在运动中分析，在变化中求解 关于“动点”问题教学研究 ３２１１ｏ０ 兰溪市城南初中 浙江 兰溪 吴金有 在初中数学中与“动”有关的问题一般 都是教学中的难点，而且这类问题对学生思 维品质的培养和各种能力的提高都有很大的 促进作用。在近年的中考命题中，许多地区 都以“动点”的问题作为压轴题。这类试题 试题，它让动点带几何图形的运动变化，在 变化中利用相似的讨论方法进行分类讨论。 例２［２ＯＯ９广西钦州】如图，已知抛物线ｙ ） ＋ｂＨ 与坐标轴交于Ａ、Ｂ、Ｃ三点，Ａ点的坐 标为（一１，０），过点ｃ的直线 未 与ｘ轴 集代数与几何的众多知识点于一题，渗透了 交于点Ｑ，点Ｐ是线段ＢＣ上的—个动点，过Ｐ 分类讨论、数形结合等教学思想。 作ＰＨ上ＯＢ于点Ｈ．若ＰＢ＝５ｔ，且０＜ｔ＜１． 确分析变量和其他量之间的内在联系，建立 变量与其他量之间的函数关系式，并运用数 形结合的知识和方法去解决二次函数的最值 问题。解题过程中渗透数形结合思想。 四、动点与分类讨论相结合 分类讨论在数学中应用比较广泛，它对 考查学生全面分析问题、考虑问题可能产生 这类试题以运动的点、线段、变化的角、 （１）填空：点ｃ的坐标是一▲一，ｂ＝ 的多种情况的能力有独特的作用。 图形的面积为基本条件，给出一个或多个变 一▲一，ｃ＝～▲一； 例４１２￣７金华１如图１，在平面直角坐标 量，要求确定变量与其他量之间关系，或变 （２）求线段ＱＨ的长（用含ｔ的式子表示 系中，已知点Ａ（０，４， ），点Ｂ在Ｘ正 量在一定条件下为定理时，进行相关几何计 （３）依点Ｐ的变化，是否存在ｔ的值， 半轴上，且 ＡＢＯ＝３０。．动点Ｐ在线段ＡＢ 算和综合性解答。解决这类题，一般要根据 使以Ｐ、Ｈ、Ｑ为顶点的三角形与△ＣＯＱ相似？ 上从点Ａ向点Ｂ以每秒、历个单位的速度运动， 图形变化的过程，对其不同的情况进行分类 若存在，求出所有ｔ的值若不存在，说明理由。 设运动时间为ｔ秒．在ｘ轴上取两点Ｍ，Ｎ作 求解。本文以各地市的中考动点型问题为例 等边△ＰＭＮ． 进行分析。 （Ｉ）求直线ＡＢ的解析式； 一、动点与列函数关系相结合 （２）求等边△ＰＭＮ的边长（用ｔ的代数 此类问题一般是通过参变量时间ｔ，并利 式表示），并求出当等边△ＰＭＮ的顶点Ｍ运 用几何的一些性质，得到关于含ｔ的代数式， 动到与原点Ｏ重合时ｔ的值； 由此来描述动点的运动过程，使动点视为定 （３）如果取ＯＢ的中点Ｄ，以ＯＤ为 点参与计算。从而列出含参变量ｔ的函数关系 分析：以Ｐ、Ｈ、Ｑ为顶点的三角形随Ｐ 边在ＲＩ△ＡＯＢ内部作如图２所示的矩形 式，这是初中数学中解决“动点”问题最常 点的运动形状不断变化，但△ＣＯＱ的形状和 ＯＤＣＥ，点ｃ在线段ＡＢ上．设等边△ＰＭＮ 用的方法之一。 各边长是固定不变，利用相似三角形的知识 和矩形ＯＤＣＥ重叠部分的面积为Ｓ，请求出当 例１ １４年冲刺卷】如图，直线Ｙ＝一； Ｈ６ 和相似讨论的方法不难求解本题的答案。 