２０１７年１２月 Ｄｅｃ．２０１７ 应用敞 计笄数学学报 Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ ｏｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ 第３１卷第４期 、，ｏ１．３ｌ Ｎｏ．４ ＤＯＩ １０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—６３３０．２０１７．０４．００４ 自对偶码的构造 童宏玺， 祝丽涛 （上海大学理学院，上海２００４４４） 摘要 自对偶码是一类非常重要的线性码，构造这类码的方法非常多，文中将给出一种新的 构造方法．通过这种构造方法，可以得到许多参数很好的自对偶码． 关键词 自对偶码；自对偶基；代数几何码；迹映射；线性码 ２０１０数学分类号 １１Ｔ７１；９４Ｂ０５；１４Ｇ５０ 中图分类号０２３６．２ 文献标志码 Ａ 文章编号 １００６—６３３０（２０１７）０４．０４６２．０９ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ ＴＯＮＧ Ｈｏｎｇｘｉ，ＺＨＵ Ｌｉｔａｏ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２００４４４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ ａｒｅ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｄｅｓ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．ｗｅ ｇｉｖｅ ａ ｎｅｗ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｌｆ－ ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ．Ｉｔ ｔｕｒｎｓ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｍａｎｙ ｎｅｗ ｇｏｏｄ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ ｌａｒｇｅ ｃｏｄｅ ｌｅｎｇｔｈ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅ；ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｂａｓｅ；ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｃｏｄｅ；ｔｒａｃｅ ｍａｐ； ｌｉｎｅａｒ ｃｏｄｅ ２０１０ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｌｌＴ７１；９４Ｂ０５；１４Ｇ５０ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｌｉｂｒａｒｙ Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ Ｏ２３６．２ ０ 引 言 Ｃ 是码长为扎，维数为 ，汉明距离为ｄ的一个线性码，记为 ｋ，ｃ习 Ｃ上＝｛ｃ Ｉ Ｃ・Ｃｌ＝０，Ｖｃ１∈ｃ｝， （１） 式中， “・”为点积， 上称为 的对偶码．若Ｃ上＝Ｃ，则称 为自对偶码．存在长度 为７７，的自对偶码，则显然有２ Ｉ佗． 