高中数学常用公式

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA. 2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUA ACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

nnn 5．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1

个；非空的真子集有2n–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)axbxc(a0); (2)顶点式f(x)a(xh)k(a0); (3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0). 7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式

22Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

f(x)NMNMN0 ||f(x)Mf(x)2211. f(x)NMN8.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后

者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在

2(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1k1k2bk2. 22a9.闭区间上的二次函数的最值

bk1k2,或f(k2)0且2a2 二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x2b处及区2a ；

间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若xbb则fxp,q，()nmf(,)()fxi2a2axmaxma(f,)p()fqbp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q). 2ab)iminfp()fq(若)(2)当a<0时，若xp,q，则f(xm,，n2ax酷学网（www.kuxue.com）

xbp,q，则f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q). 2a10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)x2pxq，则

p24q0（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p24q0mpn2f(m)0f(n)0或或；

af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或p .

m211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).

(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL).

a0a042(3)f(x)axbxc0恒成立的充要条件是b0或2.

b4ac0c012.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有x， 存在某x， 成立 不成立 p或q 对任何x， 不成立

存在某x， 成立 p且q 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n1）个 至少有（n1）个 p且q p或q 酷学网（www.kuxue.com）

14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数.

x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数; 如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

(x1x2)f(x1)f(x2)018．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx) 的图象关于直线x对称. 22a21.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称; 若

2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

nn122．多项式函数P(x)anxan1xa0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax) f(2ax)f(x).

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(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx) 2f(abmx)f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称. (2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x1ab对称. 2m(3)函数yf(x)和yf(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b],并不是k1y[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y[f(x)b]的反函数.

k28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1). (4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

'xf(0)1,limx0g(x)1. x29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)， f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a； 21(3)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；

f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则

1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.

或f(xa)30.分数指数幂

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(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）. （a0,m,nN，且n1）.

an31．根式的性质 （1）(na)a.

（2）当n为奇数时，aa； 当n为偶数时，a|a|32．有理指数幂的运算性质 (1) aaarsrrsrrrsrsnnnna,a0.

a,a0(a0,r,sQ).

(2) (a)a(a0,r,sQ).

(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

p

注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

34.对数的换底公式

logmN (a0,且a1,m0,且m1, N0).

logman推论 logambnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1, N0).

mlogaN35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN; Nn(3)logaMnlogaM(nR).

(2) loga236.设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为

2R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要

单独检验.

37. 对数换底不等式及其推广

1,则函数ylogax(bx) a11 (1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.

aa11， (2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数.

aa 若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则 （1）logmp(np)logmn.

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（2）logamloganloga2mn. 238. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有

yN(1p)x.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n1s1,an( 数列{an}的前n项的和为sna1a2an).

snsn1,n240.等差数列的通项公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n项和公式为

n(a1an)n(n1)na1d 22d1n2(a1d)n. 22sn41.等比数列的通项公式

ana1qn1a1nq(nN*)； q其前n项的和公式为

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q1142.等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n项和公式为

nbn(n1)d,(q1)sn. d1qnd(b)n,(q1)1qq11q43.分期付款(按揭贷款)

ab(1b)n每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1b)144．常见三角不等式 （1）若x(0,2)，则sinxxtanx.

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)，则1sinxcosx2. 2(3) |sinx||cosx|1.

(2) 若x(0,45.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=

46.正弦、余弦的诱导公式

sin，tancot1. cos(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) nn(1)2sin,sin() n12(1)2cos,

n)cos,n(12 cos()n12(1)2sin,47.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantan. tan()1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式); cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

b定,tan ).

a48.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tan. tan21tan249. 三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().

33cos34cos33cos4coscos()cos()333tantan3tan3tantan()tan().

13tan23350.三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T.

2；函数ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,为常数，且A

≠0，ω＞0)的周期T. 酷学网（www.kuxue.com）

51.正弦定理

abc2R. sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB; c2a2b22abcosC.

53.面积定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222221(3)SOAB(|OA||OB|)(OAOB). 2（1）S.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB). 222k55. 简单的三角方程的通解

sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a|1). cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特别地,有

sinsink(1)k(kZ).

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ. cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ.

tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

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只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则ab(b0)x1y2x2y10. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2).

 (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2).

63.两向量的夹角公式

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2).

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

.平面两点间的距离公式

 dA,B=|AB|ABAB (x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则 A||bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20. 66.线段的定比分公式

PP2，则 设P112的分点,是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PPx1x2xOP11OP2OP yy12y111）. OPtOP1(1t)OP2（t167.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x3y1y2y3,). 3368.点的平移公式

'注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k).

'''''x'xhxx'h'OPOPPP . ''yykyyk69.“按向量平移”的几个结论

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（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk).

(2) 函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为yf(xh)k.

(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为yf(xh)k.

(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(xh,yk)0.

(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y). 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

'''''''222（1）O为ABC的外心OAOBOC.

