2020年上海同济大学附属第七一中学高三数学文下学期期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知集合

，

，则A∩B=（ ）

A.

B.

C.

D.

参：

B

2. 已知等差数列的前项和为

，若

，则

（ ） A．

B．

C．

D．

参：

C

3. 定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有

．则（ ）

A． f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B． f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C． f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D． f（3）＜f（1）＜f（﹣2）

参：

A

考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的性质． 专题： 计算题；压轴题．

分析： 对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函数在[0，

+∞）上是减函数，再由偶函数的性质得出函数在（﹣∞，0]是增函数，由此可得出此函数函数值的变化规律，由此规律选出正确选项

解答： 解：任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有

．

∴f（x）在（0，+∞]上单调递减，

又f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0]单调递增．

且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，

由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大 ∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1）， 故选A．

点评： 本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．

4. 若变量满足约束条件则的最大值为( )

A.4 B.3 C.2 D.1

参：

B

5. 二面角的棱上有

，两点，直线

，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于

，已知

，

，

，

，则该二面角的大小为（ ）

A．45° B．60° C. 120° D．150°

参：

B

6. 在平面四边形ABCD中，AD=AB=

，CD=CB=

，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD翻折成

△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中，直线A′C与平面BCD所成的最大角为（ ） A． B． C． D．

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

参：

A

【考点】直线与平面所成的角．

【分析】连结AC，BD，交于点O，由题设条件推导出OA=1，OC=2．将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，当A′C与以O为圆心，OA′为半径的圆相切时，直线A′C与平面BCD所成角最大，由此能求出结果．

【解答】解：如图，平面四边形ABCD中， 连结AC，BD，交于点O， ∵AD=AB=，

CD=CB=，且AD⊥AB， ∴BD=

=2，AC⊥BD，

∴BO=OD=1， ∴OA==1， OC=

=2．

将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD， 当A′C与以O为圆心，OA′为半径的圆相切时， 直线A′C与平面BCD所成角最大， 此时，Rt△OA′C中，OA′=OA=1，OC=2， ∴∠OCA′=30°，

∴A′C与平面BCD所成的最大角为30°． 故选：A．

7. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）

参： B

8. 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）

A . B．

C . D .

参：

B

9. 已知复数

，则复数z的虚部是 （ ）

A．1i B．2i C．-1 D．2 参： D 略

10. 若等差数列满足，则的最大值为 A．60 B．50 C． D．40

参：

【知识点】等差数列的性质 D2

B解析：设等差数列的公差为，因为，所以而

45 ，可得

，代入

整理得

由关于d的二次方程有实根可得

化简可

得，解得

，故选择B.

【思路点拨】设等差数列的公差为，易得

由求和公式可得

，代

入

整理可得关于

的方程，由

可得S的不等式，解不等式可得．

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 等比数列{an}满足an＞0，且a2a8=4，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9= ．

参：

9

【考点】数列的求和．

【分析】根据题意，由等比数列{a2

n}的性质可得a1?a9=a2?a8=a3?a7=a4?a6=a5=4，同时可得a5=2，再利用对数的运算法则有log2a1+log2a2+…+log2a9=log2（a1?a2?…?a9）=log2（29），计算即可得答案． 【解答】解：根据题意，等比数列{an}的各项都是正数，a1?a9=a2?a8=a23?a7=a4?a6=a5=4， 则a5=2，

则log2a1+log2a2+…+log2a9=log2（a1?a2?…?a9）=log9

2（2）=9， 故答案为：9．

12. 如图所示的算法流程图中,若则的值等于 .

参：

9

13.