自对偶码是一类非常重要的线性码【１】．它的构造非常重要，并已经得到了一些好的构 造方法．Ｇｕｌｌｉｖｅｒ￣Ｈａｒａｄａ［ ］和Ｚｈａｎｇ［。］通过循环矩阵来研究自对偶码的构造．Ｈｕｆｆｍａｎ［４１ 收稿日期２０１５—０３—１６； 修订日期２０１５．０６．１２ 基金项目国家自然科学基金资助项目（１１２０１２８８） 通信作者童宏玺，研究方向为代数编码．Ｅ ｍａｉｌ：ｔｏｎｇｈｘＱｓｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 第４期 童宏玺，等：自对偶码的构造 利用自对偶码的自同构给出了构造自对偶码的方法，许多学者［５－ｎ】已经用这种方法构造 出了许多好的自对偶码．代数几何码是一类非常重要的线性码，很多好的线性码都是代 数几何码，例如，在文献［１３］中，Ｖｏｓｓ和Ｈｃｈｏｌｄｔ得到了一族有Ｔｓｆ￣ｍａｎ—Ｖｌ￣ｄｕｔ—Ｚｉｎｋ界 的代数几何码，文献［１４】中也给出了许多好的代数几何码，如Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ码． 本文共分为三个部分．第一部分给出了有关代数几何码和自对偶码的一些结论，可 参考文献【１４】和［１ ５］．第二部分将给出自对偶码的构造方法，并由此得到一些参数非常好 的自对偶码．第三部分将对本文作一个总结． １ 预备知识 首先，给出本文用到的一些相关概念和结论［１４－１５】． Ｆｑｍ表示 的ｍ次扩域．ｎ表示从 ｍ到Ｆｑ的迹映射，设｛ｅ ，…，ｅ ）是Ｆｑｍ在Ｆｑ 上的一组基，如果对任意的 ，Ｊ：１，…，ｍ，均有 ，＝ 那么就称｛ｅ ，…，ｅ ）为 ｍ在 上的一组自对偶基． 引理１［１５Ｊ 在 上存在自对偶基当且仅当ｑ为偶数或ｑ，ｍ都为奇数． 由引理１，当ｑ为２的方幂时，Ｆ９ｍ在 上存在一组自对偶基． 下面介绍代数几何码的一些相关概念和结论【１４］． Ｆ／Ｆｑ是亏格为ｇ的代数函数域，Ｐ１，…， 是Ｆ／Ｆｑ中次数为１的互不相同的位， Ｄ：／＇１＋…＋ ，Ｇ是 的一个除子，满足 ｓｕｐｐ Ｇ ｎ ｓｕｐｐ Ｄ＝ 定义１【１４】关于除子Ｄ和Ｇ的代数几何码ＣＬ（Ｄ，Ｇ）定义为 ＣＬ（Ｄ，Ｇ）：＝｛（ （Ｐ１），…， （ ））ＩＸ∈ （Ｇ）） 定理１［１４］ＣＬ（Ｄ，Ｇ）是一个［礼，ｋ，ｄ］码，其中参数 ｋ＝ｄｉｍＧ—ｄｉｍ（Ｇ—Ｄ），ｄ≥钆一ｄｅｇ Ｇ． ． 定理２【 ］设叩为一Ｗｅｌｌ微分， （ ）＝一１且犯（１）＝１，ｉ＝１，…，ｒｔ，则 ＣＬ（Ｄ，Ｇ）上＝ＣＬ（Ｄ，Ｇ），Ｈ＝：Ｄ—Ｇ十（叩）． 推论１［１４】假设卵为一Ｗｅｉｌ微分，且（叼）＝２Ｇ—Ｄ，町 （Ｄ）：ｌ，其中ｉ＝１，…，礼， 则ＣＬ ，Ｇ）是自对偶码． 在构造代数几何码时，代数函数域的选择非常重要，下面介绍一些代数函数域． 应脬棼 乒多计并数学学报 第３１卷 ，定理３设ｑ为素数Ｐ的方幂且满足ｑ＝Ｐ ，函数域Ｆ＝Ｆｑ （ ， ）， ，Ｙ满足Ｙｓ＋ ： 其中ｓ＝Ｐ 且ｓ Ｉ ｑ，ｔ ｆ（ｑ＋１），且当Ｐ＝２，ｍ』２ｈ或当Ｐ为奇数且ｍ Ｊｈ时，有以下结论 （ａ）Ｆ／ 。的亏格是ｇ＝（８—１）（ 一１）／２． （ｂ）极点 ∈ 。（。） 成立． 有唯一的扩张 ∈ＰＦ，ｘ（ｙ）的极除子是 ）ｏ。＝ｓＱ。。（ ）。。＝ｔＱ。。） （ｃ）令ｒ≥０，则 ８—１，ｓｉ＋ｔｊ≤ｒ． 构成了空间Ｌ（ｒＱ。ｏ）在 。上的一组基，其中０≤ｉ，０≤Ｊ≤ （ｄ）对于所有的 ∈ 。，下面两种情况中有一种成立： （ｉ）方程Ｙ。＋Ｙ＝ａ 在 。中有８个不相同的根； （ｉｉ）方程Ｙ。＋Ｙ＝ 在 。中无根． 