§2.5 指数与指数函数
2014高考会这样考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图像和性质;2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质;3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合,综合考查指数函数知识的应用.
复习备考要这样做 1.重视指数的运算,熟练的运算能力是高考得分的保证;2.掌握两种情况下指数函数的图像和性质,在解题中要善于分析,灵活使用;3.对有关的复合函数要搞清函数的结构.
1. 根式的性质
n
(1)(a)n=a.
n
(2)当n为奇数时an=a.
a a≥0n当n为偶数时an=
-a a<0
2. 有理数指数幂
(1)幂的有关概念
*
①正整数指数幂:an=a·a·„·a (n∈N). 个n②零指数幂:a0=1(a≠0).
1-
③负整数指数幂:ap=p(a≠0,p∈N*).
a
mn④正分数指数幂:a=am(a>0,m、n∈N*,且n>1).
nm11
⑤负分数指数幂:a-== (a>0,m、n∈N*,且n>1).
nmn
aamn⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ars(a>0,r、s∈Q);
+
②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图像与性质
y=ax a>1 00时,y>1;x<0时,性质 0 2. 指数函数的单调性是底数a的大小决定的,因此解题时通常对底数a按:01 进行分类讨论. 3. 比较指数式的大小方法:利用指数函数单调性、利用中间值. (5)当x>0时,0 1 1. (课本改编题)化简[(-2)6]-(-1)0的值为________. 2 答案 7 11 解析 [(-2)6]-(-1)0=(26)-1=23-1=7. 22 2. 若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是__________. 答案 (-2,-1)∪(1,2) 解析 由y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,得0 答案 3 解析 当a>1时,x∈[0,2],y∈[0,a2-1]. 因定义域和值域一致,故a2-1=2,即a=3. 当01 4. (2012·四川)函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图像可能是 a ( ) 答案 D 11 解析 当a>1时,y=ax-为增函数,且在y轴上的截距为0<1-<1,排除A,B. aa11 当0aa5. 设函数f(x)=a -|x| (a>0,且a≠1),f(2)=4,则 ( ) A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2) 答案 A 解析 ∵f(x)=a -|x| B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2) (a>0,且a≠1),f(2)=4, 1- ∴a2=4,∴a=, 2 1-|x||x| ∴f(x)=2=2,∴f(-2)>f(-1),故选A. 题型一 指数幂的运算 1132- 例1 (1)计算:(124+223)-27+16-2×(8-)1; 23 x2+x2-211 (2)已知x+x-=3,求的值. 2233 x+x--322 - 思维启迪:(1)本题是求指数幂的值,按指数幂的运算律运算即可; 3311- (2)注意x2+x2、x+x-与x+x-之间的关系. 22221132- 解 (1)(124+223)-27+16-2×(8-)1 231132 =(11+3)2×-33×+24×-2×8-×(-1) 23 12 =11+3-3+23-2×23× 23=11+3-3+8-8=11. 1111 (2)∵x+x-=3,∴(x+x-)2=9, 2222∴x+2+x1=9,∴x+x1=7, - - ∴(x+x1)2=49,∴x2+x2=47, - - 3311- 又∵x+x-=(x+x-)·(x-1+x1) 2222=3×(7-1)=18, x2+x2-247-2∴==3. 3318-3x+x--322 - 探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便,对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,如果有特殊要求,要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数. 计算下列各式的值: 2721 --+(0.002)--10(5-2)-1+(2-3)0; (1)832(2) 1 -(3-1)0-9-45; 5+2 3a3b2ab2(3) (a>0,b>0). 11411aba-b4233 2721110 --+--解 (1)原式=+1 8350025-2821 -+500-10(5+2)+1 =27324167=+105-105-20+1=-. 99(2)原式=5-2-1-5-22 =(5-2)-1-(5-2)=-1. 121 a3b2ab33231111- (3)原式==a+-1+b1+-2-=ab1. 1126333ab2a-b 33 题型二 指数函数的图像、性质的应用 例2 (1)函数f(x)=ax 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.00 D.0-b 的图像如图所示,其中a,b为常数,则下列 ( ) (2)求函数f(x)=3x2-5x+4的定义域、值域及其单调区间. 思维启迪:对于和指数函数的图像、性质有关的问题,可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手. (1)答案 D 解析 由f(x)=ax函数f(x)=ax -b -b 的图像可以观察出函数f(x)=ax -b 在定义域上单调递减,所以0的图像是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b<0. (2)解 依题意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1, ∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞). ∵x2-5x+4≥0,∴f(x)=3x2-5x+4≥30=1, ∴函数f(x)的值域是[1,+∞). 令u=x2-5x+4=x-52-9,x∈(-∞,1]∪[4,+∞), 24 ∴当x∈(-∞,1]时,u是减函数, 当x∈[4,+∞)时,u是增函数. 而3>1,∴由复合函数的单调性,可知f(x)=3x2-5x+4在(-∞,1]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数. 