高考全国卷理科数学

全国Ⅰ卷 理科数学

一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选

项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.设z1i2i，则|z| 1i12A.0 B. C.1 D. 2 2.已知集合A{x|x2x20},则CRA A. {x|1x2} B. {x|1x2}

C. {x|x1}{x|x2} D. {x|x1}{x|x2}

3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

第三产业收

60

种植收入

30

养殖收入 6% 第三产业收

4% 其他收入

28

种植收入

37

30

养殖收入

建设后经济收入构成比例

5% 其他收入

建设前经济收入构成比则下面结论不正确的是 A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3S2S4,a12,则a5 A.-12 B.-10 C.10 D.12

5.设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为

A. y2x B. yx C. y2x D. yx 6.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB

A. ABAC B. ABAC C. ABAC D. ABAC A

7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表 面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧 面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A. 217 B. 25 C.3 D.2

8.设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FMFN

A.5 B.6 C.7 D.8

ex,x0,9．已知函数f(x)则a的取值范围g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，

lnx,x0,3414143434141434B

23是

A. [1,0) B. [0,) C. [1,) D. [1,) 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三

个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC. ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则

A

B

p2p3 A. p1p2 B. p1p3 C. p2p3 D. p1C

x211.已知曲线C：y21,O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条

3渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN| A. B.3 C. 23 D.4

12.已知正方体的棱长为1，每条棱长所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A.

3323323 B. C. D. 434232二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x2y20,13.若x,y满足约束条件xy10,则z3x2y的最大值为___________________.

y0,14.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn2an1,则S6___________________. 15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_______________种.（用数字填写答案）

16.已知函数f(x)2sinxsin2x,则f(x)的最小值是___________________.

二、 解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一） 必考题：共60分。 17．（12分）

在平面四边形ABCD中，ADC90,A45,AB2,BD5. (1) 求cosADB; (2) 若DC22,求BC. 18.（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别 为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折 起，使点C到达点P的位置，且PFBF.

E

(1)证明：平面PEF平面ABFD；

F

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

19.(12分)

x2 设椭圆C：y21的右焦点为F， 过F的直线l与C交于A,B两点， 点M的坐

2P

C

D

A

B

标为(2,0).

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB. 20.(12分)

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产

品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为

p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对

每件不合格品支付25元的赔偿费用.

（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX：

（ⅱ）以检测费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21.(12分) 已知函数f(x)1xalnx. x（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明：

f(x1)f(x2)a2.

x1x2（二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按

所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标极坐标方程为22cos30. （1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知f(x)|x1||ax1|.

（1）当a1时，求不等式f(x)1的解集；

（2）若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围.