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2014届步步高大一轮复习讲义二.2.5

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§2.5 指数与指数函数

2014高考会这样考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图像和性质;2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质;3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合,综合考查指数函数知识的应用.

复习备考要这样做 1.重视指数的运算,熟练的运算能力是高考得分的保证;2.掌握两种情况下指数函数的图像和性质,在解题中要善于分析,灵活使用;3.对有关的复合函数要搞清函数的结构.

1. 根式的性质

n

(1)(a)n=a.

n

(2)当n为奇数时an=a.

a a≥0n当n为偶数时an=

-a a<0

2. 有理数指数幂

(1)幂的有关概念

*

①正整数指数幂:an=a·a·„·a (n∈N). 个n②零指数幂:a0=1(a≠0).

1-

③负整数指数幂:ap=p(a≠0,p∈N*).

a

mn④正分数指数幂:a=am(a>0,m、n∈N*,且n>1).

nm11

⑤负分数指数幂:a-== (a>0,m、n∈N*,且n>1).

nmn

aamn⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ars(a>0,r、s∈Q);

②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图像与性质

y=ax a>1 00时,y>1;x<0时,性质 0的运算,从而可以简化计算过程.

2. 指数函数的单调性是底数a的大小决定的,因此解题时通常对底数a按:01

进行分类讨论.

3. 比较指数式的大小方法:利用指数函数单调性、利用中间值.

(5)当x>0时,01 (7)在(-∞,+∞)上是减函数

1

1. (课本改编题)化简[(-2)6]-(-1)0的值为________.

2

答案 7

11

解析 [(-2)6]-(-1)0=(26)-1=23-1=7.

22

2. 若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是__________.

答案 (-2,-1)∪(1,2)

解析 由y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,得03. 若函数f(x)=ax-1 (a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a=________.

答案

3

解析 当a>1时,x∈[0,2],y∈[0,a2-1]. 因定义域和值域一致,故a2-1=2,即a=3. 当01

4. (2012·四川)函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图像可能是

a

( )

答案 D

11

解析 当a>1时,y=ax-为增函数,且在y轴上的截距为0<1-<1,排除A,B.

aa11

当0aa5. 设函数f(x)=a

-|x|

(a>0,且a≠1),f(2)=4,则

( )

A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2) 答案 A 解析 ∵f(x)=a

-|x|

B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2)

(a>0,且a≠1),f(2)=4,

1-

∴a2=4,∴a=,

2

1-|x||x|

∴f(x)=2=2,∴f(-2)>f(-1),故选A.

题型一 指数幂的运算

1132-

例1 (1)计算:(124+223)-27+16-2×(8-)1;

23

x2+x2-211

(2)已知x+x-=3,求的值.

2233

x+x--322

思维启迪:(1)本题是求指数幂的值,按指数幂的运算律运算即可; 3311-

(2)注意x2+x2、x+x-与x+x-之间的关系.

22221132-

解 (1)(124+223)-27+16-2×(8-)1

231132

=(11+3)2×-33×+24×-2×8-×(-1)

23

12

=11+3-3+23-2×23×

23=11+3-3+8-8=11.

1111

(2)∵x+x-=3,∴(x+x-)2=9,

2222∴x+2+x1=9,∴x+x1=7,

∴(x+x1)2=49,∴x2+x2=47,

3311-

又∵x+x-=(x+x-)·(x-1+x1)

2222=3×(7-1)=18, x2+x2-247-2∴==3. 3318-3x+x--322

探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便,对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,如果有特殊要求,要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数.

计算下列各式的值:

2721

--+(0.002)--10(5-2)-1+(2-3)0; (1)832(2)

1

-(3-1)0-9-45; 5+2

3a3b2ab2(3) (a>0,b>0).

11411aba-b4233

2721110

--+--解 (1)原式=+1 8350025-2821

-+500-10(5+2)+1 =27324167=+105-105-20+1=-. 99(2)原式=5-2-1-5-22 =(5-2)-1-(5-2)=-1.

121

a3b2ab33231111-

(3)原式==a+-1+b1+-2-=ab1.

