2014届步步高大一轮复习讲义二.2.5

§2.5 指数与指数函数

2014高考会这样考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图像和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．

复习备考要这样做 1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图像和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构．

1． 根式的性质

n

(1)(a)n＝a.

n

(2)当n为奇数时an＝a.

a a≥0n当n为偶数时an＝

－a a<0

2． 有理数指数幂

(1)幂的有关概念

*

①正整数指数幂：an＝a·a·„·a (n∈N)． 个n②零指数幂：a0＝1(a≠0)．

1－

③负整数指数幂：ap＝p(a≠0，p∈N*)．

a

mn④正分数指数幂：a＝am(a>0，m、n∈N*，且n>1)．

nm11

⑤负分数指数幂：a－＝＝ (a>0，m、n∈N*，且n>1)．

nmn

aamn⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ars(a>0，r、s∈Q)；

＋

②(ar)s＝ars(a>0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图像与性质

y＝ax a>1 00时，y>1；x<0时，性质 0的运算，从而可以简化计算过程．

2． 指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：01

进行分类讨论．

3． 比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值．

(5)当x>0时，01 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数

1

1． (课本改编题)化简[(－2)6]－(－1)0的值为________．

2

答案 7

11

解析 [(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝23－1＝7.

22

2． 若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________．

答案 (－2，－1)∪(1，2)

解析 由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得03． 若函数f(x)＝ax－1 (a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.

答案

3

解析 当a>1时，x∈[0,2]，y∈[0，a2－1]． 因定义域和值域一致，故a2－1＝2，即a＝3. 当01

4． (2012·四川)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图像可能是

a

( )

答案 D

11

解析 当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.

aa11

当0aa5． 设函数f(x)＝a

－|x|

(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则

( )

A．f(－2)>f(－1) C．f(1)>f(2) 答案 A 解析 ∵f(x)＝a

－|x|

B．f(－1)>f(－2) D．f(－2)>f(2)

(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，

1－

∴a2＝4，∴a＝，

2

1－|x||x|

∴f(x)＝2＝2，∴f(－2)>f(－1)，故选A.

题型一 指数幂的运算

1132－

例1 (1)计算：(124＋223)－27＋16－2×(8－)1；

23

x2＋x2－211

(2)已知x＋x－＝3，求的值．

2233

x＋x－－322

－

思维启迪：(1)本题是求指数幂的值，按指数幂的运算律运算即可； 3311－

(2)注意x2＋x2、x＋x－与x＋x－之间的关系．

22221132－

解 (1)(124＋223)－27＋16－2×(8－)1

231132

＝(11＋3)2×－33×＋24×－2×8－×(－1)

23

12

＝11＋3－3＋23－2×23×

23＝11＋3－3＋8－8＝11.

1111

(2)∵x＋x－＝3，∴(x＋x－)2＝9，

2222∴x＋2＋x1＝9，∴x＋x1＝7，

－

－

∴(x＋x1)2＝49，∴x2＋x2＝47，

－

－

3311－

又∵x＋x－＝(x＋x－)·(x－1＋x1)

2222＝3×(7－1)＝18， x2＋x2－247－2∴＝＝3. 3318－3x＋x－－322

－

探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．

计算下列各式的值：

2721

－－＋(0.002)－－10(5－2)－1＋(2－3)0； (1)832(2)

1

－(3－1)0－9－45； 5＋2

3a3b2ab2(3) (a>0，b>0)．

11411aba－b4233

2721110

－－＋－－解 (1)原式＝＋1 8350025－2821

－＋500－10(5＋2)＋1 ＝27324167＝＋105－105－20＋1＝－. 99(2)原式＝5－2－1－5－22 ＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.

121

a3b2ab33231111－

(3)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab1.

1126333ab2a－b

33

题型二 指数函数的图像、性质的应用

例2 (1)函数f(x)＝ax

结论正确的是 A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0－b

的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列

( )

(2)求函数f(x)＝3x2－5x＋4的定义域、值域及其单调区间．

思维启迪：对于和指数函数的图像、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手． (1)答案 D 解析 由f(x)＝ax函数f(x)＝ax

－b

－b

的图像可以观察出函数f(x)＝ax

－b

在定义域上单调递减，所以0的图像是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

(2)解 依题意x2－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1， ∴f(x)的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．

∵x2－5x＋4≥0，∴f(x)＝3x2－5x＋4≥30＝1， ∴函数f(x)的值域是[1，＋∞)． 令u＝x2－5x＋4＝x－52－9，x∈(－∞，1]∪[4，＋∞)， 24

∴当x∈(－∞，1]时，u是减函数， 当x∈[4，＋∞)时，u是增函数．

而3>1，∴由复合函数的单调性，可知f(x)＝3x2－5x＋4在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．