在（ｉ）中，对于每个满足 ＋ ＝ＯＬ 的 ，存在唯一的Ｐ０卢∈ＰＦ满足 ， 』 且 （Ｐｎ，卢）＝ ，因此Ｐ０在Ｆ／Ｆｑ （。）中有ｓ个不同的扩张且每个次数为１． 在（ｉｉ）中，Ｆ中所有Ｐ０的扩张次数都大于１． ，证明只要证明定理中的函数域是有理函数域 。（Ｘ）的简单阿贝尔 扩张［１４］即可． 考虑方程 ＋Ｔ＝０在Ｆ０。中的根情况． 设 是 ＋Ｔ＝０的一个非零根，则 ＿。：一１ ２（ｓ一１）：１ 当Ｐ＝２时，ｍ Ｉ ２ｈ，则 （ｓ一１）Ｉ（ｑ 一１）． 当Ｐ为奇数时，ｍ Ｉ ｈ，则 ２（８—１）ｌ（ｑ。一１）． 由此，方程Ｔ。＋Ｔ：０的所有根都在Ｆｑ 中，且有ｔ Ｉ（ｑ＋１），ｇｃｄ（ｔ，Ｐ）＝１，所以定理 中的函数域是有理函数域 。（ ）的简单阿贝尔ｐ一扩张，定理得证． 事实上，若ｓ＝ｑ且ｔ：ｑ＋１，则Ｆ／ 就是Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ域． 定义２［１４】若亏格为ｇ的代数函数域Ｆ／ 的有理位个数 Ｎ＝ｑ＋１＋２ｇｑ ／。， 则称函数域 为极大函数域． 例如，Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ函数域是极大函数域． 命题１【 】极大函数域的子域仍是极大函数域． 第４期 童宏玺，等：自对偶码的构造 ４６５ 定理４令ｇ为素数Ｐ的方幂，ｑ＝Ｐ ，函数域Ｆ＝ 。（Ｘ， ）， ，Ｙ满足Ｙ。＋Ｙ＝ ， 其中ｓ＝Ｐ 且ｓ Ｉ ｇ，ｔ ｌ（ｑ＋１），且当Ｐ：２，ｍ ｌ ｈ或当Ｐ为奇数时，ｈ＝Ｉｍ，ｆ为奇数． Ｆ／Ｆ０。是Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ函数域的子域，且Ｆ／Ｆｑ。是极大函数域．特别地，当ｔ＝ｑ＋１时， Ｆ／ 。的有理位个数Ｎ＝ｑ２ｓ＋１， 证明显然，Ｆ／Ｆ日。满足定理３的条件．考虑Ｆｑ 上的Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ函数Ｈ＝Ｆｑ。（Ｘｌ，Ｙ１）， 其中 ｝＋Ｙ１： ｛ ．令ｈ＝ｌｍ，Ｐ为奇数，ｆ为奇数，则 ｌ Ｉ＝ ｍ 一 所以Ｙ。＋Ｙ＝Ｘ ，Ｆ Ｈ且Ｆ是极大函数域． 显然，当ｔ＝ｑ＋１时，Ｎ＝ｑ２ｓ十１． ｍ ２ 一种新的构造自对偶码的方法 ｍ 设函数域Ｆ／Ｆ０。满足定理４的条件． 一 定义３ ｒ∈Ｚ，定义 ＋ ＋ ：＝ＣＬ（Ｄ，ｒＱ。。）， 式中，Ｄ：＝ ∑ 口。＋ ＝ａ ，ｐ是Ｆ／Ｆｑ 中所有次数为１的位（除了Ｑｏｏ）的和． 当ｒ＞ｇ。＋２ｇｑ＋（２ｇ一２）时， ｄｉｍ ＝ｄｉｍ（ｒＱ。。）一ｄｉｍ（ｒＱ￣一Ｄ） ＝ｒ＋１一ｇ一（ｒ～ｑ ＋１一ｇ一２ｇｑ） ＝ｑ２＋２ｇｑ． 命题２当ｔ：ｑ＋１且０≤ｒ≤ｑ。＋２ｇｑ＋（２ｇ一２）时， ２ｓ＋（ｓ一１）ｑ一２一ｒ． 的自对偶码为 ＝ 证明令 对于所有的 ，ｐ≤Ｄ，Ｚ是一素元，且它的主除子为（ｚ）：Ｄ—ｑ２ｓＱｏ。．由于ｄＺ＝ ｄ（ｘｑ。一 ）＝一ｄｘ，ｄＺ的除子（ ）＝（如）＝（２９—２）Ｑ。ｏ＝（（ｓ一１）ｑ一２）Ｑｏｏ，所以 ＝ｃｎ（ｎ，ｒＱ。。） （ （ ，Ｄ—ｒＱｏｏ＋（ｄＺ）一（ ）） ＣＬ（Ｄ，（ｑ２８＋（８—１）ｑ一２一ｒ）Ｑ。。） ＝＝＝ｃＴｑ２ｓ＋（８—１）ｑ一２一ｒ． 应用ｊ蟮？ 计笄教学学报 令ｔ＝ｑ＋１，集合 为Ｑｏ。的极点数， ＝： ≥０ Ｉ存在元素 ∈Ｆｉｔ（名）ｏｏ＝６Ｑｏ。）． 第３１卷 对于ｒ≥０，令 （ｒ）：＝｛６∈ Ｉ ｂ≤ｒ）． 命题３设ｔ－－ｑ＋１且０≤ｒ≤ｑ２＋２ｇｑ＋（２ｇ一２）＝ｓ口 ＋（ｓ一１）口一２则有以下结论： ，（ａ） 的维数为 ｄｉｍ ： ＩＩ（ｒ）Ｉ， ０≤ｒ≤ｓｑ。