凸函数的等价定义和凸函数的应用

毕业设计(论文)

凸函数的等价定义和凸函数的应用

系 别 ： 专业（班级）： 作者（学号）： 指导教师： 完成日期：

数学与物理系 数学与应用数学

2012年03月13日

蚌埠学院教务处制

目 录

中文摘要 ……………………………………………………………………………………1 英文摘要 ……………………………………………………………………………………2 1 引言 …………………………………………………………………………3 2 凸函数概念及其等价定义 …………………………………………………3 2.1凸函数的概念 ………………………………………………………………3 2.2凸函数的十种常见定义 ……………………………………………………3 2.3凸函数四种定义的等价性的讨论 …………………………………………6 2.3.1定义1定义4 …………………………………………………………6 2.3.2 定义2定义7 …………………………………………………………6 3 凸函数的简单性质 …………………………………………………………7 4 关于凸函数的几种重要不等式 ……………………………………………8 4.1 Jensen不等式 ………………………………………………………………8 4.1.1 凸函数的基本不等式 ……………………………………………………8 4.1.2 Jensen总和不等式 ………………………………………………………8 4.1.3 Jensen积分不等式 ………………………………………………………8 4.2 Hadamard不等式 ……………………………………………………………9 5 凸函数在证明不等式中的应用 ……………………………………………9 6 结束语 ……………………………………………………………………12 谢辞 ……………………………………………………………………………13 参考文献 ………………………………………………………………………14

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凸函数的等价定义和凸函数的应用

摘 要：凸函数在数学分析、最优化理论、函数论等方面具有非常重要的作用

和意义。一直以来，许多数学研究人员、学者在不同的前提下提出了凸函数的不同概念，并对其多种性质及其应用做了多方面的研究。本文首先给出了凸函数的基本概念, 在此基础上给出了凸函数的不同等价定义和性质。最后通过例题说明了凸函数的等价定义及性质在不等式证明中的应用。

关键词：凸函数；等价定义；性质；不等式；应用

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张楠：凸函数的等价定义和凸函数的应用

The equivalent definitions of convex function

and convex function application

Abstract：Convex function has a very important role and significance in the field of

mathematical analysis, optimization theory, function theory,etc. All the time, all lot of mathematical researchers and scholars have put forward various definitions of convex function under the different conditions, and made a broad study on its properties and Application. Firstly, in this paper, the basic concept of convex function are given, And on this basis leads to the different equivalent definitions and properties of convex function. Finally, the example shows that the equivalent definitions and properties of the convex function proof of Inequality.

.

Key words：convex function equivalent definition nature inequality

application

1引 言

在函数的大家族中凸函数扮演者非常重要的角色，并有着非常广泛的应用领

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域。尤其是在大多数数学分支有着重要的应用。例如在函数论、最优化理论、泛函分析、数学分析等当中。人们在反映曲线的弯曲方向时常用凸和凹来形容。这种从几何角度给出的关于曲线凸（凹）的情况反映在数学上就是表达该曲线的凸（凹）概念。在当前发行的高等数学教学用书中对凸函数作了简单介绍，每种教材根据自己的特点及用途，在介绍凸函数概念时给出了不同类型的定义。凸函数也称作下凸函数，凹函数也可称为上凸函数。本文给出了十种常见的凸函数定义，证明了四种定义的等价性。关于研究凸函数性质的材料相当多，有很多文献专对函数凸（凹）性作了探究，本文给出了五种凸函数的简单性质。最后，介绍了在证明不等式中如何利用凸函数。

2 凸函数概念及其等价定义

2.1 凸函数的概念

定义1 设f(x)是定义在区间a,b上的函数，若对a,b上的任意两点x1,x2,总有

f(x1x21)f(x1)f(x2) 22则称f(x)为a,b上的凸函数。

2.2 凸函数的十种常见定义

定义1 若函数f(x)对于区间a,b内的任意x1,x2以及(0,1)，恒有

fx1(1)x2f(x1)(1)f(x2) （1）

则称f(x)为区间a,b上的凸函数。

定义2 若函数f(x)在区间a,b内连续，对于区间a,b内的任意x1,x2，恒有

f(x1x21)f(x1)f(x2) （2） 223

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则称f(x)为区间a,b上的凸函数。

定义3 若函数f(x)在区间a,b内可微，且对于区间a,b内的任意x及x0，恒有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0) （3）

