线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质

空间中的垂直关系

1．线面垂直

直线与平面垂直的判定定理：如果，那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。

2．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直） 如果，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。

线一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直性质判定面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定面垂直性质判定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明． 例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC． （1）求证：平面PAC⊥平面PBC； （2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

2、如图，棱柱

ABCA1B1C1的侧面

BCC1B1是菱形，B1CA1B

证明：平面AB1C平面A1BC1

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3、如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 （Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1 4、如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论

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6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC. 7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD 证明:AB⊥平面VAD V D A

8、如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2,AD4,将CBD沿BD折起到EBD的位

置，使平面EDB平面ABD.

求证：ABDE

C B

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9、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、

AD的中点

求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD

10、如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC,ABBC,ASAB.过A作AFSB，垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点。 求证：（1）平面EFG//平面ABC （2）BCSA

11、如图，在三棱锥PABC中，D,E,F分别是棱PC,AC,AB的中点，已知

PAAC,PA6,BC8,DF5.

求证：（1）直线PA//平面DEF; （2）平面BDE平面ABC

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12、如图，在正方形ABCD中，AB2,BC1,E是CD的中点，F是AE的中点。现在沿AE将

ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题： （1）在线段AB上是否存在一点K，使得BC//平面DFK?若存在，请正明你的结论；若不存在，请说明理由。 （2）若平面ADE平面ABCE,求证：平面BDE平面ADE

13、如图，在四棱锥PABCD中，ABAC,ABPA,AB//CD,AB2CD,

E,F,G,M,N分别是PB,AB,BC,PD,PC的中点。

（1）求证：CE//平面PAD； （2）求证：平面EFG平面EMN

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14、如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB//CD,ADAB,AB2,AD=2，AA13，E为

CD上一点，DE1,EC3 （1）证明：BE平面BB1CC1; （2）求点B1到平面EA1C1的距离。

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