， 【ｓｑ 一Ｉｘ（１）ｌ， ｓｑ ≤ｒ≤ｓｑ ＋２ｇ一２，式中，ｌ：ｑ２ｓ＋ｆｓ一１）ｇ一２一ｒ． 对于２ｇ～１＜ｒ＜ｓｑ ，则 ｄｉｍ ＝ｒ＋１一ｇ （ｂ） 的最小距离ｄ满足ｄ≥ｑ２８一ｒ． 若０≤ｒ＜ｓｑ 且？’和ｓｑ。一ｒ都是Ｑｏ。的极点数，则 证明由 （ｒ）的定义， ＩＸ（ｒ）ｌ＝ｄｉｍ（ｒＱｏ。）且当ｒ≥２ｇ一１：（ｓ一１）９—１时， ｆ （ｒ）ｌ＝ｒ＋１一ｇ． 根据定理３，可得 ）＝｛６≤ｒ Ｉ ｂ：ｉｓ＋ （口＋１），其中ｉ≥０，Ｊ≤ｓ一１）， 因此 ｆ （ ）Ｉ：Ｉ｛（ ，歹）∈Ｎ×Ｎ；ｉ＞０，０＜Ｊ≤ｓ一１，ｉｓ＋ （ｑ＋１）≤ｒ）｝． （ａ）对于０≤ｒ≤ｓｑ ， ｄｉｍＣ￣＝ｄｉｍＬ（ｒＱ。。）＝Ｊ－ｒ（ｒ）１． 对于ｓｑ ≤？’≤ｓｑ ＋（ｓ一１）ｑ一２，可得 ｚ：＝ｓｑ。＋（ｓ一１）ｑ一２一ｒ’ 因而有０≤ｆ≤（ｓ—１）ｑ一２＜ｓ口２，所以 ｄｉｍＣ￣＝ｓｑ 一ｄｉｍＣｚ＝ｓｑ。一Ｉ－ｒ（ｒ）１． 第４期 童宏玺，等。自对偶码的构造 ４６７ 显然，当２Ｉ９—１＜ｒ＜ｓｑ。时， ｄｉｍ ＝ｒ＋１～ｇ （ｂ）ｄ≥ｓｑ。一ｒ显然成立．设０≤ｒ＜ｓｑ ，且ｒ和ｓｑ 一ｒ都是Ｑ。。的极点数．下面 证明ｄ＝ｓｑ。一ｒ． 情形１ ｒ＝（ｓ一１）ｑ２．在Ｆｑ。中选取ｉ个不同的元素Ｏ／ｌ，…，Ｏ／ｔ，其中ｉ＝（ｓ一１）譬． 元素 有ｒ（：ｓｉ）个次数为１的不同零点Ｐ０， ，其中 ：＝ＩＩ（ — ）∈ （ｒＱ。。） ＝１ ２所对应的码字ｅＶＤ（Ｚ）的重量为ｓｑ 一ｒ，其中ｅＶＤ（Ｚ）∈ ，因此，ｄ＝ｓｑ。一ｒ． 情形２ ｒ＜（８—１）ｑ。．令ｒ＝ｉｓ＋Ｊ（ｑ＋１），其中ｉ≥０且０≤Ｊ≤８—１，因此， ｉ≤ｑ２一譬一１．固定Ｆ口中的非零元素７，考虑集合 Ａ＝｛ ∈ ｚ Ｉ ＋ ≠ ） 则Ｉ Ａ ｌ＝ｑ 一（ｑ＋１）≥ｉ．在Ａ中选取互不相同的元素ＯＱ，…，ＯＬｉ，元素Ｚ１有不同的零 位 ，口（≤Ｄ），其中 ＝Ⅱ 一 ） ＝１ 在Ｆｑ。中选取Ｊ个不同的元素 ，… 使得 ８８ｕ＋ｐ ： 考虑集合 因为当 ＝ｌ，…，Ｊ和 ＝１，…，ｉ时， ＋ ＝ ≠ ， 所以Ｚ２含有Ｊ（ｑ＋１）个零点ＰＱ， （≤Ｄ），且它们都是Ｚ１中的不同零点．因此，Ｚ有ｒ个 不同的零点 ，口（≤Ｄ），其中， Ｚ：＝ＺＩＺ２∈Ｌ（（ｉｓ＋Ｊ（ｑ＋１））Ｑｏ。）： （ｒＱｏ。） Ｚ所对应的码字ｅＶＤ（Ｚ）的重量为ｓ口。一ｒ，其中ｅＶＤ（Ｚ）∈ ４６８ 虚雕棼？雩 计笄数学学报 第３ｌ卷 情形３（８—１）ｑ。＜ ≤ｓｑ ．设ｆ是一极点数，其中ｆ＝ｓｑ。～ｒ，０＜ｆ＜ｑ ≤（８—１）ｑ ． 由情形２可知，在Ｆ中存在一个元素 ，使得 的主除子（Ｚ）＝Ｄ 一２Ｑｏｏ，其中０≤Ｄ ≤ Ｄ，ｄｅｇＤ ＝ｆ．Ｆ中的元素 （： ｇ。一 ）的除子（乱）：Ｄ一（ｓｑ２）Ｑｏ。，因此 （ｚ－－ｌｕ）＝（Ｄ～Ｄ ）一（ｓｑ。一１）Ｑ。。＝（ —Ｄ ）一ｒＱ。。 码字ｅＶＤ（Ｚ）的重量为ｓｑ。一７’，其中ｅＶＤ（Ｚ）∈ ． 记ｆ＝ｉｓ＋Ｊ（ｑ＋１）（｛≥０，０≤Ｊ≤ｓ一１），向量乱２：＝（Ｑ‘ ）（ ，鲫 Ｔ∈（ 。） ｑ。构 成 的生成矩阵，其中 Ｔ：：．［（ ， ）Ｅ Ｆｑ。×Ｆｑ。Ｉ 。＋ ＝ＯＬ ＋ ｝ 推论２假设０≤ｒ＜ｓｑ ＋２ｇ一２，令ｆ１，ｆ２…，ｆ 为Ｑｏｏ的极位数，且０：ｆ１＜ｆ２＜ …＜Ｉｋ≤ｒ，则ｋ×（ｓｑ ）阶矩阵 是 的生成矩阵，其中 的行向量为 ｆ１ｊ…，Ｕ 由命题２可得：若 是自对偶码，则ｒ＝譬＋ 一１，因此ｇ必为２的方幂． 