则称f(x)为区间a,b上的凸函数。

定义4 设函数f(x)在区间a,b内有定义

x1,x2,x3a,b,x1x2x3fx2fx1fx3fx1fx3fx2x2x1x3x1x3x2

（4）

则称f(x)为区间a,b内的凸函数。

定义5 设函数f(x)在区间a,b内有定义

x11fx1 x1,x2,x3a,b,x1x2x3x21fx20 （5）

x31fx3则称f(x)为区间a,b内的凸函数。

定义6 设函数f(x)在区间a,b内有定义, f(x)在a,b内连续

x2fx1fx21xx x1,x2a,b,x1x2f12 （ 6） ftdtx22x2x11 则称f(x)为区间a,b内的凸函数。

定义7设函数f(x)在区间a,b内有定义, 当且仅当x1,恒有

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,xna,b；

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xxf12nxnfx1fx2nfxn（7） nN

则称f(x)为区间a,b内的凸函数。

定义8 设函数f(x)在区间a,b内可导，且fx单调递增 则称f(x)为区间a,b内的凸函数。

定义9 设函数f(x)在区间a,b内连续，且二次可导f''x0，则称f(x)为区间a,b内的凸函数。

定义10 设f(x)在区间a,b内有定义

nn xka,b；tk，tk1；有 ftkxktkfxk （8）

k1k1k1n则称f(x)为区间a,b内的凸函数。

补注

1) 上述所有的“区间a,b内”均可推广到“区间a,b上”。 2) 若上述定义1、2、4、5、6、7、10中的“”改为“”、定义3、9中的“” 改为“”及定义8中fx“单调递增”改为“单调递减”，则其定义称为“凹函数”。

3) 若上述所有的“”改为“”和“”改为“” 则其定义称为“严格凸函数”。

2.3 凸函数四种定义的等价性的讨论

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2.3.1 定义1定义4 证明：10 定义1 定义4

对x1,x2,x3a,b，且x1x2x3，令x2x1，则0,1，且x3x1x2x31x1，又由（1）式可知

fx31x1fx31fx1

即

fx2xxx2x1fx132fx3 x3x1x3x1此式简化可变为（4）式中故，定义1 定义4

fx2fx1fx3fx1 x2x1x3x120 定义4定义1

0,1，不妨设x1x2，令x0x21x1，则x1x0x2，x1,x2a,b，从而由（4）式中的

fx2fx1fx3fx1简化可得（1）式， x2x1x3x1故，定义4定义1

综上所述，可知定义1与定义4等价。 2.3.2 定义2定义7 证明 ： 10 定义7定义2

在定义7中令 n2 可得（2）式 即得定义2。

20 定义2定义7 采用反向归纳法：

1） 由（2）式可知：当n2时（7）式成立。 当n4时，x1,x2,x3,x4a,b，由（2）得

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x1x2x3x4fx1x2222x1x2x3x4ff422fx1fx2fx3fx44xxf342

则（7）式当n4时成立。一般地，对任意正整数k，重复上面方法，使用（2）式k次，可知

x1x2x2kf2kfx1fx22kfx2k

则表明（7）式对于一切n2k都成立

2) （证明（7）式对nk1成立时，则必对nk也成立）

xxxk记 t12，则 x1x2xktk，此式两边同加一个t，

kxxxkt可得 t12。假若（7）式对nk1成立，则有

k1xxxktfx1fx2fxkftftf12 k1k1两边同乘以k1，减去ft，最后除以k，又txxf12kxkfx1fx2kx1x2kfxk

xk，从而得

即（7）式对nk也成立。 综上所述，定义2与定义7等价。

3 凸函数的简单性质

性质1 设f(x)在区间a,b上为凸函数，对任意的k0，则kf(x)在区间

a,b 上为凸函数。

性质2 设f(x)，g(x)是区间a,b上的凸函数，则f(x)g(x)也是a,b上的凸函数。

性质3 设f(x)，g(x)是区间a,b上的凸函数，则线性组合的函数

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k1f(x)k2g(x)(k1,k20)为I上的凸函数。

性质4若设f(x)，g(x)是区间a,b上的凸函数，则max{f(x),g(x)}为a,b上的凸函数。

性质5设g(u)是单调递增的凸函数，则复合函数g[f(x)] uf(x)是凸函数，也是凸函数。

4 关于凸函数的两种重要不等式

4.1 Jensen不等式

4.1.1 凸函数的基本不等式

设x是区间I上的凸函数，则对I中任意n个数x1,x2,xnx1x2nxn,xn成立不等式

xx 12n

当且仅当x1x2xn时等号成立。

4.1.2 Jensen总和不等式 若x是I上的连续凸函数，p1,p2pn是一组不为零的非负数，则成立不等式：

p1x1p2x2pnxnp1x1p2x2pnxn  pppppp12n12n仅当xii1,2n都相等时等式成立。

4.1.3 Jensen积分不等式

若x是I上的连续凸函数，而fx与px是a,b上的连续函数， 且px0，pxdx0，则成立

abbpxfxdx abpxdxa

pxfxdx

pxdxabab8

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4.2 Hadamard不等式

设f(x)是区间[a,b]上的连续凸函数，则对于ax1x2b，有

1xx2f12x2x1x2x1f(x)dx1f(x1)f(x2) 25 凸函数在证明不等式中的应用

ab2例1 求证：对任意实数a,b，有e1abee． 2证明： 设fxexxR，因fx0,x, 故 fxex为R上的凸函数．从而对x1a,x2b,1，由定义得 21111fx1(1)x2fx1(1)f(x2)，