探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像. (2)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对其中的参数进行讨论. ex+ex (1)函数y=x-x的图像大致为 e-e - ( ) 答案 A ex+ex2 解析 y=x-x=1+2x,当x>0时,e2x-1>0,且随着x的增大而增大,故y=1 e-ee-1 - + 2 >1且随着x的增大而减小,即函数y在(0,+∞)上恒大于1且单调递减.又函e-1 2x数y是奇函数,故只有A正确. (2)若函数f(x)=e-(x-μ)2 (e是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数,则m+μ=________. 答案 1 解析 由于f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x), 即e-(-x-μ)2=e-(x-μ)2,∴(x+μ)2=(x-μ)2,∴μ=0, ∴f(x)=e-x2.又y=ex是R上的增函数,而-x2≤0, ∴f(x)的最大值为e0=1=m,∴m+μ=1. 题型三 指数函数的综合应用 例3 (1)k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解? 1 (2)已知定义在R上的函数f(x)=2x-|x|. 23 ①若f(x)=,求x的值; 2 ②若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 思维启迪:方程的解的问题可转为函数图像的交点问题;恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决. 解 (1)函数y=|3x-1|的图像是由函数y=3x的图像向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图像如图所示. 当k<0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像无交点,即方程 无解;当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像有唯一的交点,所以方程有一解; 当0 13 由2x-x=,得2·22x-3·2x-2=0, 22 1 看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或-, 2∵2x>0,∴x=1. 11 22t-2t+m2t-t≥0, ②当t∈[1,2]时,2t22即m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故m的取值范围是[-5,+∞). 探究提高 对指数函数的图像进行变换是利用图像的前提,方程f(x)=g(x)解的个数即为函数y=f(x)和y=g(x)图像交点的个数;复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数,搞清复合函数的结构. a- 已知f(x)=2(ax-ax) (a>0且a≠1). a-1(1)判断f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围. 解 (1)因为函数的定义域为R,所以关于原点对称. a- 又因为f(-x)=2(ax-ax)=-f(x), a-1所以f(x)为奇函数. (2)当a>1时,a2-1>0,y=ax为增函数,y=ax为减函数,从而y=ax-ax为增函数, - - 所以f(x)为增函数, 当0y=ax为减函数,y=ax为增函数, - 从而y=ax-ax为减函数,所以f(x)为增函数. - 故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知f(x)在R上是增函数, 所以在区间[-1,1]上为增函数, 所以f(-1)≤f(x)≤f(1), 所以f(x)min=f(-1)= 2 a- (a1-a) a-1 2a1-a=2·=-1, a-1a 所以要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,则只需b≤-1, 故b的取值范围是(-∞,-1]. 利用方程思想和转化思想求参数范围 -2x+b 典例:(14分)已知定义域为R的函数f(x)=x+1是奇函数. 2+a (1)求a,b的值; (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. 审题视角 (1)f(x)是定义在R上的奇函数,要求参数值,可考虑利用奇函数的性质,构建方程:f(0)=0,f(1)=-f(-1). (2)可考虑将t2-2t,2t2-k直接代入解析式化简,转化成关于t的一元二次不等式.也可考虑先判断f(x)的单调性,由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式. 规范解答 解 (1)因为f(x)是R上的奇函数, -1+b 所以f(0)=0,即=0,解得b=1, 2+a-2x+1 从而有f(x)=x+1.[4分] 2+a 1-+12-2+1 又由f(1)=-f(-1)知=-, 4+a1+a 解得a=2.经检验,a=2,b=1符合题意,∴a=2,b=1.[7分] -2x+1 (2)方法一 由(1)知f(x)=x+1, 2+2 -2t2-2t+1-22t2-k+1 又由题设条件得2+<0, 2t-2t+1+222t2-k+1+2 即(22t2-k+1+2)(-2t2-2t+1)+(2t2-2t+1+2)(-22t2-k+1)<0.[9分] 整理得23t2-2t-k>1,因底数2>1,故3t2-2t-k>0.[12分] 上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<0, 1 解得k<-.[14分] 3 -2x+111 方法二 由(1)知f(x)=x+1=-+x, 22+12+2 由上式易知f(x)在R上为减函数,又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因为f(x)是R上的减函数, 由上式推得t2-2t>-2t2+k.[12分] 即对一切t∈R有3t2-2t-k>0, 1 从而Δ=4+12k<0,解得k<-.[14分] 3 温馨提醒 (1)根据f(x)的奇偶性,构建方程求参数体现了方程的思想;在构建方程时,利用了特殊值的方法,在这里要注意:有时利用两个特殊值确定的参数,并不能保证对所有的x都成立.所以还要注意检验. (2)数学解题的核心是转化,本题的关键是将f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立等价转化为t2-2t>-2t2+k恒成立.这个转化易出错.其次,不等式t2-2t>-2t2+k恒成立,即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,也可以这样做:k<3t2-2t,t∈R,只要k比3t2-2t的最小值小11 即可,而3t2-2t的最小值为-,所以k<-. 33 方法与技巧 1.判断指数函数图像上底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较. 2.