令ｑ＝２，ｓ＝２，ｔ＝３，由定理３（ａ），亏格ｇ＝（８—１）（ｔ一１）／２＝１，由定理４，有理 位个数Ｎ＝ｑ＋１＋２ｇｑ￣＝９，码长佗＝Ｎ一１＝８，由命题３（ｂ），ｄ≥ｑ２ｓ—ｒ＝４，所 以 是Ｆ４上的［８，４，ｄ≥４］自对偶码．同理可得下列自对偶码． 令ｇ＝４，ｓ＝２，ｔ＝５，则 ７是Ｆ１６上的［３２，１６，ｄ≥１５］自对偶码． 令ｑ＝４，８＝４，ｔ＝５，则 ７是Ｆｉ６上的【６４，３２，ｄ≥２７】自对偶码． 令ｑ＝８，ｓ＝２，ｔ＝９，则 ７是Ｆ６４上的［１２８，６４，ｄ≥６１】自对偶码． 令ｑ＝８，ｓ＝８，ｔ＝９，则Ｃ２８３是Ｆ６４上的ｆ５１２，２５６，ｄ≥２２９】自对偶码． 这些较大有限域上的自对偶码的参数都非常好，但有时希望得到小有限域上好的自 对偶码． 设ｑ是２的方幂，令 表示从Ｆｑｍ到Ｆｑ的迹映射，｛ｅ１，…，ｅ ）是Ｆｑｍ在Ｆｑ上 的一组自对偶基．对于任意的ＯＬ Ｅ ｍ，在Ｆｑ中有 ，…，ａ 使得 ＝∑ ｔ． ｉ：１ 定义 ：Ｆｑｍ一 ， ０＝∑ ｔ一（ 一，Ｑ ） ｉ－－１ 设 是 ｍ上的【ｎ，ｋ，明码，定义 （ｃ）：＝｛砂（ｃ）：（ （ｃ１），…， （ｃｎ））ｌＶｃ∈ ） “ 定理５设ｃ是 ｍ上的 ，ｎ／２，ｄ】自对偶码，则 （ｃ）是Ｆｑ上的［佗ｍ， ，ｄ，≥ｄ】自 对偶码． 第４期 童宏玺，等：自对偶码的构造 ４６９ 证明显然， （ ）是 上的［ｎｍ，ｋ ，ｄＩ≥卅码， ：ｌ。ｇｑ ＝ｌ。ｇｑ（口 ）号＝ ｍｎ 对任意的Ｏｌ：（Ｏｌｌ，…，Ｑ ）∈Ｃ， ＝（ １，…， ）∈Ｃ （ ） （ ）＝∑ｎ（ ｔ ）＝ｒｎ（∑ ｔ ）＝ （０）＝０， ｉ＝１ ｔ＝１ 因此砂（ ）是 上的［ｎｍ， ，ｄ ≥ｄ］自对偶码． 设｛ｅ ，ｅ２）是Ｆ１６在Ｆ４上的一组自对偶基．￣（Ｃ１７）是Ｆ４上［６４，３２，ｄ ≥１５］自对偶 码．砂（ ７）是Ｆ４上［１２８，６４，ｄ ≥２ ７］自对偶码．类似地，｛ｅ ，ｅ ，ｅ§，ｅ 】．是Ｆ１６在 上一 组自对偶基，可以得到Ｆ２上【１２８，６４，ｄ ≥１５】自对偶码和Ｆ２上［２５６，１２８，ｄ ≥２７］自对偶 码．可以从 ７和 ８３中得到 上的［２５６，１２８，ｄＩ≥６１】自对偶码和Ｆ８上的［１ ０２４，５１２， ≥ ２２９］．将它们与文献［１６】中的线性码进行比较，可知：这些自对偶码都有非常好的参数． ３ 结束语 在本文中，我们给出了构造自对偶码的新方法．从Ｆ２。 上的一些最大函数域中，可以 得到Ｆ２。 上的一些代数几何自对偶码．设ｍ＜ｈ且ｍ Ｊ ｈ，｛ｅｌ，…，ｅ ２ｈ）是Ｆ２。 在 ｍ上 的一组自对偶基，以及由从Ｆ２。 到Ｆ２ｍ（ｍ≥１）的迹映射ｎ就可以得到Ｆ２ｍ（ｍ≥１）上 一些参数比较好的自对偶码． 参考文献 ［１］Ｒａｉｎｓ Ｅ，Ｓｌｏａｎｅ Ｎ Ｊ Ａ．Ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ［Ｍ］／／Ｐｌｅｓｓ Ｖ，Ｈｕｆｆｍａｎ Ｗ．Ｈａｎｄｂｏｏｋ ｏｆ Ｃｏｄｉｎｇ Ｔｈｅｏｒｙ， Ａｍｓｔｅｒｄａｍ／Ｔｈｅ Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ：Ｅｌｓｅｖｉｅｒ，１９９８． ［２】Ｇｕｌｌｉｖｅｒ Ｔ Ａ，Ｈａｒａｄａ Ｍ．Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｘｔｒｅｍａｌ ｄｏｕｂｌｅ ｃｉｒｃｕｌａｎｔ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈｓ ６４ ｔｏ ７２【Ｊ］．