2d12x2

令y12x

11y2dy2112y2c2yc12

将y12x代回上式得到：12xC

10．ba3x2dx【 A 】

11(ba)(ba)33(ba)ba33A. B. C. D.

3解：直接求定积分得到：

ba3xdxdx3x3b3a3aa2bb

11. 函数ylg(x1)的反函数是【 B 】

x1010xye1yx1yx1 y101A. B. C. D.

y10x1， 解：对等式两边做e的指数，得到

x10y1 变换一下因变量和自变量得到：

xy101 即：

111limn12233412. 极限1n(n1)【 A 】

23A. 1 B. 0 C. 3 D. 2

解：由题目知通项Sn有如下的形式：

Sn111122334+1nn11111111122334nn11121213131114nn111n1lim11n1+1122334nn1lim1n1n11

x32313. 若limx2x2a3，则a【 D 】

A. 1 B. 2 C. 3 x323解：limx2x2a3

limx2x3233x2a0limx2x2x383a222383aa4

114. 当x1时，

f(x)x21【 B 】

A. 极限不存在 B. 是无穷大量

D. 4

C. 是无穷小量 是未定式 D.

解：当x趋向于1时，分母趋向于0，任意常数除以0都是无穷大量。

所以原式是一个无穷大量。

sin(x2)x23x2， 那么函数的所有间断点是【 B 】

15. 设函数

f(x)A. 0 B. 1和2 C. 2 D. 1和3

sinx2sinx2x23x2x1x2解：

fx，当x=1或者2时方程没有意义。

所以方程有两个间断点，是1和2.

16. 设f(x)x(x1)(x2)(x100)，则f'(0)【 C 】

A. 101! B. 99! C. 100! D. 0 解：由题目知fx的一阶导数有如下的形式：

fxx1x2x3x98x99x100xx2x3x4x98x99x100xx1x3x4x98x99x100xx1x3x4x97x99x100xx1x3x4x97x98x100xx1x2x3x97x98x99

将x=0带入上面的式子，可见含有x的项都将为0.

f0010203123100!98991000980990100

17. 下列函数中在给定区间上满足罗尔中值定理的是【 A 】

1,[0,2]x1

2yx5x6,[2,3] B. A.

yx13yysinx,[,]122 D. C.

x5x5,[0,5]

解：由罗尔中值定理知道：如果函数fxR在闭区间[a ,b]上连续，在开区间(a ,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即fafb，,那么在(a ,b)内至少有一点

ab，使得函数fx在该点的导数等于零：f0。

18. 函数y|x1|2的极小值点为【 B 】

A. 0 B. 1 C. 1 D. 不存在

解：函数的绝对值是大于等于0的，如果能取到0，则取到了整个函数的极小值。

所以x1在x=1时为0，所以函数y在x=1时取到极小值点。

lnxdxx19. 【 B 】

11(lnx)2Cln(lnx)C22(lnx)C2ln(lnx)C22A. B. C. D.

lnxdxlnxdlnxx解：

令ylnx，则原式=

ydy1212yClnxC22

20. 设

f(x)F(t)dt02x，则f'(x)【 D 】

A. F(x) B. F(4x) C. F(2x) D. 2F(2x)

YtFtdt解：设有定积分

则，

fxFtdtYt02x2x0Yt2xC

所以：

fxdYt2xCdxdYtdt2xdtFtdx2xd2x2F2xdx

21. 满足不等式|xA|（,A为常数， 0）的所有x的区间表示为【 A 】 A．(A,A) B．[A,A] C．(,) D．[,]

解：因为不等号是严格的大于，小于。所以，x的区间是一个开区间。

解不等式得到：A,A

231lim222n22. 极限nnnnn2【 B 】

11A．4 B．2 C．1 D． 0

解：有题意，设通项为：

12nn2n2n21n12nn2n12n1122n Sn21lim22n原极限等价于：nnn111limn2n22n2 x1x0f(x)2limf(x)xx023. 设函数 ， 则x0【 D 】