探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．

(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论．

ex＋ex

(1)函数y＝x－x的图像大致为

e－e

－

( )

答案 A

ex＋ex2

解析 y＝x－x＝1＋2x，当x>0时，e2x－1>0，且随着x的增大而增大，故y＝1

e－ee－1

－

＋

2

>1且随着x的增大而减小，即函数y在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函e－1

2x数y是奇函数，故只有A正确．

(2)若函数f(x)＝e－(x－μ)2 (e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________. 答案 1

解析 由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，

即e－(－x－μ)2＝e－(x－μ)2，∴(x＋μ)2＝(x－μ)2，∴μ＝0， ∴f(x)＝e－x2.又y＝ex是R上的增函数，而－x2≤0， ∴f(x)的最大值为e0＝1＝m，∴m＋μ＝1. 题型三 指数函数的综合应用

例3 (1)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？

1

(2)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－|x|.

23

①若f(x)＝，求x的值；

2

②若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

思维启迪：方程的解的问题可转为函数图像的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决．

解 (1)函数y＝|3x－1|的图像是由函数y＝3x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图像如图所示．

当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点，即方程

无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；

当02

13

由2x－x＝，得2·22x－3·2x－2＝0，

22

1

看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，

2∵2x>0，∴x＝1.

11

22t－2t＋m2t－t≥0， ②当t∈[1,2]时，2t22即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)， ∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故m的取值范围是[－5，＋∞)．

探究提高 对指数函数的图像进行变换是利用图像的前提，方程f(x)＝g(x)解的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图像交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．

a－

已知f(x)＝2(ax－ax) (a>0且a≠1)．

a－1(1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性；

(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围． 解 (1)因为函数的定义域为R，所以关于原点对称． a－

又因为f(－x)＝2(ax－ax)＝－f(x)，

a－1所以f(x)为奇函数．

(2)当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝ax为减函数，从而y＝ax－ax为增函数，

－

－

所以f(x)为增函数， 当0y＝ax为减函数，y＝ax为增函数，

－

从而y＝ax－ax为减函数，所以f(x)为增函数．

－

故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增． (3)由(2)知f(x)在R上是增函数， 所以在区间[－1,1]上为增函数， 所以f(－1)≤f(x)≤f(1)， 所以f(x)min＝f(－1)＝

2

a－

(a1－a) a－1

2a1－a＝2·＝－1， a－1a

所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，

故b的取值范围是(－∞，－1]．

利用方程思想和转化思想求参数范围

－2x＋b

典例：(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．

2＋a

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 审题视角 (1)f(x)是定义在R上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)．

(2)可考虑将t2－2t,2t2－k直接代入解析式化简，转化成关于t的一元二次不等式．也可考虑先判断f(x)的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式． 规范解答

解 (1)因为f(x)是R上的奇函数， －1＋b

所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，

2＋a－2x＋1

从而有f(x)＝x＋1.[4分]

2＋a

1－＋12－2＋1

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，

4＋a1＋a

解得a＝2.经检验，a＝2，b＝1符合题意，∴a＝2，b＝1.[7分] －2x＋1

(2)方法一 由(1)知f(x)＝x＋1，

2＋2

－2t2－2t＋1－22t2－k＋1

又由题设条件得2＋<0，

2t－2t＋1＋222t2－k＋1＋2

即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0.[9分] 整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0.[12分] 上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0， 1

解得k<－.[14分]

3

－2x＋111

方法二 由(1)知f(x)＝x＋1＝－＋x，

22＋12＋2

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数， 由上式推得t2－2t>－2t2＋k.[12分]

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0， 1

从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.[14分]

3

温馨提醒 (1)根据f(x)的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x都成立．所以还要注意检验．

(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立等价转化为t2－2t>－2t2＋k恒成立．这个转化易出错．其次，不等式t2－2t>－2t2＋k恒成立，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，也可以这样做：k<3t2－2t，t∈R，只要k比3t2－2t的最小值小11

即可，而3t2－2t的最小值为－，所以k<－.

33

方法与技巧

1．判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较． 2．指数函数y＝ax (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与01．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．

3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解

决，但应注意换元后“新元”的范围．

A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分) 11

1． 设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于

ab

A.10 C．20 答案 A

解析 ∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，

B．10 D．100

( )

1111∴＋＝＋ ablog2mlog5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2. ∴m＝10. 12

2． 函数y＝2－x＋2x的值域是

A．R

( )

B．(0，＋∞) 1D.2，＋∞

C．(2，＋∞) 答案 D

解析 ∵－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1， 121

∴－x＋2x≥，故选D. 22

xax

3． 函数y＝(0|x|

( )

答案 D

ax，x>0xax

解析 函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝＝x.当x>0时，函数是一个指

|x|－a，x<0

数函数，因为04． 若函数f(x)＝a|2x4| (a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是