的展开式中的系数为 （用数字作答）

参：

6 略

14. 已知函数的定义域为

．若常数

，对

，有

，则称函

数

具有性质

．给定下列三个函数：

①； ②； ③．

其中，具有性质的函数的序号是______．

参： ①③． 由题意可知当

时，恒成立，若对，有

。①若，则由

得，即

，所以

，恒成立。所以①具有性质P. ②若

，由

得，整理

，所以不存在常数

，对

，有成立，所以②不具有

性质P。③若，则由

得由

，整

理得，所以当只要

，则

成立，所以③具有性质P，所以具

有性质

的函数的序号是①③。

15. 在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个数在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|a－b|等于________．

参：

16. 若

的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 ▲ ．

参：

160 令x=1，则

所以

因此常数项为

17. 已知向量

，向量，若，则实数的值为 参：

2

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 已知函数，

（

），若关于的不等式

的整数

解有且仅有一个值为.

（1）求实数的值；

（2）若函数

的图象恒在函数

的图象上方，求实数的取值范围.

参：

（Ⅰ）由

，即

，

，

， 不等式的整数解有且仅有一个值为-3，则，

解得

.

（Ⅱ）因为

的图像恒在函数的图像上方，故

，

对任意

恒成立，

设

，则

， 在

单调递减，在

单调递增，

当

时，

取得最小值4，

实数的取值范围是

.

19. 如图，在长方体

中，

是棱

的中点，点

在棱

上，且

（

为实数）。

（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小； （2）试问：直线与直线能否垂直？请说明理由。

参：

解：（1）分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，

则A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），E（0，，2），F（1，4，0），

∴，

，

当

时，E（0，1，2），

=（1，3，﹣2），

设平面D1AC的一个法向量为

，

由解得取，则，因为，，

，所以

因为，所以是锐角，是直线

与平面

所成角的余角，

所以直线与平面

所成角的正弦值为

．

⑵假设

，则

，因为

，

，所以

，

化简，得，因为

，所以该方程无解，所以假设不成立，即直线

不

可能与直线

垂直．

略

20. （本小题满分12分）如图，为圆的直径，点、

在圆上，且

，矩形

所

在的平面和圆所在的平面互相垂直，且

，

.

(Ⅰ)求四棱锥的体积；

(Ⅱ)求证：平面平面

； (Ⅲ)在线段

上是否存在一点

，使得

平面

,并说明理由．

参：

(Ⅰ)

为圆

的直径，点

在圆

上，

且

……………1分

作交于一点,则

……………2分

平面

平面

面

,所以

是

到

的距离，

……4分

(Ⅱ)

平面

平面

,, 平面

平面=，

平面，…5分

平面

，

,……… 6分

又

，

平面.……… 7

分

面

,

平面

平面

；……… 8分

（Ⅲ）取

中点记作,设

的中点为

，连接

,

则，又

，则

，

所以

为平行四边形， ……… 10分 ，又平面

，

平面

，

平面

. 所以在线段

上存在中点

，使得

平面

．……… 12分

21. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，

(1)证明A、P、O、M四点共圆；

(2)求∠OAM＋∠APM的大小

参：

(1)证明：连结OP，OM，

∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP，∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC， ∴∠OPA＋∠OMA＝180°，∵圆心O在∠PAC的内部，∴四边形APOM的对角互补， ∴A、P、O、M四点共圆…………………………………………………………5分 (2)解：由(1)得A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM＝∠OPM，

由(1)得OP⊥AP，∵圆心O在∠PAC的内部，∴∠OPM＋∠APM＝90°，

∴∠OAM＋∠APM＝90°……………………………………………………………10分

22. 如图，已知海岛先坐船到（1）试将由（2）求由

到海岸公路

，航速为

的距离，

，再乘汽车到

；

间的距离为，车速为

，从，记

到必须

上的某一点到到

所用的时间表示为的函数所用的时间的最小值.

参：

（1）用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；

（2）对函数求导，研究出函数的单调性确定出θ=（1）在

中，

，

，

时，由A到C所用的时间t最少．

则，

（2）

令

得

当时，函数在上单调递减

当时，函数在上单调递增

当时，取得最小值

知识点：解三角形的实际应用，导数与最值 难度：2