A．1 B．1 C． 0 D．不存在

解：由题意知：

limfxlimx11x0左极限：

x0

右极限：x0limfxlimx20x0

左极限右极限，所以原式极限不存在。

24．无穷大量减去无穷小量是【 D 】

A．无穷小量 B．零 C．常量 D．未定式

解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势，而非具体的值。

所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。

25．如果f(x)在x0处连续，且f(0)1，那么x0limesinxf(x)【 D 】

A．0 B．1 C．2 D．1

limfx1解：因为

fx在x=0处连续，并且

f01，所以x0；

同理，esinx在x=0处连续，并且

esinxx01，所以x0limesinx1。

综上，x0limesinxfx111

26．曲线ye在点(0,1)处的切线斜率是【 A 】

x2

111eA．2 B．2 C．2 D．e2

xx212yee2。 解：

x12e2所以，在点(0,1)处，切线的斜率是：

x012

27．设函数f(x)(x1)(x2)(x3)，则方程f'(x)0有【 B 】

A．一个实根 B．两个实根 C．三个实根 D．无实根

解：对原方程直接求一阶导。

fxx1x2x3

x2x3x1x3x1x23x212x113x212

2所以，

fx03x210

即：

3x21x22211x233

所以，fx0有两个实根。

2328．函数函数yx5可能存在极值的点是【 B 】

A．x5 B．x0 C．x1 D．不存在

解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。

当x=0时，函数取得最小值y=5。

x29．

1x4dx【 B 】

1A．arcsinx2C B．2arcsinx2C1 C．21x4C x11解：

1x4dx21x4dx2

令yx2，则有：

1121x4dx21121y2dy

由三角函数积分公式知道：

11121y2dy2arcsinyC12arcsinx2C

30．定积分22sinxdx【 A 】

1．21x4C D

A．0 B．2sin2 C．2cos2 D．2

解：

22sinxdxcosxx2x2cos2cos2cos2cos20

31．两平面2xyz0,x3yz2的相互位置为【 C 】

A．互相垂直 B．互相平行 C．不平行也不垂直 D．互相重合

解：由两平面变量的系数得到它们的法向量分别为：

（2，1，-1）和（1，-3，1）。

对它们求内积：21131140。所以不垂直；

211对它们求外积：131。所以不平行。

23f(x,y)5xy，则f'x(0,0)【 A 】 32．函数

A．0 B．5 C．1 D．10

解：

fxx,y5x2y310xy3x

所以

fx0,0100030

2zxy33．若，则dz【 C 】

22ydxxdyydxdydx2ydyA． B． C． D．dx2ydx2ydy

解：

dzxy2dxxy2dy1dx2ydyxy

34．设D是矩形域：axb,cyd，则

dD【 D 】

A．abcd B．abcd C．(ab)(dc) D．(ba)(dc)

解：在矩形区域D对函数1求二重积分，相当于求矩形的面积。 因为axb,cyd，所以矩形D的面积为：

Sbadc

35

10xdxdy01【 D 】

x1211xy

A 1 B 2 C 2 D 2

111211ydxxdxx0xdx0dy0x00202解：。

11136．微分方程y'e的通解是【 C 】

x2

x2x2x2x2A．yec B．yec C．y2ec D．yce

解：y'e

x2xxdye2dye2dx即：dx

方程两边分别对变量求积，得到：y2ec 37．微分方程(2xy)dx(2yx)dy0的通解是【 D 】

x222222222xycxycxxyycxxyyc A． B． C． D．

解：由微分方程(2xy)dx(2yx)dy0， 令Px,y2xy，Qx,y2yx

2yxQP2xy1yyxx 因为

所以 原微分方程是个全微分方程。

2Px,ydx2xydxxxyC1yC2

2Qx,ydy2yxdyyxyC3xC4

令

x2xyC1yC2y2xyC3xC4

22xxyyC 得到

222xyz138．设表示域：，则zd【 A 】

24A ．0 B．3 C．3 D．

解：定义球面坐标：

xrsincosxrsinsinzrcos 其中r0,1,0,,0,2

zdddrcosr2sindr00021d0201sincosd412dsin2d2016012cos2d01600

39．(x0,y0)是二元函数zf(x,y)的驻点，则函数在该点处【 D】

A．一定有极大值 B．一定有极小值 C．有极大值或极小值 D．不一定有极值

解：驻点定义：函数的导数为0的点称为函数的驻点，驻点可以划分函数的单调区间。可导函数fx的极值点必定是它的驻点，可导函数fx的最值点未必是它的驻点，函数的驻点也不一定是极值点。

40 微分方程y''7y'12y0的通解是【 C 】

3x4x3x4x3x4xyc1e3xc2e4xyeceyceeyeeA． B． C． D．

2解：易知微分方程的特征方程为：7120，解得：13,24。

由二阶齐次方程的通解公式有：

yc1e3xc2e4x

xyy41. 设直线3k4与平面2x9y3z100平行，则k等于【 A 】

A. 2 B. 6 C. 8 D. 10

解：直线的方向向量为3,k,4，平面的法向量为2,9,3。

因为直线和平面平行，所以两个向量的内积为0。

即：329k340

得到：k2

2f(x,y)2xy，则f'x(1,0)【 A 】 42. 若

A. 4 B. 0 C. 2 D. 1

解：

fxx,y2x2y4xx，

所以，fx1,0414

f'(x,y)43. f'x(x,y)和y在点(x0,y0)连续是f(x,y)在点(x0,y0)可微分的【 A 】

A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件

zz,zfx,y解：由定理直接得到：如果函数的偏导数xy在点x,y连续，则函数在该

点的全微分存在。

44. 设D是矩形：0xa,0yb，则

dxdyD【 D 】

A. ab B. 2ab C. k(ab) D. kab

解：对单位1对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。

由题意知：0xa,0yb，则：

dxdya0b0abD

45. 设D是方形域：0x1,0y1，

xydD【 D 】

111A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解：

1221xyddxxydyxy00440,0D111,1

46. 微分方程

y'xy的通解是【 A 】

222222xycxycxy1 D. xyc A. B. C.

