浙江省嘉兴市九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷

题号 得分

一 二 三 总分

一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）

A. B. C. D.

2.

打开电视机正在播放广告

投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面向上的次数为 50 次 任意画一个三角形，其内角和为 180∘

任意一个二次函数图象与 x 轴必有交点

把抛物线 y=-x2 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解 析式为（ ）

A. y=−(x−1)2−3 B. y=−(x+1)2−3 C. y=−(x−1)2+3 D. y=−(x+1)2+3

3. ⊙O 的半径为 4，点 P 是⊙O 所在平面内的一点，且 OP=5，则点 P 与⊙O 的位置 关系为（ ）

A. 点 P 在⊙O 上 B. 点 P 在⊙O 外 C. 点 P 在⊙O 内 D. 以上都不对

4.

如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为 C，交⊙O 于 点 D，点E 在优弧 AB 上．若∠AOD=52°，则∠DEB 的度数为（ ）

A. B. C. D.

52∘ 40∘ 26∘ 45∘

5.

红红和娜娜按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中错误的是 （ ）

A. B. C. D.

6.

红红胜或娜娜胜的概率相等

红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为 12 两人出相同手势的概率为 13

娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样

濮院女儿桥是典型的石拱桥，如图．某天小松测得水面 AB 宽为 8m，桥顶 C 到水 面 AB 的距离也为 8m，则这座女儿桥桥拱半径为（ ）

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A. 4m

7.

B. 5m C. 6m D. 8m

数学课上，老师让学生尺规作图画 △RtABC，使其斜边 AB=c，一条直角边 BC=a，小明的作法如图所示，你认为 这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是（ ）

A. B. C. D.

勾股定理

勾股定理是逆定理

直径所对的圆周角是直角 90∘的圆周角所对的弦是直径

8.

bx+c，自变量 x 与函数 y 的对应值如表： 二次函数 y=ax 2+x y

…

-5

-4

-3

-2

-1

0

…

…

4 0 -2 -2 0 4

…

下列说法正确的是（ ）

A. 抛物线的开口向下 二C. 次函数的最小值是−2

9.

B. 当 x>−3 时，y 随 x 的增大而增大 D. 抛物线的对称轴是直线 x=−52

如图，在 △RtACB 中，∠ACB=90°，∠A=35°， △将ABC 绕点 C 逆 时针旋转 α 角 △到A 1B C 的位置，A B 恰好经过点 B，则旋转角 α 1 1 1 的度数等（ ）

A. B. C. D.

70∘ 65∘ 55∘ 35∘

10. 如图所示，已知二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x=1．直线 y=-x+c 与2 +c 交于 C，D 两点，D 点在 x 轴下方且 横坐抛物线 y=ax +bx标小于 3，则下列结论：①a-b+c＜0；②2a+b+c＞0； ③x（ax+b）≤a+b；④a＜-1．其中正确的有（ ）

A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个

二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）

2 的顶点坐标为______． 11. 二次函数 y=2（x-3） -112. 在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有 a 个白球和 3 个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子．通过大 量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 20%左右，则 a 的值约为______． 13. 从标有 1，2，3，4 的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是2 ______． 14. 已知（-1，y ），（3，y ）是抛物线 y=x +4x+m 图象上的点，请将 y ，y 用1 2 1 2

“＜”号

连接______．

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15. 如图，点 B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD=130°，则∠BOD 的度 数是______．

16. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，

使其一边经过圆心 O，另一边所在直线与半圆相交于点 D、E，量出半径 OC=5cm，弦 DE=8cm，则直尺的宽度 ______． 17. 如图，AB 是圆 O 的直径，