指数函数y=ax (a>0,a≠1)的性质和a的取值有关,一定要分清a>1与01.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域. 3.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0 (≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解 决,但应注意换元后“新元”的范围. A组 专项基础训练 (时间:35分钟,满分:57分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 11 1. 设2a=5b=m,且+=2,则m等于 ab A.10 C.20 答案 A 解析 ∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m, B.10 D.100 ( ) 1111∴+=+ ablog2mlog5m=logm2+logm5=logm10=2. ∴m=10. 12 2. 函数y=2-x+2x的值域是 A.R ( ) B.(0,+∞) 1D.2,+∞ C.(2,+∞) 答案 D 解析 ∵-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, 121 ∴-x+2x≥,故选D. 22 xax 3. 函数y=(0|x| ( ) 答案 D ax,x>0xax 解析 函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且y==x.当x>0时,函数是一个指 |x|-a,x<0 数函数,因为04. 若函数f(x)=a|2x4| (a>0,a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 9 A.(-∞,2] C.[-2,+∞) 答案 B 1111 解析 由f(1)=,得a2=,∴a= (a=-舍去), 99331|2x-4| 即f(x)=. 3由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选B. 二、填空题(每小题5分,共15分) 5. 已知a= 5-1 ,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为________. 2 B.[2,+∞) D.(-∞,-2] ( ) 答案 m 6. 函数f(x)=ax (a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大,则a的值为__________. 2 13答案 或 22 a1 解析 当022a3 当a>1时,a2-a=,∴a=或a=0(舍去). 2213 综上所述,a=或. 22 7. 已知函数f(x)=ax+b (a>0且a≠1)的图像如图所示,则a+b的值是 ________. 答案 -2 2 a+b=0a=2 解析 ∵0,∴, a+b=-3b=-4 ∴a+b=-2. 三、解答题(共22分) 8. (10分)设函数f(x)=2|x +1|-|x-1| ,求使f(x)≥22的x的取值范围. 解 y=2x是增函数,f(x)≥22等价于 3 |x+1|-|x-1|≥.① 2 (1)当x≥1时,|x+1|-|x-1|=2,∴①式恒成立. (2)当-1 24 (3)当x≤-1时,|x+1|-|x-1|=-2,①式无解. 3综上,x的取值范围是4,+∞. 9. (12分)设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,求a的值. 解 令t=ax (a>0且a≠1), 则原函数化为y=(t+1)2-2 (t>0). 1 a,, ①当0a,上为增函数. 此时f(t)在a 112 所以f(t)max=fa=a+1-2=14. 1211 +1=16,所以a=-或a=. 所以a531又因为a>0,所以a=. 3 1 ②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax∈a,a, 1此时f(t)在a,a上是增函数. 所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 解得a=3(a=-5舍去). 1 综上得a=或3. 3 B组 专项能力提升 (时间:25分钟,满分:43分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1x x>0, 1. 设函数f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,则F(x)的值域为 xe x≤0, A.(-∞,1] B.[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) ( ) C.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 C 1 解析 当x>0时,F(x)=+x≥2; x 当x≤0时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性,F(x)是单调递增函数,F(x)≤F(0)=1,所以F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞). 2. 若关于x的方程|ax-1|=2a (a>0,a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是( ) A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) 答案 D 解析 方程|ax-1|=2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y=|ax-1|与y=2a有两个交点. 1 ①当01时,如图(2),而y=2a>1不符合要求. B.(0,1) 10, D.2 图(1) 图(2) 1 综上,02x1 3. 设函数f(x)=x-,[x]表示不超过x的最大整数,则函数y=[f(x)]的值域是( ) 1+22 A.{0,1} C.{-1,1} 答案 B 1+2x-1111 解析 f(x)=. x-=-221+2x1+211 -,. ∵1+2x>1,∴f(x)的值域是22∴y=[f(x)]的值域是{0,-1}. 二、填空题(每小题5分,共15分) 4. 函数f(x)=ax2+2x-3+m (a>1)恒过点(1,10),则m=______. 答案 9 解析 f(x)=ax2+2x-3+m在x2+2x-3=0时过定点(1,1+m)或(-3,1+m),∴1+m=10,解得m=9. 5. 若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 ________. 答案 (1,+∞) 解析 令ax-x-a=0即ax=x+a,若01,y=ax与y=x+a的图像如图所示. 3x2+3a 6. 关于x的方程2=5-a有负数根,则实数a的取值范围为__________. 23 -, 答案 34 3x
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