Ｏ≤ｔ≤２秒时ｓ与ｔ的函数关系式，并求出 与坐标轴分别Ａ，Ｂ两点，动点Ｐ、Ｑ同时从Ｏ 三、动点与最值问题相结合 Ｓ的最大值 出发，同时到达Ａ点，运动停止，点Ｑ沿线 动点与最值问题相结合是近年来兴趣的 ● 段ＡＯ运动，速度为每秒１个单位长度，点Ｐ 新型试题。这类题目综合性和探索性较强， 沿线段Ｏ—Ｂ—Ａ运动。 要求学生在动中求静，必须要对图形分析、 ＼ 观察，才能正确地求解。 ～—ｒ＼ 例３１２ｏ１４中考模拟卷１如图，在平面直 口 Ｄ ８ ｘ 角坐票系中，四边形ｏＡＢＣ是矩形，点Ｂ的 坐标为（４、３）。平行于对角线ＡＣ的直线Ｍ 图ｌ 魈０ 从原点０出发，沿ｘ轴正方向以每秒１个单 分析：解答这类问题要进行分类讨论， 位长度的速度运动，设直线ｍ与矩形ＯＡＢＣ 随Ｐ在线段ＢＡ上移动，△ＰＭＮ的大小及位 的两边分别交于点Ｍ、Ｎ，直线ｍ运动的时 置都发生变化，则等边△ＰＭＮ和矩形ＯＤＣＥ 间为ｔ（秒）。 重叠部分的形状发生变化，找到重叠部分“形” （１）点Ａ的坐标是 ，点ｃ的坐 变化时的ｔ进行分类讨论。解答此题要求学生 （１）写出Ａ、Ｂ两点的坐标； 标是 ； 仔细审题，根据条件分类厕出图形，通过观察、 （２】设点Ｑ运动时间为１秒， ＯＰＱ面 （２）设△ＯＭＮ的面积为Ｓ，求Ｓ与ｔ的 比较、分析图形的变化，提示图形之间的内 积为ｓ，求ｓ与ｔ之间的函数关系式； 函数关系式； 在联系。这种题型有一定探索性，知识的综 （３）当ｓ 时，求Ｐ点的坐标，并求出Ｏ、 （３）探求（２）中得到的函数Ｓ有没有 合性强，对学生的思维能力要求高，试题有 Ｐ、Ｑ为顶点的平行四边形的第四个顶点Ｍ坐 最大值？若有，求出最大值；若没有，要说 一定的区分度，深受命题老师的欢迎。 标。 明理由。 参考文献： 分析：本题是动点和函数关系式的综合 ［１］张奠宙，李士．《数学教育学导论》．高 性试题，这类的问题难度不太大。处理方法 等教育出版社，２０Ｏ３年 是探索Ｐ点运动规律，对运动过程进行分类 ［２３朱仁宝、王荣德主编．《２１世纪老师 讨论。再根据题目的要求列函数关系式。 素质修养》．浙江大学出版社，２００１年 二、动点与图形相似结合 ［３］布卢姆等编．《教育评价》．华东师范 这种“动点与图形相似结合”的综合性 分析：本题以动点为背景，要求学生正 大学出版社，１９８８年 的影响、对教师的教育方法也有很大的帮助。 ［２］［苏］Ｂ．Ａ．苏霍姆林斯基．给教师的建 释学的教育哲学导论［Ｈ］．北京：教育科学出 困此，教师要及时、主动地与家长沟通，与 议［Ｍ］北京：教育科学出版社，１９８４．６ 版社 ’ 家长携起手来共同探讨教育方法，为学生的 ［３］冯增俊．当代西方学校道德教育［Ｈ］ ［６３李萍．现代道德教育论［Ｈ］．广州：广 健康成长撑起一片明媚的蓝天。 广州：广东教育出版社，１９９３ 东人民出版社 参考文献： ［４３黄向阳．德育原理［Ｍ］．上海：华东师 ［７］鲁洁，王逢贤．德育新论［Ｈ］．南京： ［１］［苏］Ｂ．Ａ．苏霍姆林斯基．帕夫雷什中 范大学出版社，２０００ 江苏教育出版社 学［Ｈ］北京：教育科学出版社，１９８３．２ ［５３金生敛．理解与教育——走向哲学解 ２８７都市家教
