第２８卷 第ｌ期 新乡学院学报：自然科学版 ２０ｌ１年２月 、，ｏ】。２８ Ｎｏ．１ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＸｉｎｘｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ ／ｒｅｂ．２０１ｌ 二维各向异性谐振子能级简并与对称性关系 陈泽章 （新乡学院物理系，河南新乡４５３００３） 摘要：从二维各向同性谐振子的能级简并情况出发，利用群论方法得到了能级筒并与对称性及守恒量之 间的关系，类比经典守恒量保证粒子轨道的闭合性，讨论了二维各向异性谐振子的能级简并。 关键词：谐振子；群论；能级简并；对称性；守恒量 中图分类号：０４１３．１；０５７２．２３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７４—３３２６（２０１１）０１—００２８—０２ Ｔｈｅ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ Ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ Ｄｅｇｅｎｅｒａｃｙ ａｎｄ Ｓｙｍｍｅｔｒｙ ＣＨＥＮ Ｚｅ－ｚｈａｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｘｉｎｘｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉｎｘｉａｎｇ ４５３００３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ ｉｎ ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ｄｅｇｅｎｅｒａｃｙ ｏｆ ｅｎｅｒｇｙ ｌｅｖｅｌｓ，ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ａｎｄ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｔｈｅｏｒｙ，ｗｈｉｃｈ ｗａｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｃｏｕｌｄ ｅｎｓｕｒｅ ｔｈｅ ｃｌｏｓｅ ｏｆ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ’ｏｒｂｉｔｓ． Ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｇｅｎｅｒａｃｙ ｏｆ ｅｎｅｒｇｙ ｌｅｖｅｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ ｉｎ ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｗａｓ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｓｙｓｔｅｍｉｃａｌｌｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ；ｇｒｏｕｐ ｔｈｅｏｒｙ；ｅｎｅｒｇｙ ｌｅｖｅｌｓ；ｓｙｍｍｅｔｙｒ；ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｑｕａｎｔｉｔｙ ０ 引言 在分子振动理论中谐振子势有着广泛的应用，由于它的解析解容易求出，且运算起来极为方便，在处 理原子核内的单粒子运动以及进一步研究剩余的其他粒子之间的相互作用时，常常用它做初步近似。然而， 在研究原子核基态及低激发态性质时提出的原子核的壳模型中，考虑核子在各向同性谐振子势场中的运动 性质时，发现谐振子的简并度不能说明闭壳层幻数，只有引进部分消除简并的自旋轨道型相互作用时才可 以给出一个满意的解释【１】。