函数零点问题、方程实根问题、图象交点问题

函数零点问题、方程实根问题与函数图象交点问题

一、知识归纳

1、基本知识点 （1）函数的零点

方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0的实数根=函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标=函数y=f(x)的零点 注：零点是数不是点

（2）函数零点的存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就方程f(x)=0的根。

（3）函数零点存在性定理的推论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，并在区间[a , b]上具有单调性，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内一定只有一个零点。即存在唯一数c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就方程f(x)=0唯一的根。

（4）二分法：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数，通过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。（逼近思想、近似思想）

2、函数的零点问题、方程的实根问题、函数图象的交点问题实为同一种问题，可相互转化；其解决方法有：方程法、方程组法、图象法、存在性定理法（常与单调性结合）、函数值域法。

3、用图象法解决一元二次方程实根问题常从以下四个方面考虑： （1）开口方向 （2）判别式的情况 （3）对称轴位置

（4）区间端点函数值情况

4、求方程的近似解：图象法、二分法（只能求出某些根的近似值，并不能求出所有根的近似值）

二、典例解析

例1、方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2，求实数m的范围。 关键词：方程、图象、转化

3x22x1,1x2的值域。 例2、求函数y2xx1关键词：分离、转化、图象

例3、方程(m-2)x2-4mx+2m-6=0在(-∞,0)上有实根，求实数m的范围。 关键词：图象、分离、函数、值域、转化

例4、关于x的方程log42x-mlog4x2+5=0在(16,+∞)上有实根，求实数m的范围。 关键词：转化、图象、函数、值域

a,ab1,例5、对实数a和b，定义运算“”：ab 设函数

b,ab1.文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

f(x)x22xx2,xR.若函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共 点，则实数c的取值范围是（ ）

33A．,21, B．,21,

241131C．1,, D．1,,

4444

关键词：新定义、图象、函数、转化

例6、已知函数yf(x)和yg(x)在[2,2]的图象如下所示：

给出下列四个命题：

①方程f[g(x)]0有且仅有6个根 ②方程g[f(x)]0有且仅有3个根 ③方程f[f(x)]0有且仅有5个根 ④方程g[g(x)]0有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.

关键词：新定义、图象、转化

m1x2,x(1,1]例7、已知以T4为周期的函数f(x)，其中m0。若方

1x2,x(1,3]程3f(x)x恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ） A．(158184,) B．(,7) C．(,) D．(,7) 333333关键词：图象、函数、转化

三、跟踪训练

4x4,x11、函数fx2的图象和函数gxlog2x的图象的交点个数是

x4x3,x1（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数f(x)log2x2x1的零点必落在区间（ ）

11 A.,

84

11B., 4211 C.,1

2 D.(1,2)

13、若x0是方程()xx3的解，则x0属于区间（ ）

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121112A．,1 B．, C．, D．0,

2332334、方程2xx23实数解的个数为 ．

5、直线y＝1与曲线yx2xa有四个交点，则a的取值范围是 . 6、已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则

x1x2x3x4_________.