Ｄｅｓｉｇｎｓ，Ｃｏｄｅｓ ａｎｄ Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ，１９９８，１３：２５７－２６９． ［３】Ｚｈａｎｇ Ｓ Ｙ．Ｏｎ ｔｈｅ ｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｅｘｔｒｅｍａｌ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ［Ｊ】．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， １９９９，９１：２７７－２８６． 【４］Ｈｕｆｆｍａｎ Ｗ Ｃ．Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｎｇ ａｎｄ ｓｈｏｒｔｅｎｉｎｇ ｃｏｄｅｓ ｕｓｉｎｇ ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ［Ｊ】．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｉｎ一 ，０册 Ｔｈｅｏｒｙ，１９８６，３２（６）：８３３－８３６． ［５Ｊ Ｂｅｔｓｕｍｉｙａ Ｋ，Ｇｅｏｒｇｉｏｕ Ｓ，Ｇｕｌｌｉｖｅｒ Ｔ Ａ，Ｈａｒａｄａ Ｍ，Ｋｏｕｋｏｕｖｉｎｏｓ Ｃ．Ｏｎ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ ｏｖｅｒ ｓｏｍｅ ｐｒｉｍｅ ｆｉｅｌｄｓ［Ｊ】．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｍａｔｈ，２００３，２６２：３７－５８． ［６】Ｂｏｕｙｕｋｌｉｅｖａ Ｓ．Ｏｎ ｔｈｅ ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ａ ｄｏｕｂｌｙ—ｅｖｅｎ（７２，３６，１６）ｃｏｄｅ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｉｎｆｏｒｍ Ｔｈｅｏｒｙ，２００４，５０（３）：５４ ５４７． ［７］Ｂｏｕｙｕｋｌｉｅｖａ Ｓ．Ｏｎ ｔｈｅ ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ２ ｗｉｔｈ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｔｒｅｍａｌ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈ ２４ ｍ［Ｊ１．Ｄｅｓｉｇｎｓ，Ｃｏｄｅｓ ａｎｄ Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ，２００２，２５：５－１３． 【８】Ｂｏｕｙｕｋｌｉｅｖａ Ｓ，Ｒｕｓｓｅｖａ Ｒ，Ｙａｎｋｏｖ Ｎ．Ｏｎ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｂｉｎａｒｙ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ ｈａｖｉｎｇ ａｎ ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ａ ｓｑｕａｒｅ ｏｆ ａｎ ｏｄｄ ｐｒｉｍｅ【Ｊ１．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｉｎｆｏｒｍ Ｔｈｅｏｒｙ，２００５，５１（１０）： ３６７８—３６８６． 