2018-2019学年湖北省宜昌市伍家岗区八年级(下)期末数学试卷

2018-2019学年湖北省宜昌市伍家岗区八年级（下）期末数学试卷

一．选择题（本大题共12个小题，每小题三分，共36分，在每小题给出的4个选项中，只有一项，符合题目要求的） 1．计算A． B．

的结果是（ ） C．2x D．2y

2．下列几何图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．四边形 B．等腰三角形 C．菱形

D．梯形

3．下列多项式中，能运用公式法进行因式分解的是（ ） A．a2+b2

B．x2+9 C．m2﹣n2 D．x2+2xy+4y2

4．如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）

A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 5．分式﹣A．﹣

B．

可变形为（ ）

C．﹣

D．

6．如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

7．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）

A．3.5 B．4 8．要使分式

C．7 D．14

为零，那么x的值是（ ）

第1页（共29页）

A．﹣2 B．2 9．解分式方程

C．±2 D．0

+

=3时，去分母后变形正确的是（ ）

A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1） C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1） 10．已知A．

=3，则

的值为（ ）

B． C． D．﹣

11．如图，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于，点O1以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为（ ）

A．10cm2 B． cm2 C． cm2 D．

12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）

A．①②

B．②③ C．①③ D．①④

二．填空题（共7小题）

13．分解因式：x2y﹣y3= ．

14．菱形的周长是40cm，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长 ．

第2页（共29页）

15．函数y=中，自变量x的取值范围是 ．

16．已知两个分式：A=是 ．

，B=，其中x≠±2，则A与B的关系

17．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是 度．

18．若x=3是分式方程=0的根，则a的值是 ．

19．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动．给出以下四个结论： ①AE=AF； ②∠CEF=∠CFE；

③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形； ④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大．

上述结论中正确的序号有 ．（把你认为正确的序号都填上）

三．解答题（本大题共8小题，共63分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 20．（1）当

时，求

的值

第3页（共29页）

（2）解方程．

21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．

22．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

23．一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？

24．已知：如图所示，E为正方形ABCD外一点，AE=AD，∠ADE=75°，求∠AEB的度数．

25．甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度． 26．在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．

（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． （3）若AC=6，DE=4，则DF= ．

第4页（共29页）

27．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求CF的长；

（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

四、选择题（共1小题，每小题0分，满分0分）

28．（2016•满洲里市模拟）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）

A．16 B．17 C．18 D．19

五、解答题（共2小题，满分0分）

29．（2016春•历下区期末）分解因式：4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3．

第5页（共29页）

30．（2016春•历下区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b=

+

+16．一动点P从点A出发，在线段

AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒） （1）求B、C两点的坐标；

（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； （3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．

第6页（共29页）

2018-2019学年湖北省宜昌市伍家岗区八年级（下）期末数学试卷

参与试题解析

一．选择题（本大题共12个小题，每小题三分，共36分，在每小题给出的4个选项中，只有一项，符合题目要求的） 1．计算A． B．

的结果是（ ） C．2x D．2y

【考点】分式的乘除法．

【分析】根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘进行计算即可． 【解答】解：原式=×=x， 故选：B．

【点评】此题主要考查了分式的除法，关键是掌握分式的除法法则，注意结果要化简．

2．下列几何图形中，即是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．四边形 B．等腰三角形 C．菱形 【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答即可． 【解答】解：A、不一定是轴对称图形，也不一定是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，也是中心对称图形；

D、不一定是轴对称图形，也不一定不是中心对称图形． 故选：C．

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．下列多项式中，能运用公式法进行因式分解的是（ ） A．a2+b2

D．梯形

B．x2+9 C．m2﹣n2 D．x2+2xy+4y2

第7页（共29页）

【考点】因式分解-运用公式法．

【分析】直接利用公式法分解因式进而判断得出答案． 【解答】解：A、a2+b2，无法分解因式，故此选项错误； B、x2+9，无法分解因式，故此选项错误； C、m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），故此选项正确； D、x2+2xy+4y2，无法分解因式，故此选项错误； 故选：C．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．

