垂直

　　第一课时 垂直于弦的直径(一)

　　教学目标:

　　(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证实;

　　(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;

　　(3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.

　　教学重点、难点:

　　重点:①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.

　　难点:垂径定理的证实.

　　教学学习活动设计:

　　(一)实验活动,提出问题:

　　1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

　　2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

　　通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

　　(二)垂径定理及证实:

　　已知:在⊙o中,cd是直径,ab是弦,cd⊥ab,垂足为e.

　　求证:ae=eb, = , = .

　　证实:连结oa、ob,则oa=ob.又∵cd⊥ab,∴直线cd是等腰△oab的对称轴,又是⊙o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时,cd两侧的两个半圆重合,a点和b点重合,ae和be重合, 、 分别和 、 重合.因此,ae=be, = , = .从而得到圆的一条重要性质.

　　垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

　　组织学生剖析垂径定理的条件和结论:

　　cd为⊙o的直径,cd⊥ab ae=eb, = , = .

　　为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.

　　(三)应用和练习

　　例1、如图,已知在⊙o中,弦ab的长为8cm,圆心o到ab的距离为3cm,求⊙o的半径.

　　分析:要求⊙o的半径,连结oa,只要求出oa的长就可以了,因为已知条件点o到ab的距离为3cm,所以作oe⊥ab于e,而ae=eb= ab=4cm.此时解rt△aoe即可.

　　解:连结oa,作oe⊥ab于e.

　　则ae=eb.

　　∵ab=8cm,∴ae=4cm.

　　又∵oe=3cm,

　　在rt△aoe中,

　　(cm).

　　∴⊙o的半径为5 cm.

　　说明:①学生完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

　　关系:r = h d;r2 = d2 (a/2)2

　　例2、 已知:如图,在以o为圆心的两个同心圆中,大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.(证实略)

　　说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求完成.

　　练习1:教材p78中练习1,2两道题.由学生分析思路,学生之间展开评价、交流.

　　指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

　　(四)小节与反思

　　教师组织学生进行:

　　知识:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.

　　方法:(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距;(3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.

　　(五)作业

　　教材p84中11、12、13.

　　第二课时 垂直于弦的直径(二)

　　教学目标:

　　(1)使学生把握垂径定理的两个推论及其简单的应用;

　　(2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高

　　(3)渗透一般到非凡,非凡到一般的辩证关系.

　　教学重点、难点:

　　重点:①垂径定理的两个推论;②对推论的探究方法.

　　难点:垂径定理的推论1.

　　学习活动设计:

　　(一)分解定理(对定理的剖析)

　　1、复习提问:定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧.

　　2、剖析:

　　(教师指导)

　　(二)新组合,发现新问题:(a层学生自己组合,小组交流,b层学生老师引导)

　　, ,……(包括原定理,一共有10种)

　　(三)探究新问题,归纳新结论:

　　(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对应的两条弧.

　　(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦对应的两条弧.

　　(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

　　(4)圆的两条平行线所夹的弧相等.

　　(四)巩固练习:

　　练习1、“平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

　　(在推论1(1)中,为什么要附加“不是直径”这一条件.)

　　练习2、按图填空:在⊙o中,

　　(1)若mn⊥ab,mn为直径,则________,________,________;

　　(2)若ac=bc,mn为直径,ab不是直径,则则________,________,________;

　　(3)若mn⊥ab,ac=bc,则________,________,________;

　　(4)若 = ,mn为直径,则________,________,________.

　　(此题目的:巩固定理和推论)

　　(五)应用、反思

　　例、四等分 .

　　(a层学生自主完成,对于其他层次的学生在老师指导下完成)

　　教材p80中的第3题图,是典型的错误作.

　　此题目的:是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法,通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材p80中的第3题图的对比,加深学生对感性知识的熟悉及理性知识的理解.培养学生的思维能力.

　　(六)小结:

　　知识:垂径定理的两个推论.

　　能力:①推论的研究方法;②平分弧的作图.

　　(七)作业:教材p84中14题.

　　第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用

　　教学目的:

　　⑴要求学生把握垂径定理及其推论,会解决有关的证实,计算问题.

　　⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

　　⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践,又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

　　教学重点:垂径定理及其推论在解题中的应用

　　教学难点:如何进行辅助线的添加

　　教学内容:

　　(一)复习

　　1.垂径定理及其推论1:对于一条直线和一个圆来说,具备下列五个条件中的任何个,那么也具有其他三个:⑴ 直线过圆心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所对的优弧 ;⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为:“知2推3”

　　推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

　　2.应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)

　　涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

　　关系:r = h d ; r2 = d2 (a/2)2

　　3.常添加的辅助线:(学生归纳)

　　⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半径 .构造直角三角形

　　4.可用于证实:线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据.

　　(二)应用例题:(让学生分析,交流,解答,老师引导学生归纳)

　　例1、1300多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米).

　　说明:①对学生进行爱国主义的教育;②应用题的解题思路:实际问题——(转化,构造直角三角形)——数学问题.

　　例2、已知:⊙o的半径为5 ,弦ab∥cd ,ab = 6 ,cd =8 .求:ab与cd间的距离.(让学生画图)

　　解:分两种情况:

　　(1)当弦ab、cd在圆心o的两侧

　　过点o作ef⊥ab于e,连结oa、oc,

　　又∵ab∥cd,∴ef⊥cd.(作辅助线是难点,学生往往作oe⊥ab,of⊥ab,就得ef=oe of,错误的结论)

　　由ef过圆心o,ef⊥ab,ab = 6,得ae=3,

　　在rt△oea中,由勾股定理,得

　　,∴

　　同理可得:of=3

　　∴ef=oe of=4 3=7.

　　(2)当弦ab、cd在圆心o的同侧

　　同(1)的方法可得:oe=4,of=3.

　　∴.

　　说明:①此题主要是渗透分类思想,培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②培养学生作辅助线的方法和能力.

　　例3、 已知:如图,ab是⊙o的弦,半径oc∥ab ,ab=24 ,oc = 15 .求:bc的长.

　　解:(略,过o作oe⊥ae于e ,过b作bf⊥oc于f ,连结ob.bc = )

　　说明:通过添加辅助线,构造直角三角形,并把已知与所求线段之间找到关系.

　　(三)应用练习:

　　p8l中1题.

　　在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示,若油面宽ab=600mm,求油的最大深度.

　　学生分析,教师适当点拨.

　　分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差,从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形,然后利用垂径定理和勾股定理来解决.

　　(四)小结:

　　1. 垂径定理及其推论的应用注重指明条件.

　　2. 应用定理可以证实的问题;注重构造思想,方程思想、分类思想在解题中的应用.

　　(五)作业:教材p84中15、16题,p85中b组2、3题.

　　探究活动

　　如图,直线mn与⊙o交于点a、b,cd是⊙o的直径,ce⊥mn于e,df⊥mn于f,oh⊥mn于h.

　　(1)线段ae、bf之间存在怎样的关系?线段ce、oh、df之间满足怎样的数量关系?并说明理由.

　　(2)当直线cd的两个端点在mn两侧时,上述关系是否仍能成立?假如不成立,它们之间又有什么关系?并说明理由.

　　(答案提示:(1)ae=bf,ce df=2oh,(2)ae=bf仍然成立,ce df=2oh不能成立.ce、df、oh之间应满足)