∠A=30°，BD 平分∠ABC，

CE⊥AB 于 E，若 CD=6，则 CE 的长为______．

18. 已知二次函数 y=-2（x+3）2-1，当 x=m 和 x=n 时函数 y 的值相等，则当 x=m+n 时， 函数 y 的值是______．

19. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB=2，BC=1.5，矩形在直线上绕其右下角的顶点 B 向右第一次旋转 90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转 90°至图 ②位置，…，以此类推，这样连续旋转4 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的 路程之和是______．

20. 如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，

CD=2，过 A，B，D 三点的⊙O 分别交 BC，CD 于点 E，M，下列结论：①DM=CM；②AB=EM；③⊙O 的直径为 2；④AE=AD．其中正确的结论有______ （填序号）．

三、解答题（本大题共 6 小题，共 40.0 分）

21. 已知二次函数的图象的顶点坐标是（1，3），且与 x 轴的一个交点是（-2，0）． （1）求这个二次函数的解析式及图象与 x 轴的另一个交点坐标；

（2）根据函数图象，写出函数值 y 大于 0 时，自变量 x 的取值范围．

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22. 在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有 下列四个志愿者工作岗位供他们选择：

，A 表①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用 A 示）． 1 2

②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用 B ，B 表示）．

1

2

（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是 ______；

（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求 出他们恰好都选择同一个岗位的概率．

23. 如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DC=BD，连结 AC 交⊙O 于点 F．

（1）AB 与 AC 的大小有什么关系？请说明理由； （2）若 AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．

24. 某商店经营一种小商品，进价为每件 20 元，据市场分析，在一个月内，销售单价 定为 25 元时，月销售量为 1050 件；当销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 50 件．设销售单价为 x（元），月销售量为 y（件），月获利（月获利=月销售额-月 进价）为 w（元）．

（1）试写出 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出 x 的取值范围）；

（2）试写出 w 与 x 之间的函数关系式（不必写出 x 的取值范围）；并求当销售单 价为多少时，月获利最大，最大月获利为多少？

25. 已知，抛物线 y=-x 2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（0，5）． （1）求这个抛物线的解析式；

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（2）如图 1，P 是抛物线对称轴上一点，连接 PA，PB，试求出当 PA+PB 的值最 小时点 P 的坐标；

（3）如图 2，Q 是线段 OC 上的一点，过点 Q 作 QH⊥x 轴，与抛物线交于 H 点， 若直线 BC 把△QCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出 Q 点的坐标．

26. 如图，⊙O 的直径 AB=26，P 是 AB 上（不与点 A，B 重合）的任一点，点 C，D 为 ⊙O 上的两点．若∠APD=∠BPC，则称∠DPC 为直径 AB 的“回旋角”．

（1）若∠BPC=∠DPC=60°，则∠DPC 是直径 AB 的“回旋角”吗？并说明理由； （2）猜想回旋角”∠DPC 的度数与弧 CD 的度数的关系，给出证明（提示：延长CP 交⊙O 于点 E）；

（3）若直径 AB 的“回旋角”为 120°， △且PCD 的周长为 24+133，直接写出 AP 的长．

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，故此选项错误；

B、投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面向上的次数为 50 次，是随机事件， 故此选项错误；

C、意画一个三角形，其内角和为 180°，是必然事件，故此选项正确；

D、任意一个二次函数图象与 x 轴必有交点，是随机事件，故此选项错误； 故选：C．

直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案．

此题主要考查了随机事件，正确把握相关事件的定义是解题关键．

2.【答案】D

【解析】

2 向左平移 1 个单位时，顶点由原来的（0，0） 变为（-1，0）， 解：当 y=-x

当向上平移 3 个单位时，顶点变为（-1，3），

则平移后抛物线的解析式为 y=-（x+1） +3．

2

故选：D．

利用二次函数平移的性质．

本题主要考查二次函数 y=ax 、y=a（x-h） 、y=a（x-h） +k 的关系问题． 3.【答案】B

【解析】

2 2 2

解：根据点到圆心的距离 5，大于圆的半径 4，则该点在圆外．

故选：B．

根据点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的

半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外，即可得到结 论．

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本题考查了点和圆的位置关系，属于基础题，注意掌握当点到圆心的距离大 于圆的半径时，点在圆外．