4．如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）

A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【考点】平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线，可推出AB=BE，再由已知条件即可求解． 【解答】解：∵AE平分∠BAD ∴∠BAE=∠DAE ∵▱ABCD ∴AD∥BC ∴∠DAE=∠AEB ∴∠BAE=∠BEA ∴AB=BE=3 ∴EC=AD﹣BE=2 故选B．

【点评】命题立意：考查平行四边形性质及等腰三角形的性质． 5．分式﹣

可变形为（ ）

第8页（共29页）

A．﹣ B． C．﹣ D．

【考点】分式的基本性质．

【分析】先提取﹣1，再根据分式的符号变化规律得出即可． 【解答】解：﹣故选D．

【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，能正确根据分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，变换其中的两个，分式的值不变．

6．如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．

【分析】根据三角形外角和定理和三角形外角的性质解答． 【解答】解：∵三角形三个外角度数之比是3：4：5， 设三个外角分别是α，β，γ，则α=360°×∴此三角形一定是直角三角形． 故选：B．

【点评】三角形外角和定理：三角形三个外角的和等于360°； 三角形外角的性质：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．

7．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（ ）

=90°，

=﹣

=

，

A．3.5 B．4 C．7 D．14

【考点】菱形的性质．

第9页（共29页）

【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．

【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28， ∴AB=28÷4=7，OB=OD， ∵E为AD边中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE=AB=×7=3.5． 故选A．

【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键． 8．要使分式A．﹣2 B．2

为零，那么x的值是（ ） C．±2 D．0

【考点】分式的值为零的条件．

【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【解答】解：由题意可得x2﹣4=0且x﹣2≠0， 解得x=﹣2． 故选：A．

【点评】考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．

9．解分式方程

+

=3时，去分母后变形正确的是（ ）

A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1） C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）

【考点】解分式方程．

【专题】计算题；分式方程及应用．

第10页（共29页）

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断． 【解答】解：方程变形得：

﹣

=3，

去分母得：2﹣（x+2）=3（x﹣1）， 故选D

【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．已知A．

=3，则

的值为（ ）

B． C． D．﹣

【考点】分式的基本性质． 【专题】计算题．

【分析】先把分式的分子、分母都除以xy，就可以得到已知条件的形式，再把代入就可以进行计算．

【解答】解：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，

=3，

==．

故选B．

【点评】解答本题关键在于利用分式基本性质从所求算式中整理出已知条件的形式，再进行代入计算，此方法中考题中常用，是热点．

11．如图，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于，点O1以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABCnOn的面积为（ ）

第11页（共29页）

A．10cm2 B． cm2 C． cm2 D．

【考点】平行四边形的性质；平行线的性质． 【专题】规律型．

【分析】根据矩形的性质对角线互相平分可知O1是AC与DB的中点，根据等底同高得到S△ABO1=S矩形，又ABC1O1为平行四边形，根据平行四边形的性质对角线互相平分，得到O1O2=BO2，所以S△ABO2=S矩形，…，以此类推得到S△ABO5=

S矩形，而S△ABO5等于平行四边形

ABC5O5的面积的一半，根据矩形的面积即可求出平行四边形ABC5O5和平行四边形ABCnOn的面积．

【解答】解：∵设平行四边形ABC1O1的面积为S1， ∴S△ABO1=S1， 又∵S△ABO1=S矩形， ∴S1=S矩形=5=

；

设ABC2O2为平行四边形为S2， ∴S△ABO2=S2， 又∵S△ABO2=S矩形， ∴S2=S矩形==，…，

∴平行四边形ABCnOn的面积为故选：D．

【点评】此题考查了矩形及平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．

=10×

（cm2）．

；

第12页（共29页）

12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①④

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质． 【专题】几何图形问题；压轴题．

【分析】求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确． 【解答】解：∵AE=AB， ∴BE=2AE，