（2）O为ABC的重心OAOBOC0.

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.

（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

22（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

abab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2333（3）abc3abc(a0,b0,c0).

（2）a,bR（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab. 72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p； （2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值推广 已知x,yR，则有(xy)(xy)2xy （1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大； 当|xy|最小时,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时, |xy|最小； 当|xy|最小时, |xy|最大.

73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a与

2212s. 422ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)； xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

xax2aaxa.

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xax2a2xa或xa.

75.无理不等式 （1）f(x)0f(x)g(x)g(x)0 .

f(x)g(x)f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或.

g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0f(x)g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]2（2）（3）76.指数不等式与对数不等式 (1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x178.直线的五种方程

（1）点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

ab（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

79.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2 ①l1||l2k1k2,b1b2; ②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①l1||l2A1B1C1； A2B2C2酷学网（www.kuxue.com）

②l1l2A1A2B1B20； 80.夹角公式

k2k1|.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan|12|.

A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan|直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是81. l1到l2的角公式

. 2k2k1.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan12.

A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan直线l1l2时，直线l1到l2的角是

. 282．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线

xx0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

BxAy0,λ是参变量．

83.点到直线的距离

AB84. AxByC0或0所表示的平面区域

设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是： 若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

85. (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域 设曲线C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），则

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是：

d|Ax0By0C|22(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

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(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分； (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.

86. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (xa)(yb)r.

（2）圆的一般方程 xyDxEyF0(D2E24F＞0). （3）圆的参数方程 22222xarcos.

ybrsin0圆的直径的端点是（4）圆的直径式方程 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(A(x1,y1)、B(x2,y2)).

87. 圆系方程

(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB的方程,λ是待定的系数．

22(2)过直线l:AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程

是xyDxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

(3) 过圆C1:x2y2D1xE1yF10与圆C2:x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程是xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0,λ是待定的系数．

88.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种 若d222222222(ax0)2(by0)2，则

dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

.直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

222dr相离0; dr相切0; dr相交0.

AaBbC其中d.

22AB90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d

dr1r2外离4条公切线; dr1r2外切3条公切线;

r1r2dr1r2相交2条公切线; dr1r2内切1条公切线; 0dr1r2内含无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆xyDxEyF0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

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D(x0x)E(y0y)F0. 22D(x0x)E(y0y)当(x0,y0)圆外时, x0xy0yF0表示过两个切点

22 x0xy0y的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆xyr．

①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr; ②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k. 22222xacosx2y292.椭圆221(ab0)的参数方程是.

abybsinx2y293.椭圆221(ab0)焦半径公式

aba2a2PF1e(x)，PF2e(x).

cc94．椭圆的的内外部

x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部ab95. 椭圆的切线方程

22x0y01. a2b222x0y021. 2abxxyyx2y2(1)椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2 （2）过椭圆221(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y21. a2bx2y2 （3）椭圆221(ab0)与直线AxByC0相切的条件是

abA2a2B2b2c2.

x2y296.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式

aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc97.双曲线的内外部

x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部abx2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部ab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

22x0y021. 2ab22x0y01. a2b2酷学网（www.kuxue.com）

x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

ababax2y2xyb (2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

ababax2y2x2y2 (3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x

abab轴上，0，焦点在y轴上）.

99. 双曲线的切线方程

xxyyx2y2 (1)双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2 （2）过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y21. a2bx2y2 （3）双曲线221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是

abA2a2B2b2c2.

2100. 抛物线y2px的焦半径公式

p2抛物线y2px(p0)焦半径CFx0.

2pp过焦点弦长CDx1x2x1x2p.

222y2,y)或P(2pt2,2pt)或 P(x,y)，其中 101.抛物线y2px上的动点可设为P(2py22px.

b24acb2102.二次函数yaxbxca(x)（1）顶(a0)的图象是抛物线：

2a4ab4acb2b4acb21,)；,)；点坐标为(（2）焦点的坐标为(（3）准线方程是2a4a2a4a4acb21y.

4a2103.抛物线的内外部

(1)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0). 点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0). 点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0). 104. 抛物线的切线方程

2222222222222222酷学网（www.kuxue.com）

(1)抛物线y2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0).

（2）过抛物线y2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0). （3）抛物线y2px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB2AC.

105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

2222f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).

x2y2(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程221,其中kmax{a2,b2}.当

akbk222kmin{a,b}时,表示椭圆; 当min{a,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB(x1x2)2(y1y2)2或

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端点

A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程ykxb2 消去y得到axbxc0，0,为直线

F(x,y)0AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0. （2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0. 2222ABAB22108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0，用x0x代x，用y0y代y，用

22x0yxy0xxyy代xy，用0代x，用0代y即得方程 222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，曲线的切线，切点弦，中点

222弦，弦中点方程均是此方程得到.

109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；

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（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.