【９］Ｄｏｎｔｃｈｅｖａ Ｒ Ａ．Ｏｎ ｔｈｅ ｄｏｕｂ￣一ｅｖｅｎ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈ ９６［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｉｎｆｏｒｍ Ｔｈｅｏｒｙ，２００２，４８（２）：５５￣５６１． ［１０】Ｄｏｎｔｃｈｅｖａ Ｒ Ａ，ｖａ４３ Ｚａｎｔｅｎ Ａ Ｊ，Ｄｏｄｕｎｅｋｏｖ Ｓ Ｍ．Ｂｉｎａｒｙ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｒｄｅｒ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｉｎｆｏｒｍ Ｔｈｅｏｒｙ，２００４，５ｏ（２）：３１１－３１８． 【１１］Ｈａｒａｄａ Ｍ，Ｍｕｎｅｍａｓａ Ａ．Ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ｎｏ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ［２４；１２；１０］ｃｏｄｅ ｏｖｅｒ Ｆ５［Ｊ］Ｉ Ｄｅｓｉｇｎｓ，Ｃｏｄｅｓ ａｎｄ Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ，２００９，５２：１２５－１２７． ［１２】Ｙｏｒｇｏｖａ Ｒ Ａ．Ｏｎ ｂｉｎａｒｙ ｓｅｌｆ－ｄｕａｌ ｃｏｄｅｓ ｗｉｔｈ ａｕｔｏｍｏｒｐｈｉｓｍｓ［Ｊ】．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｉｎｆｏｒｍ Ｔｈｅｏｒｙ， ２００８，５４（７）：３３４５—３３５１． 【１３】Ｖｏｓｓ Ｃ，Ｈ０ｈｏｌｄｔ Ｔ．Ａｎ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｄｅｓ ａｔｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ Ｔｓｆａｓｍａｎ． Ｖｌ￣ｄｕｔ・Ｚｉｎｋ ｂｏｕｎｄ：ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｓｔｅｐ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ｉｎｆｏｒｍ Ｔｈｅｏｒｙ，１９９７，４３（１）：１２８—１３５ 【１４］Ｓｔｉｃｈｔｅｎｏｔｈ Ｈ．Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｆｉｅｌｄｓ ａｎｄ Ｃｏｄｅｓ【Ｍ】＿Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９９３． ［１５】Ｌｉｄｌ Ｒ，Ｎｉｅｄｅｒｒａｉｔｅｒ Ｈ．Ｆｉｎｉｔｅ Ｆｉｅｌｄｓ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９９７． ［１６】Ｇｒａｓｓｌ Ｍ．Ｃｏｄｅｓ Ｔａｂｌｅｓ：Ｂｏｕｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ Ｖａｒｉｏｕｓ Ｔｙｐｅｓ ｏｆ Ｃｏｄｅｓ［ＥＢ／ＯＬ］． ｆ２０１５—０１—２９］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｏｄｅｔａｂｌｅｓ．ｄｅ．