解：

y'xdyx11ydyxdxy2x2Cydxy22

22xyc 即：

dyyx347. 微分方程dx的通解是【 B 】

xx3x3cx3x3cxccxA. 4x B. 2 C. 2 D. 4

dyyyx3yx2x解：dx

x令

px12x，qxx

由一阶线性非齐次微分方程的公式有：

pxdxpxdxpxdxyCeeqxedx1Cxxx2dxxx3Cx2

48.

Iy2sinxdxdy,D:|x|,0y1D，则I【 C 】

222A. 3 B. 3 C. 0 D. 3

解：化二重积分为二次积分：

1sinxdx03

Iy2sinxdxdydxy2sinxdyD0149. 如果zf(x,y)在有界闭区域D上连续，则在该域上【 C 】

A.只能取得一个最大值 B.只能取得一个最小值

C.至少存在一个最大值和最小值 D.至多存在一个最大值和一个最小值

解：由定理知道函数在有界闭区域上连续，则必然存在极值。

2xy''4y'4ye50. 微分方程的一个特解形式为【 D 】

2x2x22x2xyaxeyaebxyaxe yaeA. B. C. D.

解：微分方程的特征函数：

24422，

所以有一个重特征根：2。

22xyaxe。 据此，微分方程的特解形式为：

51．平面xkyz20与2xyz10互相垂直，则【 C 】

A．1 B．2 C．1 D．2

解：因为两个平面互相垂直，所以他们法向量的内积为0。

平面1的法向量为（1，k，-1）；

平面2的法向量为（2，1，1）。

12k1110

k1

2zx2xzxye52．设，则xy【 B 】

xy(2x1)eA．

2x B．1 C．0 D．12xex2x

解：有题意的，直接计算：

xyex2xzx2zxxyyyy2x1ex2x1y

53．设f(x,y)sin(xy)，则df(x,y)【 C 】 A．ycos(xy)dx B．xcos(xy)dy

C．ycos(xy)dxxcos(xy)dy D．ysin(xy)dxxsin(xy)dy

解：有题意的，直接计算：

df(x,y)df(x,y)df(x,y)dxdydxdydsinxydsinxydxdydxdyycosxydxxcosxydy

dxdyyx,y2x,y1．设D由围成，则D【 B 】

113A．2 B．4 C．1 D．2

解：有题意知三条直线围城的积分区域是一个三角形，

1A0,0,B,1,C1,12交点分别为。

在积分区域对单位1的积分就是求积分区域的面积，

111dxdyS1ABC224 。 所以：D55．设

If(x,y)dxdyD2y，其中D由曲线4x与yx所围成，则【 A 】

A．

Idx042xxf(x,y)dy B．

Idxf(x,y)dy004x

C．

Idyf(x,y)dy04y4x D．

Idyf(x,y)dy0x44

2y解：曲线4x与yx相交于0,0和4,4两点。且在交点间yx处于下方。

所以，

If(x,y)dxdydxD042xxf(x,y)dy

56．微分方程y'2x的通解为【A】

222yxycxyxcyxA． B． C． D．

dyy2x解：由题目中得到：dx

即：dy2xdx

yx2C

57．微分方程xy'2y有一个解是【A 】

233y5xy5xy2xy2xA． B． C． D．

2y5x解：将A，B，C，D四个选项逐个代入即可发现是原微分方程的一个解。

58．设V为：0x1,0y1,0z1，则

dV【 A 】

111A．1 B．2 C．6 D．8

解：由题目中对单位1的积分知道，原三重积分是求积分区域的体积。 因为：0x1,0y1,0z1

所以，

ddxdydz1010101V000111

22zx2xy59．设，则它在点(1,0)处【 B 】

A．取得最大值 B．无极值 C．取得极小值 D．无法判断是否有极值

解：

zx22xy2x1y212

2x1y在（1，0）点处取到了极小值0，取到了极大值0。

2

因为x项和y项在（1，0）处的值没有一致性，所以不是极值。 60．微分方程y''yxcos2x的特解形式【D】

22x2x2xyaxeyaxeyaeA． B． C． D．yaxb

2解：微分方程的特征函数是10，特征根i。方程右边项得w2。

显然2i不是特征函数的特征根。

*y所以，方程的特解形式是：(axb)sinx(cxd)cosx