4.【答案】C

【解析】

解：∵OD⊥AB，

∴

=

，

∴∠DEB= ∠AOD=26°，即∠DEB 的度数为 26°； 故选：C．

运用垂径定理证明

=

，借助圆周角定理的推论即可解决问题．

本题考查的是圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键． 5.【答案】B

【解析】

解：A、红红胜或娜娜胜的概率相等，都是 ，所以 A 选项为真命题；

B、红红不是胜就是输，所以红红胜的概率为 ，所以 B 选项假命题；

C、两人出相同手势的概率为 ，所以 C 选项为真命题；

D、娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样，所以 D 选项为真命题． 故选：B．

利用树状图可求出她们胜的概率、两人出相同手势的概率都相同，然后对各 选项进行判断．

本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后

面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．也考查了概率公式． 6.【答案】B

【解析】

解：连接 OA，

∵AB 宽为 8m，桥顶 C 到水面 AB 的距离也为 8m， ∴AD=4m，OD=8-OA，

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∴在 Rt△OAD 中，

2 2， OA =OD2 +AD 2 2+4 2， 即 OA =（8-OA）

解得：OA=5

故选：B．

根据利用勾股定理得出 OA 的长，即可得出答案．

此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，根据已知得出 OA 的 长是解题关键．

7.【答案】C

【解析】

解：∵AB 是直径， ∴∠ACB 是直角．

则∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．

故选：C．

由 AB 是直径，根据直径所对的圆周角是直角即可判定∠ACB 是直角．

此题考查了圆周角定理．注意掌握直径所对的圆周角是直角定理的应用是解 此题的关键．

8.【答案】D

【解析】

解：将点（-4，0）、（-1，0）、（0，4）代入到二次函数 y=ax 2+bx+c 中，

得：

，解得： ，

∴二次函数的解析式为 y=x 2+5x+4．

A、a=1＞0，抛物线开口向上，A 不正确；

B、-

=- ，当 x≥- 时，y 随 x 的增大而增大，B 不正确；

C、y=x2 +5x+4=

- ，二次函数的最小值是- ，C 不正确；

D、- =- ，抛物线的对称轴是直线 x=- ，D 正确． 故选：D．

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选出 3 点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性 质逐项分析四个选项即可得出结论．

本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是利用

待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目 时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．

9.【答案】A

【解析】

解：∵在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=35°， ∴∠ABC=55°，

∵将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 α 角到△A△ ′B′C 的位置， ∴∠B′=∠ABC=55°，∠B′CA′=∠ACB=90°， CB=CB′，

∴∠CBB′=∠B′=55°， ∴∠α=70°， 故选：A．

根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对 应关系是解此题的关键．

10.【答案】A

【解析】

解：∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）左侧，

而抛物线的对称轴为直线 x=1，

∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，

∴当 x=-1 时，y＜0，

∴a-b+c＜0，所以①正确；

∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， ∴c＞0，

∵抛物线的对称轴为直线 x=-

=1，

∴b=-2a，

∴2a+b+c=2a-2a+c=c＞0，所以②正确； ∵x=1 时，二次函数有最大值，

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∴ax 2 +bx+c≤a+b+c，

∴ax+bx≤a+b，所以③正确；

2

∵直线 y=-x+c 与抛物线 y=ax +bx+c 交于 C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标 小于 3，

