模拟考(四) 高考仿真模拟冲刺卷(D) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2018·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2} 答案：C 解析：∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}．故选C. 2．[2019·贵阳监测]设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝( ) A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 答案：C 1解析：由题意，得z＝i－1＝－1－i，故选C. 3．[2019·广西南宁摸底]执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是( ) 1A．－1 B.2 C．2 D．1 答案：C 解析：运行框图，输入S＝2，k＝2 015，满足条件k<2 018，S＝1＝－1，k＝2 015＋1＝2 016；满足条件k<2 018，S＝＝2，1－21－－11k＝2 016＋1＝2 017；满足条件k<2 018，S＝1＝2，k＝2 017＋11－2＝2 018，k<2 018不成立，输出S＝2.故选C. 4．[2019·福建厦门模拟]某学校从高三甲、乙两个班中各选6名同学参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的平均分为81，则x＋y的值为( ) 11A．6 B．7 C．8 D．9 答案：D 解析：根据甲班学生成绩的众数是85，得x＝5.根据乙班学生成绩的平均分为81，得y＝4.所以x＋y＝9.故选D. 5．下列说法正确的是( ) A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1” B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0” D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题 答案：D 解析：A中，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A不正确；B中，由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B不正确；C中，“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，故C不正确；D中，命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题， D正确，故选D. 6．[2018·全国卷Ⅰ]某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( ) A．217 B．25 C．3 D．2 答案：B 解析：先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示． 圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径． 1ON＝4×16＝4，OM＝2， ∴ |MN|＝故选B. 7．[2019·安徽六安阶段性考试]已知等比数列{an}中，a2＝2，则其前三项的和S3的取值范围是( ) A．(－∞，－2] B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．[6，＋∞) D．(－∞，－2]∪[6，＋∞) 答案：D 22解析：设公比为q，其前三项和S3＝q＋2＋2q，当q>0时，S3＝q222＋2＋2q≥2q·2q＋2＝6；当q<0时，S3＝q＋2＋2q≤－2q·2q＋2＝－2，∴其前三项和S3的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)，故选D. 8．[2019·福建宁德质量检查]设x，y满足约束条件OM2＋ON2＝22＋42＝25. 2x－y－1≤0，x＋1≥0，y－m≤0， 若目标函数z＝x－2y的最小值大于－5，则m的取值范围为( ) 1111A.－1，3 B.－3，3 C．[－3,2) D．(－∞，2) 答案：C x＝－1，解析：作出不等式组表示的可行域如图所示，由2x－y－1＝0x＝－1，y＝－3， 得 1z即C(－1，－3)．由图可知m≥－3.平移直线y＝2x－2至点B处得z的最小值，由图可知B(－1，m)，代入得zmin＝－1－2m.由题意知－1－2m>－5，解得m<2.综上所知，－3≤m<2，故选C. 9．[2019·湖南联考]已知x>0，y>0，a＝(x,1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，14则x＋y的最小值为( ) A．4 B．9 C．8 D．10 答案：B 解析：依题意，得a·b＝x＋y－1＝0⇒x＋y＝1. 14x＋y4x＋yy4x解法一 x＋y＝x＋y＝5＋x＋y≥9， 12当且仅当x＝3，y＝3时取等号．故选B. 1414解法二 设f(x)＝x＋y＝x＋(0
0，f(x)单调递增；当00，∴x>－11.当x＝0时，可得f(0)＝2×02－2ln(0＋1)＝0，则排除选项B，D; 又11121111f－2＝2×－2－2×ln－2＋1＝8－ln4＝8＋ln4>0，则排除选项C.故选A. 11．[2019·湘东联考]圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 解析：圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直|3×3＋4×3－11|线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，∴圆上到直线3x223＋4＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B. 12．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞) 答案：A fx解析：令F(x)＝x，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由xf′x－fxfx于F′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，所以F(x)＝xx2fx在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝x在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．故选A. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在相应题号后的横线上． 13．[2019·陕西名校联考]在多项式(x－1)3(x＋2)10的展开式中x6的系数为________． 答案：－4 128 解析：(x－1)3(x＋2)10的展开式中x6的系数为27C310－3×2C10＋463×25C510－2C10＝－4 128. 14．[2019·江苏南京月考]已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为________． 4答案：3 解析：由抛物线定义及题意，得xA＋1＝5，解得xA＝4.又因为点4－04A位于第一象限，所以yA＝4，所以kAF＝＝3. 4－115．[2019·湖南永州模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sinA＝2sinB，且a＋b＝3c，则角C的大小为________． π答案：3 解析：∵sinA＝2sinB， 由正弦定理可得a＝2b.∴a2＝4b2. ∵a＋b＝3c，即3b＝3c， 1由余弦定理2abcosC＝a＋b－c，可得cosC＝2.∵00)．