2222即e

ab21abee． 2xyxlnxylny,x0,y0,xy。 21证明： 令fttlnt,t0，则ft0，由定义9可知

t例2 证明xylnfttlnt在x,y或y,x则对x1x,x2y,x0,y0内是严格凸函数，

1，由定义1有 21111fx1yfx1fy

22221xy1fxfy 即 f222即 xylnxyxlnxylny， 证毕。 29

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例3 若fx为a,b上的正连续函数，则

1b1blnfxdxlnfxdx aababa证明：令ufx，因为lnu是凹函数，则fx为a,b上的连续函数且是正的，设px1，依据Jensen不等式中的积分不等式可得出

bfxdxlnabdxa整理可得

balnfxdxb

adx1b1blnfxdxlnfxdx abaaba

例4 证明n个大于零数的倒数的算术平均值大于等于这n个数的算术平均值的倒数。

112，因0xfx,fx300x 2xxx11所以fx在0,上是凸函数，在Jensen总和不等式中取pi,i1,2n,

xn证明： 令fx可得

nx1x21x1x2n111xnnx1x2111nx1x21 xn1xn， 证毕。 即

xn11xy例5 对于任何正数x,y，当1时有x 2y1证明： 因不等式的系数之和则运用函数上凸、下凸来证明。

令fxlnx，则fx10为上凸函数，故 2x111，不等式的系数及x,y均为正数，11x11fyfy2y12

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xf1 y蚌埠学院毕业设计（论文）

或

11x11x11lnylnylnlny11lnx1lnylnx 2y2y2由ex的单调增加性知： e11xlny2y1elnx

11xyx， 证毕。 因此 2y1通过上述例题我们可以看出，在对不等式的证明中，灵活有效地利用凸函数的定义及性质，就可以很容易的解决一些复杂的不等式证明问题。

6 结 束 语

本文研究了凸函数的十种定义，给出了四种典型定义之间的等价性证明，

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讨论了五条凸函数的常用性。然后给出了凸函数的几种重要不等式，如Jensen不等式和Hadamard不等式。最后通过例题展示了在不等式证明中如何运用凸函数。通过本文给出的五个典型例题以及其证明，我们了解到如何运用凸函数的定义、性质以及凸函数的几种重要不等式解决不等式证明问题。证明不等式的重点是要有合适的函数，若没有明显适合的函数，则能通过对题目中的不等式进行适当的变形，以此达到我们想要的证明不等式的最终结果。在证明不等式中，利用凸函数解题是非常方便、有效的。凸函数除了在不等式中的应用外还可以在很多领域应用到，本文对凸函数在其他领域的应用未作介绍。

谢 辞

经过数月的紧张工作，本次撰写毕业论文工作快要结束了，对于一名经验有

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限的本科生来讲，想要独自创作一篇论文其工作难度是无法想象的。好在有导师的悉心指导与鼓励，以及同学们的相互支持。

在这里我首先要感谢我的论文导师吴丽芳老师。感谢吴老师抽出她宝贵的时间指导我编写论文。论文选题时吴老师在我拥有的理论知识范围给了我极大的自由空间，确定了论文题目吴老师帮助我查阅相关资料，指导我论文如何开题，到了中期给我检查论文大纲、细心阅读我的论文初稿给我修改意见，后期修稿定稿等每个阶段都悉心的指导我。吴老师的专业素养以及她严谨的治学态度是非常值得我敬佩和学习的，并且对我今后的学习、生活与工作影响深远。

然后还要感谢在我的大学生活里的所有老师，为我打下数学与应用数学专业知识的基础；同时还要感谢我热情友爱的同学们，有了你们的帮助、鼓励和支持。这次毕业论文的编写工作才能顺利完成。

最后感谢数学与物理系以及我的母校蚌埠学院在我的大学学习、生活中对我的大力栽培。

将此文章献给我的老师、亲人、同学和友人们，以此对你们的帮助与支持表示感谢。我将在以后的学习、生活、工作中继续地努力进取。

论文落笔，如释重负，但“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”。

参 考 文 献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].北京:高等教育出版社,2001. [2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.

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[3] 刘国华.关于凸函数的八个等价定义[J].河北建筑科技学院学

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