可见谐振子势场中的能级简并情况，尤其是各向异性谐振子的能级简并具有非 常实际的研究意义。本文以二维各向同性谐振子能级简并为基础，利用群论方法得到能级简并与对称性及 守恒量之间的关系，类比经典守恒量保证粒子轨道的闭合性，讨论二维各向异性谐振子的能级简并情况。 １二维各向同性谐振子 二维各向同性谐振子的能量本征值Ｅｎ＝（ｎ＋１）（自然单位），其中ｎ＝，ｌ ＋ｎ ＝０，ｌ，２，…，简并度为 ＝，ｚ＋１＝ｌ，２’３，…。由于系统的空间对称性同基本物理量的守恒定律有着密切关系【２ Ｊ，各向同性即空间旋转 不变性，因此，二维各向同性谐振子的能量与角动量守恒。然而，我们知道哈密顿量具有某种空间对称性 就意味着存在某种空间变换群，这个群的所有群元都将使哈密顿量守恒，二维各向同性谐振子的简并度比 一般中心势阱 （ ）能级简并度（二重简并）要高，是否意味着二维各向同性谐振子系统比一般中心势阱的守 恒量要多呢？下面根据系统哈密顿量，采用群论方法，找到其哈密顿对称群的所有不等价、不可约表示ｐｊ， Ｈ＝ ＋ ＝（ ＋ ）／２＋（ｙ ＋ｐ：）／２，Ｌ：＝ｘｐ 一ＹＰｘ， ＝（ 。－ｙ ）／２＋（ 一 ）／２＝ 一 ，Ｑ ＝ ＋ 。 利用上升和下降算符ｑ＝（ｘ＋ｉｐＡ／￣， ＝（ｘ－ｉｐＡＩ ， ＝（ ＋ ）／ ， ＝ 一 ）／ 。上述各量可 分另Ⅱ表示为Ｈ＝（ａｔｘａｘ＋ ：口 ＋１）， ＝ｆ（ ； ～ Ⅱ ）， ：（ａｔｘａｘ一口；ａｙ），Ｑ ＝日 口 ＋口；ａｘ。 收稿日期：２０１０。１１－２０ 修回日期：２０１０—１２—１５ 作者简介：陈泽章（１９８２－－），男，河南新乡人。教师，硕士生，研究方向：理论物理。Ｅ－ｍａｉｌ：ｃｈｅｎｚｅｚｈａｎｇ９１９＠１２６．ｃｏｍ。 陈泽章：二维各向异性谐振子能级简并与对称性关系 ・２９・ 可见除去 之外，Ｌ－、 、 构成了ｓｕ（２）群的李代数。根据对称群的表示理论，若体系有一个对 称群是非阿贝尔群，比如李群，则往往伴随着能级简并出现。由此可见，二维各向同性谐振子的哈密顿除 了具有空间对称性之外，还有特有的一种动力学对称性，即幺正对称性。由上述讨论可知二维各向同性谐 振子之所以比一般中心势阱ｖ（ｐ）能级简并度（二重简并）要高，正是因为各向同性谐振子势具有比一般中心 力场的几何对称性（空间旋转不变性即各向同性）更高的对称性，即幺正变换下的对称性，所以，体系除了 能量与角动量守恒外，必然还存在另外的守恒量。有研究表明此守恒量即Ｒｕｎｇｅ—ｌｅｎｚ矢量【４】，在经典力学 巾，正是由于这个额外的守恒量，才保证了粒子轨道的闭合性。 由此我们自然联想到经典二维各向异性谐振子的运动轨迹在某种情况下也可能是一条稳定的封闭曲 线，即所谓利萨如图形。那么，在二维各向异性谐振子体系中，是否也存在着特有的守恒量使得系统具有 特有的对称性，进而伴随着能级简并呢？下面我们讨论这一问题。 ２各向异性谐振子的运动学特征与能级简并 ２．１ 二维各向异性谐振子运动学特征 二维各向异性谐振子经典动力学方程为 ｄ ／ｄｔ ：一 ， ｄ ／ｄｔ ＝ Ｊ，。解得Ｘ＝４ ｃｏｓ（ａ￣ｄ＋ ）， ： ｃｏｓ（ｃｏ／＋ｏ￣），式中 ＝ ，ｑ＝ 。显然，它是两个互相垂直、不同频率的简谐振动的合 成，由以上两式消去，可得二维各向异性谐振子的运动轨迹，一般情况下合振动的轨迹是一条既不封闭也 不稳定的曲线。然而，当分振动频率 ／ ＝Ｐ／ｇ为不可约正整数时，二维各向异性谐振子的运动轨迹便 合成一条稳定的封闭曲线，即利萨如图形【５】。由此可见，ＣＯｘ／以，为简单整数比反映在运动学上便体现出二 维各向异性谐振子的周期性，同时也反映了经典二维各向异性谐振子的某种特有的动力学对称性，在微观 量子二维各向异性谐振子势场中，这种对称性就有可能导致它的能级简并。 ２．２二维各向异性谐振子的能级与波函数 当谐振子为二维各向异性时，体系哈密顿量在平面直角坐标系中表示为ｑ ＝ ＋Ⅳ ＝ ：／（２ ）＋ ∥ ｘ ／２＋ ／（２ ）＋∥ ／２，求解哈密顿本征值方程可以得体系能量及波函数： Ｅ ， ＝（ｎｘ＋１／２）ｈｃｏ￣＋（Ｈ ＋１／２）ｈ ； （ ， ）＝ （ａｘＸ） （ＧＹ）。 （１） （２） 在一般情况下，各向异性谐振子的能级并不简并，然而，类比二维各向异性谐振子的经典运动学轨迹， 二维各向异性谐振子势场也应该具有某种特有的动力学对称性，根据上述各向同性谐振子能级简并的讨论 可知，若体系的哈密顿量除了具有空间对称性外，还有幺正对称性的话，同一能级可能对应多个量子状态， 即在某种情况下，二维各向异性谐振子的能级也是简并的。 ２．３二维各向异性谐振子的能级简并 在一般情况下，各向异性谐振子能级不简并，能级 对应的量子状态只有一个，即 一（ ，Ｙ）态， 我们可以用（力 ， ）来表示这个能态。由（１）式可知，当 、 满足一定关系时，能级 有可能出现简并。 ， ．这时若假设存在另一组态（ｒ／ｘ ，／／＇ｙ ），其能量 ：：与 ． ，，相等，即 （３） （ｎ ～ｎＤｔｏｘ￣（ｒ／ｙ‘一 ） ：０。 欲使（３）式成立，先令 ／ＣＯｙ：Ｐ／ｑ，然后，分有理数和无理数两种情况进行讨论。 当Ｐ／ｇ（Ｐ，ｑ为不可约正整数）为有理数时，将ＣＯｘ／ ＝Ｐ／ｇ代人（３）式，得 （， 一Ｇ）／（ｎｙ一， ）＝一 ／ ＝－ｑ／ｐ。 （４） 由于（ｎｘ，，ｚ：， ， ；）的取值均可为０，１，２，…，因此，要使（４）式成立有三种可能情形：１），ｚ，＞以 ，ｎ：＜Ｂ，ｙ 此时令ｎ：一 ＝ｋｑ， 一 ＝一ｋｓ，，即ｎ：＝１＇１ｘ＋幻， ＝ 一 ，由于 ：≥０，ｒｌｙ≥ ，可得ｋ＝１，２，…，【，ｚ ／Ｐ】， 其中［ｎｙ／Ｐ】表示ｎｙ／ｐ这个数的整数部分。于是（ ， ）有［ ／ｐ】个可能的组态满足（３）式。２） ＜ ， ＞ ，此时令 一吩＝— 一 ＝ ，即 ＝ 一幻， ＝ ＋ 。由于 ≥０， ≥幻，可得ｋ＝１２，…，［吃／ ， ，仍然用【 ／ｑ】表示ｎｘ／ｑ这个数的整数部分，于是（ｎｘ ，力；）还有［ ／ｑ］个可能的组态也满足（３）式。３）／＇／ｘ ： ， （下转第４３页） 茹蓓，赵芳：聚类算法在图书馆中的应用 ・４３・ ［３］宋浩远．基于模型的聚类方法研究［Ｊ］．重庆科技学院学报，２００８，１Ｏ：７１—７３ ［４】张肖燕，杨振．基于频繁模式矩阵的最大频繁项目集挖掘算法［Ｊ］．计算机应用与软件，２００７（７）：１２３—１２６． ［５］龚宇花，刑耐生．数据挖掘技术在高校数字化图书馆申的应用［Ｊ］．电脑知识与科技，２００８（９）：１５４７—１５５７． 【责任编辑邢怀民】 （上接第２９页） Ｈｙ ＝ｌ＇ｔｙ，这种情况下只有一组能态，即能级Ｅ 对应的量子状态只有（１ｔ＇ｘ，ｎｙ）态。 综合上述三种情况，当 ／ ＝Ｐ／ｑ为有理数时，（ｎｘ ，ｎ；）的可能组态个数共有ｆ＝［ ／ｐ］＋［，ｚ√ｇ】＋１。 它们均满足（３）式和（４）式，其能量均为 所以此能级的简并度就是厂。 当 ／ ＝Ｐ／ｇ为无理数时，欲使（３）式成立，必然要求ｎ：＝ｎｘ，且 ｎｙ。这就说明，当 ／ 为无理 数时，不可能存在另一组态（Ｈｘ ，Ｆｌｙ ），使其能量也为Ｅ一 即能量是非简并的。对应于经典二维各向异性 谐振子的运动轨迹就是一条既不封闭也不稳定的曲线。 ４结束语 由上述讨论可见，二维各向异性谐振子的能级简并与参量 ／ 有关，即只有在分振动的周期或圆频 率成简单整数比时，能级才会出现简并，并对应一种特殊的动力学对称性及守恒量，至于这种守恒量是否 就是Ｒｕｎｇｅ—ｌｅｎｚ矢量以及推广到三维谐振子势场中是什么情况，这还有待于今后的进一步研究。 参考文献： ［１］曾谨言．量子力学［Ｍ】．北京：科学出版社，２０００：３１４． ［２】喀兴林．高等量子力学［Ｍ】．北京：高等教育出版社，２０００：２５６． ［３】马中骐．物理学中的群论［Ｍ】．北京：科学出版社，２００６：５７． ［４】周衍柏．理论力学教程［Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９８６：６５．７４． ［５】漆安慎，杜婵英．力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９７：２７６． 【责任编辑邢怀民】