1126333ab2a-b

33

题型二 指数函数的图像、性质的应用

例2 (1)函数f(x)=ax

结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.00 D.0-b

的图像如图所示,其中a,b为常数,则下列

( )

(2)求函数f(x)=3x2-5x+4的定义域、值域及其单调区间.

思维启迪:对于和指数函数的图像、性质有关的问题,可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手. (1)答案 D 解析 由f(x)=ax函数f(x)=ax

-b

-b

的图像可以观察出函数f(x)=ax

-b

在定义域上单调递减,所以0的图像是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b<0.

(2)解 依题意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1, ∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞).

∵x2-5x+4≥0,∴f(x)=3x2-5x+4≥30=1, ∴函数f(x)的值域是[1,+∞). 令u=x2-5x+4=x-52-9,x∈(-∞,1]∪[4,+∞), 24

∴当x∈(-∞,1]时,u是减函数, 当x∈[4,+∞)时,u是增函数.

而3>1,∴由复合函数的单调性,可知f(x)=3x2-5x+4在(-∞,1]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数.

探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.

(2)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对其中的参数进行讨论.

ex+ex

(1)函数y=x-x的图像大致为

e-e

( )

答案 A

ex+ex2

解析 y=x-x=1+2x,当x>0时,e2x-1>0,且随着x的增大而增大,故y=1

e-ee-1

2

>1且随着x的增大而减小,即函数y在(0,+∞)上恒大于1且单调递减.又函e-1

2x数y是奇函数,故只有A正确.

(2)若函数f(x)=e-(x-μ)2 (e是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数,则m+μ=________. 答案 1

解析 由于f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),

即e-(-x-μ)2=e-(x-μ)2,∴(x+μ)2=(x-μ)2,∴μ=0, ∴f(x)=e-x2.又y=ex是R上的增函数,而-x2≤0, ∴f(x)的最大值为e0=1=m,∴m+μ=1. 题型三 指数函数的综合应用

例3 (1)k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解?

1

(2)已知定义在R上的函数f(x)=2x-|x|.

23

①若f(x)=,求x的值;

2

②若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.

思维启迪:方程的解的问题可转为函数图像的交点问题;恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决.

解 (1)函数y=|3x-1|的图像是由函数y=3x的图像向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图像如图所示.

当k<0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像无交点,即方程

无解;当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图像有唯一的交点,所以方程有一解;

当02

13

由2x-x=,得2·22x-3·2x-2=0,

22

1

看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或-,

2∵2x>0,∴x=1.

11

22t-2t+m2t-t≥0, ②当t∈[1,2]时,2t22即m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故m的取值范围是[-5,+∞).

探究提高 对指数函数的图像进行变换是利用图像的前提,方程f(x)=g(x)解的个数即为函数y=f(x)和y=g(x)图像交点的个数;复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数,搞清复合函数的结构.

a-

已知f(x)=2(ax-ax) (a>0且a≠1).

a-1(1)判断f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性;

(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围. 解 (1)因为函数的定义域为R,所以关于原点对称. a-

又因为f(-x)=2(ax-ax)=-f(x),

a-1所以f(x)为奇函数.

(2)当a>1时,a2-1>0,y=ax为增函数,y=ax为减函数,从而y=ax-ax为增函数,

所以f(x)为增函数, 当0y=ax为减函数,y=ax为增函数,

从而y=ax-ax为减函数,所以f(x)为增函数.

故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知f(x)在R上是增函数, 所以在区间[-1,1]上为增函数, 所以f(-1)≤f(x)≤f(1), 所以f(x)min=f(-1)=

2

a-

(a1-a) a-1

2a1-a=2·=-1, a-1a

所以要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,则只需b≤-1,

故b的取值范围是(-∞,-1].

利用方程思想和转化思想求参数范围

-2x+b

典例:(14分)已知定义域为R的函数f(x)=x+1是奇函数.

2+a

(1)求a,b的值;

(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. 审题视角 (1)f(x)是定义在R上的奇函数,要求参数值,可考虑利用奇函数的性质,构建方程:f(0)=0,f(1)=-f(-1).

