九年级数学下册小专题(七)与圆的切线有关的计算与证明练习(新版)湘教版

1．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.取BC的中点E，连接ED，求证：ED与⊙O相切．

证明：连接OD. ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠BDO. ∵AB是直径(已知)， ∴∠ADB＝90°. ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. 在Rt△BDC中，E是BC的中点， ∴BE＝CE＝DE.∴∠DBE＝∠BDE. 又∵∠ABC＝∠OBD＋∠DBE＝90°， ∴∠ODE＝∠BDO＋∠BDE＝90°. ∵OD是⊙O的半径， ∴ED与⊙O相切．

2．如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E. (1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由； (2)若CE＝2，求⊙O的半径r.

解：(1)⊙O与BC相切． 理由：连接OD，OB， ∵⊙O与CD相切于点D， ∴OD⊥CD，∠ODC＝90°.

1

∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝CD＝CB.

∵OD＝OB，OC＝OC，CB＝CD.

∴△OBC≌△ODC.∴∠OBC＝∠ODC＝90°. 又∵OB为半径，∴⊙O与BC相切． (2)∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD. ∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA. ∵∠COD＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠COD＝2∠ACD. 又∵∠COD＋∠ACD＝90°， 1

∴∠ACD＝30°.∴OD＝OC，

21

即r＝(r＋2)．

2∴r＝2.

3．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝12，AP是半圆的切线，点C是半圆上的一动点(不与点A，B重合)，过点C作CD⊥AP于点D，记∠COA＝α. (1)当α＝60°时，求CD的长；

(2)当α为何值时，CD与⊙O相切？说明理由．

解：(1)过点C作CE⊥AB于点E. 在Rt△OCE中， OE＝OC·cos∠COA 1

＝×6＝3， 2

则CD＝OA－OE＝6－3＝3.

(2)当∠α＝90°时，CD与⊙O相切． 理由：∠α＝90°，则在四边形OCDA中， ∠COA＝∠OAD＝∠CDA＝90°，

2

∴∠OCD＝90°. ∴OC⊥CD.

又∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线．

4．(2018·宿迁)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F. (1)求证：PC是半圆O的切线；

(2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段BF的长．

解：(1)证明：连接OC. ∵OD⊥AC，OD经过圆心O， ∴AD＝CD.∴PA＝PC. 在△OAP和△OCP中， 

OA＝OC， PA＝PC， OP＝OP，

∴△OAP≌△OCP(SSS)． ∴∠OAP＝∠OCP.

∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°. ∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC. 又∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线． (2)∵OB＝OC，∠OBC＝60°， ∴△OBC是等边三角形． ∴∠COB＝60°. ∵AB＝10，∴OC＝5.

3

由(1)知，∠OCF＝90°， ∴CF＝OC·tan∠COB＝53.

5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.

(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由； (2)若AC＝24，AF＝15，求⊙O的半径．

解：(1)AF与⊙O相切．理由如下： 连接OC，

∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC. ∴∠OCF＝90°. ∵OF∥BC，

∴∠B＝∠AOF，∠OCB＝∠COF. ∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB. ∴∠AOF＝∠COF. 在△OAF和△OCF中， 

OA＝OC，∠AOF＝∠COF， OF＝OF，

∴△OAF≌△OCF(SAS)． ∴∠OAF＝∠OCF＝90°. 又∵OA是⊙O的半径， ∴AF与⊙O相切．

(2)∵△OAF≌△OCF，∴∠AOE＝∠COE. ∴OE⊥AC，AE＝1

2AC＝12.

∴EF＝152

－122

＝9.

4

∵∠OAF＝90°，∴△OAE∽△AFE. ∴

OAAEOA12＝，即＝， AFFE159

∴OA＝20，即⊙O的半径为20.

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF. (1)求∠CDE的度数； (2)求证：DF是⊙O的切线；

(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．

解：(1)∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°. ∴∠CDE＝90°. (2)证明：连接OD.

∵∠CDE＝90°，F为CE中点， ∴DF＝1

2CE＝CF.

∴∠FDC＝∠FCD.

又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD. ∴∠ODF＝∠OCF.

∵EC⊥AC，∴∠OCF＝90°. ∴∠ODF＝90°. ∵DO是⊙O的半径， ∴DF为⊙O切线．

(3)在△ACD与△ACE中，∠ADC＝∠ACE＝90°，∠EAC＝∠CAD，∴△ACD∽△AEC.

5

∴

ACAD2

＝.∴AC＝AD·AE. AEAC

2

又AC＝25DE，∴20DE＝(AE－DE)·AE. ∴(AE－5DE)(AE＋4DE)＝0. ∴AE＝5DE，AD＝4DE.

在Rt△ACD中，AC＝AD＋CD，∴CD＝2DE. 又∵∠ABD＝∠ACD，

AD

∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2.

CD

7．如图，已知以Rt△ABC的边AC为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF. (1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．

2

2

2

解：(1)证明：连接FO，易证OF∥AB. ∵AC为⊙O的直径， ∴CE⊥AE. ∵OF∥AB， ∴OF⊥CE. ∵OE＝OC，

∴OF所在直线垂直平分CE. ∴FC＝FE.

∴∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE. ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCE＋∠FCE＝90°.

∴∠OEC＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°. 又∵OE是⊙O的半径， ∴FE为⊙O的切线．

6

(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3. ∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°. ∴∠COD＝∠EOA＝60°.

∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3， ∴CD＝33.

∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝33，AC＝6， ∴AD＝AC2

＋CD2

＝37.

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