由翻折的性质得，PE=BE， ∴∠APE=30°，

∴∠AEP=90°﹣30°=60°，

∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°， ∴∠EFB=90°﹣60°=30°， ∴EF=2BE，故①正确； ∵BE=PE， ∴EF=2PE， ∵EF＞PF，

∴PF＜2PE，故②错误； 由翻折可知EF⊥PB，

第13页（共29页）

∴∠EBQ=∠EFB=30°， ∴BE=2EQ，EF=2BE， ∴FQ=3EQ，故③错误；

由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°， ∴∠BFP=30°+30°=60°，

∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°， ∴∠PBF=∠PFB=60°，

∴△PBF是等边三角形，故④正确； 综上所述，结论正确的是①④． 故选：D．

【点评】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

二．填空题（共7小题）

13．分解因式：x2y﹣y3= y（x+y）（x﹣y） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解． 【解答】解：x2y﹣y3 =y（x2﹣y2） =y（x+y）（x﹣y）．

故答案为：y（x+y）（x﹣y）．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．

14．菱形的周长是40cm，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长 10cm ．

第14页（共29页）

【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．

【分析】作出草图，先求出菱形的边长，再根据邻角互补求出较小的内角，从而判定出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等解答即可． 【解答】解：如图，∵菱形的周长是40cm， ∴AB=40÷4=10cm， ∵两邻角的比是1：2， ∴∠B=

×180°=60°，

∵菱形的边AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴较短的对角线AC=AB=10cm． 故答案为：10cm．

【点评】本题考查了菱形的四条边都相等，邻角互补的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 15．函数y=

中，自变量x的取值范围是 x≥2且x≠3 ．

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【解答】解：根据题意得：解得：x≥2且x≠3． 故答案是：x≥2且x≠3．

【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

第15页（共29页）

，

16．已知两个分式：A=相反数 ．

【考点】分式的加减法．

，B=，其中x≠±2，则A与B的关系是 互为

【分析】首先把B的结果求出，然后和A比较即可解决问题． 【解答】解：B=

=

=

=

，

而A=，

∴A与B的关系是互为相反数．

【点评】此题主要考查了分式的计算，通过分式的计算化简B，然后利用相反数的定义即可解决问题．

17．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是 22.5 度．

【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；正方形的性质． 【专题】计算题．

【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=∠BCA=45°； △ACE中，AC=AE，则：

∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°； ∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°． 故答案为22.5．

第16页（共29页）

【点评】此题主要考查的是正方形、等腰三角形的性质及三角形内角和定理．

18．若x=3是分式方程【考点】分式方程的解．

【专题】计算题；分式方程及应用．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x=3代入整式方程求出a的值即可． 【解答】解：去分母得：（a﹣2）（x﹣2）﹣x=0， 把x=3代入整式方程得：a﹣2﹣3=0， 解得：a=5， 故答案为：5

【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程成立的未知数的值，注意分母不能为0．

19．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动．给出以下四个结论： ①AE=AF； ②∠CEF=∠CFE；

③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形； ④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大．

上述结论中正确的序号有 ①②③ ．（把你认为正确的序号都填上）

=0的根，则a的值是 5 ．

【考点】菱形的性质． 【专题】压轴题；动点型．

【分析】根据菱形的性质对各个结论进行验证从而得到正确的序号．

【解答】解：∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动， ∴BE=DF，

第17页（共29页）

∵AB=AD，∠B=∠D， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE=AF，①正确； ∴CE=CF，

∴∠CEF=∠CFE，②正确； ∵在菱形ABCD中，∠B=60°， ∴AB=BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴当点E，F分别为边BC，DC的中点时，BE=AB，DF=AD， ∴△ABE和△ADF是直角三角形，且∠BAE=∠DAF=30°， ∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°， ∴△AEF是等边三角形，③正确；