2

∴x=3 时，一次函数值比二次函数值大， 即 9a+3b+c＜-3+c， 而 b=-2a，

∴9a-6a＜-3，解得 a＜-1，所以④正确．

故选：A．

利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，则当

x=-1 时，y＜0，于是可对①进行判断；利用抛物线与 y 轴的交点位置得到 c＞0，

利用对称轴方程得到 b=-2a，则 2a+b+c=c＞0，于是可对②进行判断；根据二

次函数的性质得到 x=1 时，二次函数有最大值，则 ax 2+bx+c≤a+b+c，于是可对

③进行判断；由于直线 y=-x+c 与抛物线 y=ax 2+bx+c 交于 C、D 两点，D 点在 x

轴下方且横坐标小于 3，利用函数图象得 x=3 时，一次函数值比二次函数值大，

即 9a+3b+c＜-3+c，然后把 b=-2a 代入解 a 的不等式，则可对④进行判断．

本题考查了二次函数与不等式（ 组），利用两个函数图象在直角坐标系中的上

下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次 函数图象与系数的关系．

11.【答案】（3，-1）

【解析】

解：∵二次函数 y=2（x-3） 2-1 是顶点式，

∴顶点坐标为（3，-1）．

故答案为：（3，-1）．

因为顶点式 y=a（x-h） +k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数 y=2（x-3） -1 的顶点坐标．

2 2

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此题主要考查了利用二次函数 顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考 查重点， 同学们应熟练掌握．

12.【答案】12

【解析】

解：由题意可得，

×100%=20%，

解得 a=12．

经检验：a=12 是原分式方程的解，

所以 a 的值约为 12，

故答案为：12．

在同 样条件下，大量反复 试验时 ，随机事件 发生的 频率逐 渐稳定在概率附近，

可以从摸到红球的频率稳定在 20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．

本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的 频率得到相应的等量关系．

13.【答案】23

【解析】

解：列树状图得：

共有 12 种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为 8 种， 所以概率为 ，

故答案为： ．

列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情 况数的多少即可．

此题考查用列树状图的方法解决概率问题；得到取出的两张卡片上的数字之

和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况 数与总情况数之比．

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14.【答案】y 1＜y

2

【解析】

2

解：抛物线 y=x +4x+m 的开口向上，对称轴为 x=-

=-2，

2

∵（-1，y ），（3，y ）两点中，点（ -1，y ）离 对称轴最近，点（ 3，y ）离对称轴最远，

1

2

1

∴y ＜y ．

1

2

故答案为：y ＜y ．

1

2

求对称轴，再根据（-1，y ），（3，y ）两点与对称轴的位置关系，开口方向判断

1

2

y ，y 的大小．

l

2

本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数 a＞0 时，在对称轴的左边，y 随

x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大；a＜0 时，在对称轴的 左边，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随 x 的增大而减小．

15.【答案】100°

【解析】

解：在优弧 BD 上取一点 A，连接 AB，AD，

∵点 A、B，C，D 在⊙O 上，∠BCD=130°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BOD=100°，

故答案为 100°．

在优弧 BD 上取一点 A，连接 AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得

∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求 得答案．

此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的 关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

16.【答案】3cm

【解析】

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解：过点 O 作 OF⊥DE，垂足为 F， ∵OF 过圆心，

∵DE=8cm，

∴EF= DE=4cm， ∵OC=5cm， ∴OB=5cm， ∴OF=

故答案为：3cm．

= = =3．

过点 O 作 OF⊥DE，垂足为 F，由垂径定理可得出 EF 的长，再由勾股定理即可 得出 OF 的长．

本题考查的是垂径定理的应用，解答此类题目先构造出直角三角形，再根据 垂径定理及勾股定理进行解答．

17.【答案】33

【解析】

解：∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠A=30°，

∴∠D=∠A=30°，∠ABC=60°， ∵BD 平分∠ABC，

∴∠CBD= ∠ABC=30°， ∴∠D=∠CBD， ∴CD=CB=6， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°，