(2)可考虑将t2-2t,2t2-k直接代入解析式化简,转化成关于t的一元二次不等式.也可考虑先判断f(x)的单调性,由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式. 规范解答

解 (1)因为f(x)是R上的奇函数, -1+b

所以f(0)=0,即=0,解得b=1,

2+a-2x+1

从而有f(x)=x+1.[4分]

2+a

1-+12-2+1

又由f(1)=-f(-1)知=-,

4+a1+a

解得a=2.经检验,a=2,b=1符合题意,∴a=2,b=1.[7分] -2x+1

(2)方法一 由(1)知f(x)=x+1,

2+2

-2t2-2t+1-22t2-k+1

又由题设条件得2+<0,

2t-2t+1+222t2-k+1+2

即(22t2-k+1+2)(-2t2-2t+1)+(2t2-2t+1+2)(-22t2-k+1)<0.[9分] 整理得23t2-2t-k>1,因底数2>1,故3t2-2t-k>0.[12分] 上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<0, 1

解得k<-.[14分]

3

-2x+111

方法二 由(1)知f(x)=x+1=-+x,

22+12+2

由上式易知f(x)在R上为减函数,又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因为f(x)是R上的减函数, 由上式推得t2-2t>-2t2+k.[12分]

即对一切t∈R有3t2-2t-k>0, 1

从而Δ=4+12k<0,解得k<-.[14分]

3

温馨提醒 (1)根据f(x)的奇偶性,构建方程求参数体现了方程的思想;在构建方程时,利用了特殊值的方法,在这里要注意:有时利用两个特殊值确定的参数,并不能保证对所有的x都成立.所以还要注意检验.

(2)数学解题的核心是转化,本题的关键是将f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立等价转化为t2-2t>-2t2+k恒成立.这个转化易出错.其次,不等式t2-2t>-2t2+k恒成立,即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,也可以这样做:k<3t2-2t,t∈R,只要k比3t2-2t的最小值小11

即可,而3t2-2t的最小值为-,所以k<-.

33

方法与技巧

1.判断指数函数图像上底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较. 2.指数函数y=ax (a>0,a≠1)的性质和a的取值有关,一定要分清a>1与01.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域.

3.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0 (≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解

决,但应注意换元后“新元”的范围.

A组 专项基础训练 (时间:35分钟,满分:57分)

一、选择题(每小题5分,共20分) 11

1. 设2a=5b=m,且+=2,则m等于

ab

A.10 C.20 答案 A

解析 ∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,

B.10 D.100

( )

1111∴+=+ ablog2mlog5m=logm2+logm5=logm10=2. ∴m=10. 12

2. 函数y=2-x+2x的值域是

A.R

( )

B.(0,+∞) 1D.2,+∞

C.(2,+∞) 答案 D

解析 ∵-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, 121

∴-x+2x≥,故选D. 22

xax

3. 函数y=(0|x|

( )

答案 D

ax,x>0xax

解析 函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且y==x.当x>0时,函数是一个指

|x|-a,x<0

数函数,因为04. 若函数f(x)=a|2x4| (a>0,a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是

9

A.(-∞,2] C.[-2,+∞) 答案 B

1111

解析 由f(1)=,得a2=,∴a= (a=-舍去),

99331|2x-4|

即f(x)=. 3由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选B. 二、填空题(每小题5分,共15分) 5. 已知a=

5-1

,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为________. 2

B.[2,+∞) D.(-∞,-2]

( )

答案 m<1,∴函数f(x)=ax在R上是减函数.又∵f(m)>f(n),∴ma

6. 函数f(x)=ax (a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大,则a的值为__________.

2

13答案 或 22

a1

解析 当022a3

当a>1时,a2-a=,∴a=或a=0(舍去).

2213

综上所述,a=或. 22

7. 已知函数f(x)=ax+b (a>0且a≠1)的图像如图所示,则a+b的值是

________. 答案 -2

2

a+b=0a=2

解析 ∵0,∴,

a+b=-3b=-4

∴a+b=-2. 三、解答题(共22分) 8. (10分)设函数f(x)=2|x

+1|-|x-1|

,求使f(x)≥22的x的取值范围.

