基本不等式及其应用

基本不等式及其应用

本讲主要内容学习指导例题精讲重点运用能力训练版权所有：湖南长郡卫星远程学校

本讲主要内容：学习指导：ab2ababab22222ab2abab2ab()2版权所有：湖南长郡卫星远程学校

例题精讲：例1：下列不等式：11 (1)x2 (2)x2xxba (3)若0a1b,则logalogb2ba (4)若0a1b,则logalogb2 其中正确的是 ( ) A.(2)(4) B.(1) (2) C. (2)(3) D.(1) (2) 版权所有：湖南长郡卫星远程学校

1解：(1)当x0时，x2;x1 当x0时，x2x111 (2)x与同号 xx2xxx1b (3)当0a1b时，loga0alogbba logalogb2 (4)由(3)知(4)是错的，故答案为C。ab1.均值不等式ab中，一定要注意a,b是正数2版权所有：湖南长郡卫星远程学校

例2、求函数y2x5x422的最小值。解：yx412x4x4 故最小值为2。错解！

因x4与但 x422x421221x4122为正数且它们的积为定值不可能成立,x4故不能用均值不等式。版权所有：湖南长郡卫星远程学校

解法一：设x4t 则t22t1 y去分母得：t2 tyt10 t1t21 又t2 可知方程仅有一根不小于22 故设f(t)tyt1 f(2)0 5 即42y10,得y.2版权所有：湖南长郡卫星远程学校

21解法二：(利用函数yt在t1t 上是单调增函数来解)2 设tx4 则t2, 2t11 yttt 当t2时，该函数是增函数， 所以当t2时，y取最小值，15 且最小值为2。222.用均值不等式一定要确保“=”能取到

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例3、某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其年生产总成本y(万元)与年产量x(吨)间的函数关系式为12yx30x4000,求:年产量10为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求出每吨的最低成本。版权所有：湖南长郡卫星远程学校

y14000解：每吨的成本为x30x10x14000 2x3040301010x14000当且仅当x 即x200时等号成立，10x而200(150,250) 故当年产量是200吨时，每吨成本最低，每吨最低成本为10万元。3.使用均值不等式求最大值和最小值时，要注意“和”或“积”为常数（定值）版权所有：湖南长郡卫星远程学校

ab1.均值不等式ab中，一定要注意a,b是正数22.用均值不等式一定要确保“=”能取到

3.使用均值不等式求最大值和最小值时，要注意“和”或“积”为常数（定值）版权所有：湖南长郡卫星远程学校

a,bR,22abab2ab1122ab平方平均数，算术平均数几何平均数，调和平均数版权所有：湖南长郡卫星远程学校

练习：

(1)若a,b,c,d,m,n都是正实数，bdPabcd,Qmanc,则有( )mn A.PQ B.PQ C.PQ D.P、Q大小关系不确定1(2)已知p0，q0,p,q的等差中项为，且211xp,yq,则xy的最小值为（ ）pqA.6 B.5 C.4 D.3版权所有：湖南长郡卫星远程学校

51(3)已知x,则函数y4x244x5 的最大值是（ ）(4)函数yxabx(ab)的 最大值是_______2解：(1)Pabcd2abcdbd2 Q(manc)()mnmn abcdadcbnm abcd2abcd 故答案选A。版权所有：湖南长郡卫星远程学校

(2)依题意可得：pq1,11pqpqxypq1pqpqqp 35 故答案选B。pq5(3)x 5-4x0 411 y4x-2(54x)34x-554x 231版权所有：湖南长郡卫星远程学校

abab(4)利用重要不等式22 (a,bR)解xabxba  22 即得函数的最大值。另法：由题意得：2 yba2(xa)(bx) ba(xa)(bx) y2(b-a) 即为所求的最大值。版权所有：湖南长郡卫星远程学校