∴EC=BC•sin60°=3

，

故答案为 3

．

首先证明∠D=∠CBD=30°，推出 CD=CB=6，在 Rt△ECB 中，根据 EC=BC•sin60° 即可解决问题．

本题考查圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数

等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18.【答案】-19

【解析】

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解：∵当 x=m 和 x=n 时函数 y 的值相等，

而抛物线的对称轴为直线 x=-3，

∴m-（-3）=-3-n， ∴m+n=-6，

2-1=-19

当 x=m+n 时，y=-2（-6+3） ．

故答案为-19．

利用抛物线的对称性得到 m-（-3）=-3-n，则 m+n=-6，然后把 x=m+n 代入抛物 线解析式中计算即可．

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其 解析式．也考查了二次函数的性质．

19.【答案】3π

【解析】

解：转动一次 A 的路线长是：

=π，

转动第二次的路线长是：

π， π，

转动第三次的路线长是：

转动第四次的路线长是：0，

转动五次 A 的路线长是：

=π，

以此类推，每四次循环，

故顶点 A 转动四次经过的路线长为：π+ π+ π=3π，

故答案为：3π；

首先求得每一次转动的路线的长，发现每 4 次循环，找到规律然后计算即可．

本题主要考查了探索 规律问题和弧长公式的运用．注意掌握旋 转变换的性质、 灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．

20.【答案】①②④

【解析】

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解：如下图，连接 AM，连接 MB，过点 O 作 OG⊥AM，OH⊥AM，

∵∠BAD=∠CDA=90°，∴AM 过圆心 O，

而 A、D、M、B 四点公圆，

∴四边形 ADMB 为矩形，而 AB=1，CD=2， ∴CM=2-1=1=AB=DM，即：①DM=CM，正确； 又 AB∥CD，∴四边形 ABMC 为平行四边形，

∴∠AEB=∠MAE，

= ，故②正确；

∵四边形 ADMB 为矩形，

∴AB=DM，∴

= ，∴∠DAM=∠EAM，

过点 O 作 OG⊥AM，OH⊥AM，∴OG=OH，

∴AD=AE，∴④正确；

由题设条件求不出直径的大小，

故③⊙O 的直径为 2，错误；

故答案为①②④．

（1）由四边形 ADMB 为矩形，知①DM=CM，正确；

（2）四边形 ABMC 为平行四边形，∴∠AEB=∠MAE，

= ，故②正确；

（3）由题设条件求不出直径的大小，故③⊙O 的直径为 2，错误；

（4）∠DAM=∠EAM，OG⊥AM，OH⊥AM 推出弦心距相等，故④AE=AD 正确． 本题考查的是圆的基本知识，涉及到弦心距、角平分线、矩形、平行四边形的

知识综合运用，题目难度较大．

2

21.【答案】解：（1）设二次函数的解析式为 y=a（x-1） +3，且过点（-2，0）

∴0=9a+3

2

∴a=-13

∴解析式为 y=-13（x-1） +3，

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令 y=0，则 0=-13（x-1） 2 +3 ∴x =-2，x =4

1

2

∴与 x 轴的另一个交点坐标是（4，0） （2）

由二次函数图象可得：-2＜x＜4 【解析】

（1）用待定系数法可求解析式，当 y=0 时，可求另一个交点坐标；

（2）根据函数图象可求自变量 x 的取值范围．

本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象的性质，用待定系数法求二 次函数解析式，熟练掌握二次函数图象的性质是本题的关键．

22.【答案】12

【解析】

解：（1） 张辉同学选择清理类岗位的概率为： = ；

故答案为： ；

（2）根据题意画树状图如下：

共有 16 种等可能的结果数，张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为 4，

所以他们恰好选择同一岗位的概率：

= ．

（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）根据题意先画出树状图，得出所以等可能的结果数，再找出张辉和夏明恰 好都选择田赛的结果数，然后根据概率公式求解即可．

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本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结

果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．

23.【答案】解：（1）AB=AC．

理由是：连接 AD． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC， 又∵DC=BD， ∴AB=AC；