解 y=2x是增函数,f(x)≥22等价于 3

|x+1|-|x-1|≥.①

2

(1)当x≥1时,|x+1|-|x-1|=2,∴①式恒成立. (2)当-1①式化为2x≥,即≤x<1.

24

(3)当x≤-1时,|x+1|-|x-1|=-2,①式无解. 3综上,x的取值范围是4,+∞.

9. (12分)设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,求a的值.

解 令t=ax (a>0且a≠1), 则原函数化为y=(t+1)2-2 (t>0).

1

a,, ①当0a,上为增函数. 此时f(t)在a

112

所以f(t)max=fa=a+1-2=14. 1211

+1=16,所以a=-或a=. 所以a531又因为a>0,所以a=.

3

1

②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax∈a,a, 1此时f(t)在a,a上是增函数. 所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 解得a=3(a=-5舍去). 1

综上得a=或3.

3

B组 专项能力提升 (时间:25分钟,满分:43分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1x x>0,

1. 设函数f(x)=若F(x)=f(x)+x,x∈R,则F(x)的值域为

xe x≤0,

A.(-∞,1]

B.[2,+∞)

D.(-∞,1)∪(2,+∞)

( )

C.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 C

1

解析 当x>0时,F(x)=+x≥2;

x

当x≤0时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性,F(x)是单调递增函数,F(x)≤F(0)=1,所以F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).

2. 若关于x的方程|ax-1|=2a (a>0,a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是( )

A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) 答案 D

解析 方程|ax-1|=2a (a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y=|ax-1|与y=2a有两个交点.

1

①当01时,如图(2),而y=2a>1不符合要求.

B.(0,1) 10, D.2

图(1) 图(2)

1

综上,02x1

3. 设函数f(x)=x-,[x]表示不超过x的最大整数,则函数y=[f(x)]的值域是( ) 1+22

A.{0,1} C.{-1,1} 答案 B

1+2x-1111

解析 f(x)=. x-=-221+2x1+211

-,. ∵1+2x>1,∴f(x)的值域是22∴y=[f(x)]的值域是{0,-1}. 二、填空题(每小题5分,共15分)

4. 函数f(x)=ax2+2x-3+m (a>1)恒过点(1,10),则m=______.

答案 9

解析 f(x)=ax2+2x-3+m在x2+2x-3=0时过定点(1,1+m)或(-3,1+m),∴1+m=10,解得m=9.

5. 若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是

________. 答案 (1,+∞)

解析 令ax-x-a=0即ax=x+a,若01,y=ax与y=x+a的图像如图所示. 3x2+3a

6. 关于x的方程2=5-a有负数根,则实数a的取值范围为__________.

23

-, 答案 34

3x

解析 由题意,得x<0,所以0<2<1, 2+3a23从而0<<1,解得-exa

7. (13分)设f(x)=+-x是定义在R上的函数.

ae

B.{0,-1} D.{1,1}

(1)f(x)可能是奇函数吗?

(2)若f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)上的单调性. 解 (1)假设f(x)是奇函数,由于定义域为R, eaexa∴f(-x)=-f(x),即+x=-a+-x,

aee1

a+(ex+e-x)=0, 整理得a1

即a+=0,即a2+1=0显然无解.

a∴f(x)不可能是奇函数.

(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x), exaea即+x=+-x, aeae1

a-(ex-e-x)=0, 整理得a又∵对任意x∈R都成立, 1

∴有a-=0,得a=±1.

a

当a=1时,f(x)=ex+ex,以下讨论其单调性,

-x

-x

任取x1,x2∈(0,+∞)且x1ex1-ex2ex1+x2-1

ex1+x2

∵x1,x2∈(0,+∞)且x1∴ex1+x2>1,ex1-ex2<0,∴ex1+x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)=+-x,

ae

当a=1时,在(0,+∞)为增函数,

同理,当a=-1时,f(x)在(0,+∞)为减函数.

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