拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用

林天军 5140309331 F1403014

摘要：在含有两个动态元件的电路中, 单网络变量的电路方程是二阶微分方 程, 这样的电路称二阶电路。用时域分析直接求解二阶微分方程时、费时、费力、 难度较大, 须建立电路方程, 求特解、通解以及用初始条件确定积分常数等[1]普拉斯变换, 将时域函数转化为复频域函数（s数）, 待确定响应后再用拉氏反变换得到时域响应即最后的解。这种分析方法不用求特解, 通解及确定积分常数, 求解较为简单。

关键词：拉普拉斯变换，二阶电路，逆变换。 一、前言

拉普拉斯变换法是研究线性非时变动态电路的基本工具。他能将时域中的微分运算以及积分运算分别变换为复频域（s域）中的乘法及除法，从而将时域中的积分，微分方程变换为复频域中的代数方程，而且在方程中自动计入电路的分析计算变的简单有效。 1.拉氏变换

设时域函数ft在区间[0，）内的定积分为ftestdt而式中，其复

0频率为sj。若该积分在s某一域内收敛，则由此积分确定的复频域函数可表示为F(s)f(t)estdt则复频域函数F(s)定义为时域函数f(t)的拉普拉斯

0变换—（简称拉氏变换），简记为F(s)[f(t)]，在拉普拉斯变换式中取积分下限为0-，可以计及t=0时的f(t)中包含的冲激函数，从而给计算含冲激电压或冲激电流的电路带来方便[2]。 2.拉普拉斯变换的基本性质 （1）线性性质

若[f1(t)]F1(s)，[f2(t)]F2(s)，则对任意常数a1及a2（实数或虚数）有[a1f1(t)a2f2(t)]a1[f1(t)]a2[f2(t)]a1F1(s)a2F2(s) （2）微分性质

若[f(t)]F(s)，则[（3）积分性质

t1 若[f(t)]F(s)，则[f()d]F(s)

0sdf(t)]sF(s)f(0) dt（4）时移性质

若[f(t)]F(s)，则[f(t)]estF(s) （5）频移性质

若[f(t)]F(s)，则[etf(t)]F(sa) 3.拉普拉斯逆变换

复频域的象函数F(s),与因子est相乘,构成一个s的新函数F(s)est,再从

(j)到(j)对s求定积分, 将积分值除以2j,即得原函数ft。这定积分称为拉普拉斯反变换, 简称拉普拉斯逆变换，即

ft[Fs()]Fseds(由该式可以将)s域电路的象函数F(s)再转

2jj11jst化为时域函数ft。 4.电路的基本定理的复频域形式

将电路的时域形式转变为复频域形式后, 其电路元件模型和电路特性方程有如下形式。

（1）电阻元件

在复频域中，电阻电压的象函数与电阻电流的象函数之间也服从欧姆定律，即UR(s)RIR(s)，模型如下图1所示。

I(s)

RU(s)图1.电阻元件复邻域形式

（2）电容元件

在复频域中，电容元件电压-电流关系的复频域形式为Ic(s)sCUc(s)Cuc(0)或

Uc(s)us(0)1Ic(s)，其复频域的戴维宁模型、诺顿模型如图2所示。 ssC

C

C C图2. 复频域戴维宁模型复频域诺顿模型

1I(s)sCu(0)sCuC(0)IC(s)sCU(s)UC(s)（3）电感元件

在复频域中，电感元件电压-电流关系的复频域形式为UL(s)sLIL(s)LiL(0)或

IL(s)iL(0)1UL(s)其复频域的戴维宁模型、诺顿模型如图3所示。 ssLiL(0)

IL(s)sLLiL(0)sIL(s)1/sL

图3. 复频域戴维宁模型复频域诺顿模型

UL(s)UL(s)

5.应用举例

例：已知Uc(0)0，输入信号为(t)和(t)，求：UC(t)？

105uCC1F(t)(t)该题目用一般来求解十分复杂，若用拉普拉斯变换出发，则就显得十分简单。 解：运算电路中将电压源转换成电流源。如图所示

∵Uc(0)0

∴电流源CUc(0)0，为开路。 根据KCL，节点分析法：

1110s11310s CsU(s)1  U(s)CC10s10s105101s10110sCuC(0)CsUC(s)1s51112110s1033 UC(s)33ss(310s)sss1010s3t1210uC(t)UC(s)e(t)

33-16.总结

拉普拉斯变换的根源来自拉普拉斯，从19世纪末英国工程师赫委赛德（Heaviside）所发明的算子发展而来，今天广泛的应用在电路分析、信号处理等领域。简化了许多繁琐的运算，提高了工作效率，促进了科学的发展[3]。

7.参考文献

[1]姚仲兴, 电路分析导论, 浙江大学出版社

[2]陈洪亮、张峰、田社平.电路基础.高等教育出版社.（2007：249-250） [3]邱关源主编.电路.(第四版).北京:高等教育出版社1999