（2）连接 OD、过 D 作 DH⊥AB． ∵AB=8，∠BAC=45°， ∴∠BOD=45°，OB=OD=4， ∴DH=22

∴△OBD 的面积=12×4×22=42

扇形 OBD 的面积=45⋅π⋅42360=2π，阴影部分面积=2π−42． 【解析】

（1）连接 AD，根据圆周角定理可以证得 AD 垂直且平分 BC，然后根据垂直平 分线的性质证得 AB=AC；

（2） 连接 OD、过 D 作 DH⊥AB，根据扇形的面积公式解答即可．

本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和对应 圆心角的度数的关系是关键．

24.【答案】解：（1）根据题意得：y=1050-50（x-25）=-50x+2300；

2 （2）根据题意得：w=（x-20）（-50x+2300）=-50x +3300x-46000．

2+3300 ∵w=-50x x-46000=-50（x-33） 2+8450，a=-50，

∴当 x=33 时，w 取最大值，最大值为 8450．

∴当销售单价为 33 元时，月获利最大，最大月获利为 8450 元． 【解析】

（1）根据月销售量=1050-50×销售单价上涨钱数，即可得出 y 与 x 之间的函数 关系式；

（2）根据月利润=单件利润×销售数量，即可得出 y 与 x 之间的函数关系式，配 方后再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

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本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用以及二次函数的性质，解题的

关键是：（1）根据数量关系，找出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）利用二次函数 的性质找出最大月利润．

25.【答案】解：（1）将 A（1，0），B（0，5）的坐标分别

bx+c． 代入 y=-x 2+得−1+b+c=0c=5

解这个方程组，得 b=−4c=5，

2 x+5； 所以，抛物线的解析式为 y=-x -4

（2）如图 1，由于点 A、C 关于 y 轴对称，所以连接 BC，直

线 BC 与 y 轴的交点即为所求的点 P，

x+5，令 y=0，得-x 2 x+5=0， 由 y=-x 2-4-4解得 x =-5，x 2=1，

1

∴C 点的坐标为（-5，0），

又 B（0，5），

∴易得直线 BC 的解析式为：y=x+5． ∴当 x=-2 时，y=3，

∴点 P 坐标（-2，3）；

（3）设 Q 点的坐标为（a，0），

所以 BC 所在的直线方程为 y=x+5．那么，QH 与直线 BC 的交 点坐标为 E（a，a+5），

2 x+5 的交点坐标为 H（a，-a -42 a+5）． QH 与抛物线 y=-x -4

由题意，得

a+5）-（a+5）=32（a+5）， ①EH=32EQ，即（-a 2-4解这个方程，得 a=-32 或 a=-5（舍去）．

a+5）-（a+5）=23（a+5）， ②EH=23EQ，即（-a 2-4解这个方程，得 a=-23 或 a=-5（舍去），

综上所述，P 点的坐标为（-32，0）或（-23，0）． 【解析】

（1）将点 A、B 的坐标代入可得出 b、c 的值，继而得出这个抛物线的解析式；

（2）由于点 A、C 关于 y 轴对称，所以连接 BC，直线 BC 与 y 轴的交点即为所

求的点 P，利用待定系数法确定直线 BC 的解析式，然后求得该直线与 y 轴的 交点坐标即可；

（3）如图 2，QH 交 BC 于 E，设 Q（t ，0），根据一次函数和二次函数图象上点的

2

坐标特征，设 P 点的坐标为（a，0），E（a，a+5），H（a，-a -4a+5）．

然后分类讨论：分别利用 EH= EQ 或 EH= EQ，列关于 a 的方程，然后分别

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解关于 t 的方程，从而得到 Q 点坐标．

本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次

函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；会解一元二

次方程；理解坐标与图形性质，记住三角形面积公式；会运用分类讨论的思想 解决数学问题．

26.【答案】解：（1）∵∠BPC=∠DPC=60°，

∴∠APD=180°-∠BPC-∠DPC=180°-60°-60°=60°， ∴∠APD=∠BPC，

∴∠DPC 是直径 AB 的回旋角．

（2）“回旋角”∠CPD 的度数=CD 的度数，理由如下： 如图 2，延长 CP 交圆 O 于点 E，连接 OD，OC，OE． ∵∠CPB=∠APE，∠APD=∠CPB， ∴∠APE=∠APD． ∵圆是轴对称图形， ∴∠E=∠D． ∵OE=OC， ∴∠E=∠C， ∴∠D=∠C．

