2015年考研数学(三)真题及答案详解

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1)设是数列,下列命题中不正确的是 ( )

(A) 若,则(B) 若, 则(C) 若,则(D) 若,则 【答案】(D)

【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列对任意的子列均有,所以A、B、C正确； D错(D选项缺少的敛散性),故选D

(2) 设函数在内连续,其2阶导函数的图形如右图所示,则曲线的拐点个数为 ( )

(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)

【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.

(3) 设 ,函数在上连续,则 ( )

(A) (B) (C)(D)

【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域

所以，

故选B.

(4) 下列级数中发散的是( )

(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)

Image

【解析】A为正项级数，因为级数的比值判别法级数收敛准则，知据莱布尼茨判别法知知，Image

收敛；B为正项级数，因为

收敛；C，收敛，

，所以根据正项

，根据，根

发散，所以根据级数收敛定义

发散；D为正项级数，因为

，所以根据正项级数的比值

判别法收敛，所以选C.

(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )

(A) (B) (C) (D)【答案】(D)【解析】

，

由，故或，同时或.故选（D）

(6) 设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为( )

(A) (B) (C) (D)【答案】(A)【解析】由，故.且.又因为故有

(A) (B) (C) (D)【答案】(C)

【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C) .

(8) 设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则 ( )

所以.选（A）

(7) 若为任意两个随机事件,则: ( )

(A) (B) (C) (D)【答案】(B)

【解析】根据样本方差的性质，而，从而，选(B) .

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(9)

【答案】【解析】原极限

(10)设函数连续，若则

【答案】【解析】因为；

连续，所以

可导，所以

因为又因为故

，所以，所以

(11)若函数由方程确定，则

【答案】【解析】当对

，时带入求微分，得

，得

.

把所以

，，代入上式，得

(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则

【答案】【解析】

的特征方程为

，特征根为，因为

，故

，可导，所

，所以该齐次微分方程的通解为以为驻点，即

，，所以，

(13)设3阶矩阵的特征值为，其中E为3阶单位矩阵，则行

列式

【答案】

【解析】的所有特征值为的所有特征值为

所以.

(14)设二维随机变量服从正态分布，则【答案】

【解析】由题设知，，而且相互，从而 .

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10 分)

设函数.若与在时是等价无穷小，求的值.【答案】

【解析】法一：

因为

Image

则有，，

Image

可得：

，所以，

Image

．，

，

法二：

由已知可得得

Image

由分母得c；

Image

于是 由分母；

进一步，b值代入原式

，得分子

，求得

，得分子

，求

Image

Image

，求得

(16)(本题满分10 分)计算二重积分，其中

【答案】

【解析】

(17)(本题满分10分)

为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，MC为边际成本，为需求弹性.(I) 证明定价模型为；

(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定

此商品的价格.

【答案】(I)略(II) .【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得

.

当且仅当

,

时，利润

最大，又由于

,所以

故当Image时，利润最大.(II)由于模型，得Image

,从而解得

,则.

代入(I)中的定价

(18)(本题满分10 分)

设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求表达式.

【答案】

【解析】曲线的切线方程为

点为

故面积为：故解得

满足的方程为

，又由于

.

，切线与轴的交

,此为可分离变量的微分方程,，带入可得

，从而

(19)(本题满分 10分)

（I）设函数可导，利用导数定义证明（II）设函数可导，，写出的求导公式.

【答案】

【解析】（I）

（II）由题意得

(20) (本题满分 11分)

设矩阵，且.(I) 求的值；

(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.

【答案】【解析】(I)(II)由题意知，

(21) (本题满分11 分)

设矩阵相似于矩阵.(I) 求的值；

（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵.【答案】【解析】(1)的特征值

时的基础解系为时的基础解系为A的特征值令，

(22) (本题满分11 分)

设随机变量的概率密度为,对进行重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记为观测次数

(I)求的概率分布；(II)求.

【答案】(I)， ；(II).

【解析】(I) 记为观测值大于3的概率，则，从而， 为的概率分布；

(II) 法一:分解法:

将随机变量分解成两个过程,其中表示从到次试验观测值大于首次发生，表示从次到第试验观测值大于首次发生.

则，(注：Ge表示几何分布)所以.

法二:直接计算记，则，

，，所以，从而.

(23) (本题满分11 分)

设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.

(I)求的矩估计量；

(II)求的最大似然估计量.

【答案】(I) ；(II).

【解析】(I)

，

令，即，解得为的矩估计量 ；(II)似然函数，当时，，则.

从而，关于单调增加，所以为的最大似然估计量.