则C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2a)， 则E(1,0，a)， →＝(0,2,0)，CP→＝(0,0,2a)，CE→＝(1,0，a)， CA易知m＝(1,0,0)为平面PAC的一个法向量． →＝n·→＝0， 设n＝(x，y，z)为平面EAC的法向量，则n·CACE2y＝0，即x＋az＝0， y＝0，取x＝a，则z＝－1，n＝(a,0，－1)． 6＝3，则a＝2. 2a＋1a|m·n|依题意，|cos〈m，n〉|＝＝|m||n|→于是n＝(2，0，－1)，PA＝(0,2，－22)． 设直线PA与平面EAC所成角为θ， →|PA·n|2→则sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝3， →|PA||n|2即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为3. 20．(本小题满分12分) [2019·山西晋城模拟]已知直线l1是抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线，直线l2：3x－4y－6＝0，且l2与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2. (1)求抛物线C的方程； (2)点M在直线l1上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P1，P2，在平面内是否存在定点N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，请求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1)作PA，PB分别垂直l1和l2，垂足为A，B，抛物线Cp的焦点为F0，2. 由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|， 显见，点P到直线l1和l2的距离之和的最小值即为点F到直线l2|－2p－6|2的距离，故d＝＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x5＝4y. (2)由(1)知直线l1的方程为y＝－1，当点M在特殊位置(0，－1)时，显见两个切点P1，P2关于y轴对称，故要使得MN⊥P1P2，点N必须在y轴上． 1212故设M(m，－1)，N(0，n)，P1x1，4x1，P2x2，4x2， 11抛物线C的方程为y＝4x2，求导得y′＝2x， 1所以切线MP1的斜率k1＝2x1， 121切线MP1的方程为y－4x1＝2x1(x－x1)． 又点M在直线MP1上， 121所以－1－4x1＝2x1(m－x1)，整理得x21－2mx1－4＝0， 同理可得x22－2mx2－4＝0， 故x1和x2是一元二次方程x2－2mx－4＝0的根， x1＋x2＝2m，由根与系数的关系得x1x2＝－4. 1212→→x－x，所以P1P2·MN＝214x2－4x1·(－m，n＋1) 1＝4(x2－x1)[－4m＋(n＋1)(x2＋x1)] 1＝4(x2－x1)[－4m＋2m(n＋1)] 1＝2m(x2－x1)(n－1)． →＝0恒成立， 可见n＝1时，P→P·MN12所以存在定点N(0,1)，使得MN⊥P1P2恒成立． 21．(本小题满分12分) [2018·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)ln(1＋x)－2x. (1)若a＝0，证明：当－1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，f(x)＞0； (2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a. 解析：(1)证明：当a＝0时，f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x， xf′(x)＝ln(1＋x)－. 1＋xxx设函数g(x)＝f′(x)＝ln(1＋x)－，则g′(x)＝. 21＋x1＋x当－1＜x＜0时，g′(x)＜0；当x＞0时，g′(x)＞0，故当x＞－1时，g(x)≥g(0)＝0，且仅当x＝0时，g(x)＝0，从而f′(x)≥0，且仅当x＝0时，f′(x)＝0. 所以f(x)在(－1，＋∞)单调递增． 又f(0)＝0，故当－1＜x＜0时，f(x)＜0；当x＞0时，f(x)＞0. (2)(ⅰ)若a≥0，由(1)知， 当x＞0时，f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x＞0＝f(0)， 这与x＝0是f(x)的极大值点矛盾． (ⅱ)若a＜0， 设函数h(x)＝＝ln(1＋x)－. 222＋x＋ax2＋x＋ax由于当|x|＜min1， fx2x1时，2＋x＋ax2＞0， |a|故h(x)与f(x)符号相同． 又h(0)＝f(0)＝0，故x＝0是f(x)的极大值点， 当且仅当x＝0是h(x)的极大值点． 222＋x＋ax－2x1＋2ax1h′(x)＝－ 221＋x2＋x＋ax＝x2a2x2＋4ax＋6a＋1x＋1ax＋x＋222. 1时，h′(x)|a|6a＋1若6a＋1＞0，则当0＜x＜－4a，且|x|＜min1， ＞0，故x＝0不是h(x)的极大值点． 若6a＋1＜0，则a2x2＋4ax＋6a＋1＝0存在根x1＜0， 1时，h′(x)＜0， 故当x∈(x1,0)，且|x|＜min1， |a|所以x＝0不是h(x)的极大值点． 若6a＋1＝0，则h′(x)＝， 22x＋1x－6x－12则当x∈(－1,0)时，h′(x)＞0；当x∈(0,1)时，h′(x)＜0. 所以x＝0是h(x)的极大值点，从而x＝0是f(x)的极大值点． 1综上，a＝－6. (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) [2018·全国卷Ⅱ]选修4－4：坐标系与参数方程 x3x－24x＝2cos θ，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为y＝4sin θx＝1＋tcos α，参数)，直线l的参数方程为(t为参数)． y＝2＋tsin α (1)求C和l的直角坐标方程； (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． x2y2解析：(1)曲线C的直角坐标方程为4＋16＝1. 当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α， 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－42cos α＋sin α1＋3cosα2，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2. 23．(本小题满分10分) [2019·南昌摸考]设函数f(x)＝|2x－3|. (1)求不等式f(x)>5－|x＋2|的解集； (2)若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值． 解析：(1)∵f(x)>5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|>5， 3∴当x≥2时，原不等式化为2x－3＋x＋2>5，解得x>2， ∴x>2； 3当－25，解得x<0， ∴－25，解得x<－3， ∴x≤－2. 综上，不等式f(x)>5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)∵f(x)＝|2x－3|，∴g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)＝|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|≥|2x＋2m－3－(2x－2m－3)|＝|4m|，
依题意有4|m|＝4，解得m＝±1.