由三角形内角和定理，可知：∠COD=∠CPD， ∴“回旋角”∠CPD 的度数=CD 的度数．

（3）①当点 P 在半径 OA 上时，在图 3 中，过点 F 作 CF⊥AB，交圆PF，则 PF=PC．

同（2）的方法可得：点 P，D，F 在同一条直线上． ∵直径 AB 的“回旋角”为 120°， ∴∠APD=∠BPC=30°， ∴∠CPF=60°，

∴△PFC 是等边三角形， ∴∠CFD=60°．

连接 OC，OD，过点 O 作 OG⊥CD 于点 G，则∠COD=120°， ∴CD=2DG，∠DOG=12∠COD=60°， ∴CD=2×1332=133．

∵△PCD 的周长为 24+133， ∴PD+PC+CD=24+133， ∴PD+PC=DF=24．

过点 O 作 OH⊥DF 于点 H，则 DH=FH=12DF=12． 在 △RtOHD 中，OH=OD2−DH2=132−122=5， 在 △RtOHP 中，∠OPH=30°， ∴OP=2OH=10，

∴AP=OA-OP=13-10=3；

②当点 P 在半径 OB 上时， 同①的方法，可得：BP=3， ∴AP=AB-BP=26-3=23．

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O 于点 F，连接

综上所述，AP 的长为：3 或 23． 【解析】

（1）由∠BPC=∠DPC=60°结合平角=180°，即可求出∠APD=60°=∠BPC，进而可 说明∠DPC 是直径 AB 的回旋角；

（2）延长 CP 交圆 O 于点 E，连接 OD，OC，OE，由“回旋角”的定义结合对顶角

相等，可得出∠APE=∠APD，由圆的对称性可得出∠E=∠D，由等腰三角形的

性质可得出∠E=∠C，进而可得出∠D=∠C，利用三角形内角和定理可得出

∠COD=∠CPD，即“回旋角”∠CPD 的度数=

的度数；

（3）①当点 P 在半径 OA 上时，在图 3 中，过点 F 作 CF⊥AB，交圆 O 于点 F，

连接 PF，则 PF=PC，利用（2）的方法可得出点 P，D，F 在同一条直线上，由直

径 AB 的“回旋角”为 120°，可得出∠APD=∠BPC=30°，进而可得出∠CPF=60°，

即PFC 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出∠CFD=60°△．连接 OC，

OD，过点 O 作 OG⊥CD 于点 G，则∠COD=120°，根据等腰三角形的性质可得

出 CD=2DG，∠DOG= ∠COD=60°，结合圆的直径为 26 可得出 CD=13

，

由PCD 的周长为 24+13 △

，可得出 DF=24，过点 O 作 OH⊥DF 于点 H，在

Rt△OHD 和在 Rt△OHD 中，通过解直角三角形可得出 OH，OP 的值，再根据

AP=OA-OP 可求出 AP 的值；②当点 P 在半径 OB 上时，用①的方法，可得： BP=3，再根据 AP=AB-BP 可求出 AP 的值．综上即可得出结论．

本题考查了圆的综合题、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、等边三角

形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）通过角的计算找出

∠APD=∠BPC；（2）根据圆的性质、对顶角相等以及三角形的内角和定理找出 ∠COD=∠CPD；（3）分点 P 在半径 OA 或点 P 在半径 OB 上两种情况求出 AP 的值．

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