二次函数利润应用题

与二次函数有关的总利润问题

总利润=每一件物品的利润×物品的数量，其中每一件物品的利润＝物品的售价—进价；物品的数量＝物品原销售的数量＋（增加）【或—（减少）】的数量。实际上，对一个具体问题，学习时感到困难的是对“物品的数量”的理解，特别是以“增加（减少）物品的数量”的计算感到无从下手。学习中，采取以下方法，我们对“增加（减少）物品的数量”的理解和计算感到容易多了，也不会有太多的困难了。

首先理清几个量之间的关系 ①总销售额=销售单价X数量

②单个商品的利润=单个售价-单个进价 （“单个”可以表示为每个、每千克之类）

③总利润=单个商品的利润X数量=总销售额-总成本

【最典型的例子】

例1、某商场将进货单价为40元的衣服按50元每件出售时，每月能卖出500件。经过测算，若商场将这种衣服每涨价1元，其销售量就将减少10件，若这种衣服的售价为每件x元，该衣服每月获得的利润为y元，请你写出y与x之间的函数关系式。

分析：当这种衣服的售价为x元时，则每件衣服的利润为（x—40）元，每件衣服上涨的价格为（x—50）元，此时降低的销售量用小学学过的比例式进行计算：即10，（m（x50）m1表示售价上涨（x—50）元时减少的销售量），得到m=10（x—50），所以售价上涨（x—50）元时的销售量应为500—10（x—50）＝(1000—10x)件，所以每月获得的总利润为y＝（x—40）（1000—10x），整理即可。

【注意】若设这种衣服的涨价了m元，求y与m之间的函数关系式________________________________.

比较m与x之间的联系，做题目是切记要看清所设的x的具体内容。

审题目时一定要看清题目中设的x是增加的差价还是增加后的售价。

【题目中直接告知利润】

例2、某水果批发市场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

分析：若设每千克应涨价x元，则每千克盈利（10＋x）元。在进货价不变的情况下，减少的日销售量应用下式计算：x120m（m表示每千克涨价x元时减少的日销售量），得m＝20x，此时的日销售量为（500—20x）千克，依据题意可得（10+x）(500—20x)＝6000。 算出x的值即为符合条件，每千克应涨的价。

例3、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，这种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。请问商场要想平均每天盈利120

元，每张贺年卡应降价多少元？

分析：设每张贺年卡应降价x元，则每张贺年卡盈利为（0.3—x）元，此时商场平均每天多售出的张数可用下式计算：0.1x100m， (m表示降价x元时多售出的贺年卡的张数)，得：

m＝1000x。此时每天共售出的贺年卡为（500＋1000x）张，利润y=(0.3-x)(500＋1000x)=120 ,

解出x即为应降低的价格。

【“无成本”商品】

例4、某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可以全部租出。若每床每晚收费提高2元，则少租出10张床位；若每床每晚收费再提高2元，则又少租出10张床位，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了减少投资而且获利增加，每床每晚应提高多少元？

分析：设每床每晚收费应提高x元，获得的总利润为y元。则每床每晚的收费为（10＋x）元，减少的床位数用下式计算：2x10m，（m表示每床每晚收费提高x元时减少的床位数），得m＝5x。此时的床位数应为（100—5x），由题意得y＝（10＋x）（100—5x）＝—5x2＋50x

＋1000，当x＝5时，每晚的获利最多，但题意并不是要求获利最多，要求在每床每晚提高的收费以每次提高2元的情况下变化，因此每床每晚提高的收费应为4元或6元，但题目要求在减少投资的情况下获利增加，也就是每晚租出的床位应尽量少，所以每床每晚提高的收费应为6元。

例5、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元． （1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量； （2）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由

【题目中告知了销售量与销售单价之间的函数关系--一般为一次函数 要会分析表格和图像】

例6、某市大力扶持大学生创业．李明在的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y10x500．

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）

例7、某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示．

（1）每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式是_____________________．

（2）求该商场每天销售这种商品的销售利润y（元）与每件的销售价格x（元）之间的函数表达式；

（3）每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？

例8、为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行补贴．规定每购买一台彩电，补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

z(元) y(台) 200 160 1200 800 200 x(元) 0 400 x(元) 图① 图②

（1）在未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ 0 （2）在补贴实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益Z与补贴款额x之间的函数关系式；

（3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值．

例9、今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表： 周数x 价格y（元/千克） 1 2 2 2.2 3 2.4 4 2.6 进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数

1 2

y＝－ x＋bx＋c.

20 （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写

出4月份y与x 的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；

1

（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝ x＋1.2，

4 15月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝x＋2．试

5问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？

【对于所有这类问题，只要把握物品数量中“增加（减少）物品的数量”的计算方法，找准“物品数量”，这类问题就会迎刃而解了。】

如果题目中出现求毛利润，开头一定会告诉你固定成本（广告费、场地费之类的），只需在总利润的基础上再减去这些费用就行。 毛利润＝总利润－各种费用

例题：

1.某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销售的饮料每瓶进价为5元．销售单价与日平均销售的关系如下： 销售单价（元） 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 日平均销售量（瓶） 480 460 440 420 400 380 360 （1）若记销售单价比每瓶进价多x元，则销售量为______________________________. 求日均毛利润（毛利润=售价-进价-固定成本）y与x之间的函数关系式．

（2）若要使日均毛利润达到1400元，则销售单价应定为多少元？

（3）若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元？最大日均毛利润为多少元？

2. 恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇

远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克 香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香 菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每 天有6千克的香菇损坏不能出售．

（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与

x之间的函数关系式．

（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）

（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？

3.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定．．支出)

(1)求y与x的函数关系式；

(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？

(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？

审题时只要把思路理清

抓住利润和售价、成本之间的关系，题目再复杂也能从容应对！

有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．

(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润？