∵△AEF的面积=菱形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△ADF的面积﹣△CEF的面积=﹣BE•AB×

×2﹣×

×（AB﹣BE）2=﹣

BE2+

AB2，

AB2

∴△AEF的面积是BE的二次函数， ∴当BE=0时，△AEF的面积最大，④错误． 故正确的序号有①②③．

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定．

三．解答题（本大题共8小题，共63分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 20．（1）当

时，求

的值

第18页（共29页）

（2）解方程．

【考点】解分式方程；分式的化简求值． 【专题】计算题；分式；分式方程及应用．

【分析】（1）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）原式=当a=1﹣

时，原式=﹣

﹣；

•a=

﹣

=

，

（2）去分母得：2（x﹣1）+3（x+1）=6， 去括号得：2x﹣2+3x+3=6， 移项合并得：5x=5， 解得：x=1，

经检验，x=1是增根，原方程无解．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．

【考点】矩形的判定；菱形的性质．

【分析】根据平行四边形的判定推出四边形OBEC是平行四边形，根据菱形性质求出∠AOB=90°，根据矩形的判定推出即可． 【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，

第19页（共29页）

∴四边形OBEC是平行四边形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB=90°，

∴平行四边形OBEC是矩形．

【点评】本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．

22．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质． 【专题】证明题．

【分析】先根据题中已知条件判定四边形AEDF是平行四边形，然后再推出一组邻边相等．

【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD， ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD， ∴∠EAD=∠EDA， ∴EA=ED，

∴四边形AEDF为菱形．

【点评】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．

23．一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？ 【考点】多边形内角与外角．

第20页（共29页）

【分析】首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多0°，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数． 【解答】解：设这个多边形边数为n，则（n﹣2）•180=360+720， 解得：n=8，

∵这个多边形的每个内角都相等，

∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°． 答：这个多边形的每个内角是135度．

【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题．

24．已知：如图所示，E为正方形ABCD外一点，AE=AD，∠ADE=75°，求∠AEB的度数．

【考点】正方形的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质求出∠DAE，然后求出∠BAE的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【解答】解：∵AE=AD，∠ADE=75°， ∴∠AED=∠ADE=75°， ∴∠DAE=30°， 在正方形ABCD中， ∵AB=AD． ∴AB=AE， ∵∠BAD=90° ∴∠BAE=120°， ∴∠AEB=30°．

【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

第21页（共29页）

25．甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度． 【考点】分式方程的应用． 【专题】行程问题．

【分析】行驶速度：设列车提速前的速度为x千米/时，则提速后的速度为3.2x千米/时；行驶路程都是1280千米；行驶时间分别是：

；因为从甲站到乙站的时

间缩短了11小时，所以，提速前的时间﹣提速后的时间=11．

【解答】解：设列车提速前的速度为x千米/时，则提速后的速度为3.2x千米/时． 根据题意得：

解这个方程得：x=80．

经检验；x=80是所列方程的根． ∴80×3.2=256（千米/时）．

答：列车提速后的速度为256千米/时．

【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

26．在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．

（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． （3）若AC=6，DE=4，则DF= 2或10 ．

．

第22页（共29页）

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；

（2）与（1）的证明方法相同；

（3）根据（1）（2）中的结论直接求解． 【解答】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∴AF=DE， ∵DF∥AC， ∴∠FDB=∠C 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠FDB=∠B ∴DF=BF

∴DE+DF=AB=AC；

（2）图②中：AC+DE=DF． 图③中：AC+DF=DE．

（3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2； 当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10． 故答案是：2或10．

【点评】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题．

27．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求CF的长；

第23页（共29页）

（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF； （2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=（3）分三种情况分别讨论即可求得． 【解答】（1）证明：如图1， 在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）证明：如图1，

∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线， ∴∠EBC=∠DBC=22.5°， 由（1）知△BCE≌△DCF，

∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）； ∴∠BGD=90°（三角形内角和定理）， ∴∠BGF=90°； 在△DBG和△FBG中，

，

∴△DBG≌△FBG（ASA），

第24页（共29页）

；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；

∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等）， ∵BD=∴BF=

，

﹣1；

﹣1，BH=CF

=

，

∴CF=BF﹣BC=

（3）解：如图2，∵CF=∴BH=

﹣1，

①当BH=BP时，则BP=∵∠PBC=45°， 设P（x，x）， ∴2x2=（解得x=2﹣∴P（2﹣

﹣1）2， 或﹣2+，2﹣

﹣1，

， ）或（﹣2+

，﹣2+

）；

②当BH=HP时，则HP=PB=∵∠ABD=45°，

﹣1，

∴△PBH是等腰直角三角形， ∴P（

﹣1，

﹣1）；

③当PH=PB时，∵∠ABD=45°， ∴△PBH是等腰直角三角形， ∴P（

，

），

综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（2﹣（

，

）．

，2﹣

）、（﹣2+

，﹣2+

）、（

﹣1，

﹣1）、

【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．

四、选择题（共1小题，每小题0分，满分0分）

28．（2016•满洲里市模拟）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）

第25页（共29页）

A．16 B．17 C．18 D．19 【考点】勾股定理．

【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=

BC，BC=CE=

CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2

；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答． 【解答】解：如图， 设正方形S1的边长为x，

∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形， ∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°， ∴sin∠CAB=sin45°=∴AC=

BC=2CD，

=

，即AC=

BC，同理可得：BC=CE=

CD，

又∵AD=AC+CD=6， ∴CD==2， ∴EC2=22+22，即EC=2∴S1的面积为EC2=2

； ×2

=8；

∵∠MAO=∠MOA=45°， ∴AM=MO， ∵MO=MN， ∴AM=MN， ∴M为AN的中点， ∴S2的边长为3， ∴S2的面积为3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17． 故选B．

第26页（共29页）

【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．

五、解答题（共2小题，满分0分）

29．（2016春•历下区期末）分解因式：4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3． 【考点】因式分解-分组分解法． 【专题】计算题；因式分解．

【分析】原式结合后，利用完全平方公式及十字相乘法分解即可．

【解答】解：原式=（4x2+4xy+y2）﹣（4x+2y）﹣3=（2x+y）2﹣2（2x+y）﹣3=（2x+y+1）（2x+y﹣3）．

【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，将原式进行适当的结合是解本题的关键．

30．（2016春•历下区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b=

+

+16．一动点P从点A出发，在线段

AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒） （1）求B、C两点的坐标；

（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； （3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．

第27页（共29页）

【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理． 【分析】（1）根据二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；

（2）由题意得：QP=2t，QO=t，PB=21﹣2t，QC=16﹣t，根据平行四边形的判定可得21﹣2t=16﹣t，再解方程即可；

（3）①当PQ=CQ时，122+t2=（16﹣t）2，解方程得到t的值，再求P点坐标；②当PQ=PC时，由题意得：QM=t，CM=16﹣2t，进而得到方程t=16﹣2t，再解方程即可． 【解答】解：（1）∵b=∴a=21，b=16，

故B（21，12）C（16，0）；

（2）由题意得：AP=2t，QO=t， 则：PB=21﹣2t，QC=16﹣t，

∵当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形， ∴21﹣2t=16﹣t， 解得：t=5，

∴P（10，12）Q（5，0）；

（3）当PQ=CQ时，过Q作QN⊥AB， 由题意得：122+t2=（16﹣t）2， 解得：t=，

故P（7，12），Q（，0）， 当PQ=PC时，过P作PM⊥x轴， 由题意得：QM=t，CM=16﹣2t， 则t=16﹣2t， 解得：t=故P（

，2t=

，

，0）．

+

+16，

，12），Q（

第28页（共29页）

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定，关键是注意分类讨论，不要漏解．

第29页（共29页）