9

A．(－∞，2] C．[－2，＋∞) 答案 B

1111

解析 由f(1)＝，得a2＝，∴a＝ (a＝－舍去)，

99331|2x－4|

即f(x)＝. 3由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 已知a＝

5－1

，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________． 2

B．[2，＋∞) D．(－∞，－2]

( )

答案 m<1，∴函数f(x)＝ax在R上是减函数．又∵f(m)>f(n)，∴ma

6． 函数f(x)＝ax (a>0，a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大，则a的值为__________．

2

13答案 或 22

a1

解析 当022a3

当a>1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．

2213

综上所述，a＝或. 22

7. 已知函数f(x)＝ax＋b (a>0且a≠1)的图像如图所示，则a＋b的值是

________． 答案 －2

2

a＋b＝0a＝2

解析 ∵0，∴，

a＋b＝－3b＝－4

∴a＋b＝－2. 三、解答题(共22分) 8． (10分)设函数f(x)＝2|x

＋1|－|x－1|

，求使f(x)≥22的x的取值范围．

解 y＝2x是增函数，f(x)≥22等价于 3

|x＋1|－|x－1|≥.①

2

(1)当x≥1时，|x＋1|－|x－1|＝2，∴①式恒成立． (2)当－1①式化为2x≥，即≤x<1.

24

(3)当x≤－1时，|x＋1|－|x－1|＝－2，①式无解． 3综上，x的取值范围是4，＋∞.

9． (12分)设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．

解 令t＝ax (a>0且a≠1)， 则原函数化为y＝(t＋1)2－2 (t>0)．

1

a，， ①当0a，上为增函数． 此时f(t)在a

112

所以f(t)max＝fa＝a＋1－2＝14. 1211

＋1＝16，所以a＝－或a＝. 所以a531又因为a>0，所以a＝.

3

1

②当a>1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，a， 1此时f(t)在a，a上是增函数． 所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3(a＝－5舍去)． 1

综上得a＝或3.

3

B组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1x x>0，

1． 设函数f(x)＝若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，则F(x)的值域为

xe x≤0，

A．(－∞，1]

B．[2，＋∞)

D．(－∞，1)∪(2，＋∞)

( )

C．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 C

1

解析 当x>0时，F(x)＝＋x≥2；

x

当x≤0时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．

2． 若关于x的方程|ax－1|＝2a (a>0，a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )

A．(0,1)∪(1，＋∞) C．(1，＋∞) 答案 D

解析 方程|ax－1|＝2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．

1

①当01时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．

B．(0,1) 10， D.2

图(1) 图(2)

1

综上，02x1

3． 设函数f(x)＝x－，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是( ) 1＋22

A．{0,1} C．{－1,1} 答案 B

1＋2x－1111

解析 f(x)＝. x－＝－221＋2x1＋211

－，. ∵1＋2x>1，∴f(x)的值域是22∴y＝[f(x)]的值域是{0，－1}． 二、填空题(每小题5分，共15分)

4． 函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m (a>1)恒过点(1,10)，则m＝______.

答案 9

解析 f(x)＝ax2＋2x－3＋m在x2＋2x－3＝0时过定点(1，1＋m)或(－3,1＋m)，∴1＋m＝10，解得m＝9.

5． 若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是

________． 答案 (1，＋∞)

解析 令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若01，y＝ax与y＝x＋a的图像如图所示． 3x2＋3a

6． 关于x的方程2＝5－a有负数根，则实数a的取值范围为__________．

23

－， 答案 34

3x

解析 由题意，得x<0，所以0<2<1， 2＋3a23从而0<<1，解得－exa

7． (13分)设f(x)＝＋－x是定义在R上的函数．

ae

－

B．{0，－1} D．{1,1}

(1)f(x)可能是奇函数吗？

(2)若f(x)是偶函数，试研究其在(0，＋∞)上的单调性． 解 (1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为R， eaexa∴f(－x)＝－f(x)，即＋x＝－a＋－x，

aee1

a＋(ex＋e－x)＝0， 整理得a1

即a＋＝0，即a2＋1＝0显然无解．

a∴f(x)不可能是奇函数．

(2)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)， exaea即＋x＝＋－x， aeae1

a－(ex－e－x)＝0， 整理得a又∵对任意x∈R都成立， 1

∴有a－＝0，得a＝±1.

a

当a＝1时，f(x)＝ex＋ex，以下讨论其单调性，

－

－x

－x

任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1ex1－ex2ex1＋x2－1

，

ex1＋x2

∵x1，x2∈(0，＋∞)且x1∴ex1＋x2>1，ex1－ex2<0，∴ex1＋x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝＋－x，

ae

－

当a＝1时，在(0，＋∞)为增函数，

同理，当a＝－1时，f(x)在(0，＋∞)为减函数．