22重点运用：1、利用均值不等式比较大小：

例5、如果0ab且ab1, 把下列四个数:22 ab,2ab,b,ab 按由大到小的顺序排列起来。版权所有：湖南长郡卫星远程学校

解：由0ab且ab1可得：1 0ab1,2ab21 ab()242222 于是babb(1b)b (2b1)(b1) 022 bab 版权所有：湖南长郡卫星远程学校

1 又ab2abab(12ab),ab 2ab2ab222又abab(ab)2abab 1-2ab-ab (2ab1)(ab1) 22abab22综上所得：babab2ab版权所有：湖南长郡卫星远程学校

2、合理拆项配组，应用均值不等式证明不等式：

例6、已知a,b,cR,求证：222abc abcbca版权所有：湖南长郡卫星远程学校

ab证明： b2a,c2b,bc2c a2ca 三式相加得：222abc (b)(c)(a)2a2b2cbca222abc 故 abcbca22版权所有：湖南长郡卫星远程学校

例7、求证：222222abbcca2(abc)证明：ab2ab2222 2(ab)ab2ab222 即 2(ab)(ab)22 2ababab122 ab(ab)2122 同理：bc(bc),2122 ca(ca)2 三式相加即解。版权所有：湖南长郡卫星远程学校

2212例8、已知xy1(x0,y0),求的最小值。xy解：xy1 1212 (xy)()xyxyy2x 3xyy2x 32322xy版权所有：湖南长郡卫星远程学校

3、创造条件，利用均值不等式求最值：y2x当且仅当即y2x时等号成立xy12的最小值为322 xy（此时x21,y22)版权所有：湖南长郡卫星远程学校

x例9、实数x、y满足xy,求x的取值范围。yx2解：由xy得：xxyyy2 从而x(y-1)y(y0)22y(y1)2(y1)1 xy1y11 (y1)2y111 又 (y1)2或(y1)2y1y1 故x的取值范围为（-，0）[2，）版权所有：湖南长郡卫星远程学校

b例10、若a,bR,且a1,32求a1b的最大值及此时a,b的值。解：a,bR222 a1ba(1b)22a(1b) 3321b2a233 3232版权所有：湖南长郡卫星远程学校

22ba16a3 当且仅当2得：31ba2b1322a1b的最大值为3，36 此时a，b132版权所有：湖南长郡卫星远程学校

4、均值不等式在应用题中的运用：

例11、某单位用木料制作如图所示 的框架，框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形，上部是等腰直角三角形，2要求框架围成的总面积为8m,问：x,y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？y

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122解：根据题意有：xy(x)82221 即 x4xy32 总用料t2y2x2x2y(22)x 2232x8x又由1得：y 代入2得：4xx416x316 t(22)x(2)xx22x316 当且仅当(2)x2x 即x8-422.344(m) y222.828(m)时用料最省。版权所有：湖南长郡卫星远程学校

能力训练：11、若ab0,Plgalgb,Q(lgalgb)2ab Rlg(),则下列不等式成立的是( )2 A. RPQ B.PQR C.QPR D.PRQ2、若实数m,n,x,y满足mna,22xyb(ab),则mxny的最大值是( )22ababab A. B.ab C. D.22ab版权所有：湖南长郡卫星远程学校

223、已知a,b,c(0,),且abbcca1, 那么下列不等式中正确的是( )2222 A. abc2 B.(abc)31111 C.23 D.abc(abc)abc34、在下面等号右侧两个分数的分母 括号处各填上一个自然数，并且19 使这两个自然数的和最小：1（ ）（ ）版权所有：湖南长郡卫星远程学校

a(ab)5、定义运算a*b为：a*bb(ab)x例如，1*21，则1*2的取值范围是___6、已知a,b(0.),abab30, 则ab的最小值是_______版权所有：湖南长郡卫星远程学校

7、已知a,bR且ab1,求证：11122 (1)ab (2)2282ab121225 (3)(a)(b)ab21125 (4)(a)(b)ab4答案： 1、B 2、B 3、B 4、 4 ， 12 5、(0，1] 6、 9版权所有：湖南长郡卫星远程学校