北师大版高中数学选修1-1第二章单元检测(B)

第二章 圆锥曲线与方程(B)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( ) A.C.

＋＝1B.＋＝1 8172819

x2x2

y2y2

x2x2

y2

＋＝1D.＋＝1 81458136

2．平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2

3．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax的焦点坐标为( ) a1，00，A.B. 22a

1aC.，0D.0，

44a

4．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )

2222

A．x＋y＝2B．x＋y＝4

2222

C．x＋y＝2(x≠±2)D．x＋y＝4(x≠±2)

y2

x2y2

5．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是

ab( )

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

A．(±3，0)B．(0，±3) C．(±5，0)D．(0，±5)

x2y2

6．设椭圆2＋2＝1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则

mm－1

椭圆的离心率为( )

212－13A.B.C.D. 2224

x2y2

7．已知双曲线的方程为2－2＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的

ab右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( ) A．2a＋2mB．4a＋2m C．a＋mD．2a＋4m

2

8．已知抛物线y＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )

1265B.C．2D. 555

2

9．设点A为抛物线y＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为( ) A．－2B．0

C．－2或0D．－2或2

2

10．从抛物线y＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为( ) A．56B．65 C．102D．52

2

11．若直线y＝kx－2与抛物线y＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k等于( ) A．2或－1B．－1 C．2D．1±5 A.

12.设F1、F2分别是双曲线

x25y421的左、右焦点.若点P在双曲线上，且PF1·PF2

→→

→→

=0，则|PF1＋PF2|等于( ) A．3B．6C．1D．2 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．

2

14.已知抛物线C：y=2px(p>0)，过焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B

→→

两点，若AF＝3FB，则k＝________.

→→2

15.已知抛物线y=2px(p>0)，过点M（p,0）的直线与抛物线交于A、B两点，则OA·OB＝

16．已知过抛物线y＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

x2y25

17．(10分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．

942

信达

2

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

18．(12分)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y＝1的右焦点F交椭圆于A、B两点，求

4

弦AB的长．

19.(12分)已知两个定点A(－1,0)、B(2,0)，求使∠MBA＝2∠MAB的点M的轨迹方程．

x2

2

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

→→2

20.（12分）已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x,y）满足PA·PB＝y－8. (1)求动点P的轨迹方程；

(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C、D两点．求证：OC⊥OD(O为原点)．

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

2

21.(12分)已知抛物线C：y＝2px(p>0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程．

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且

5

直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

5

22．(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物

1225线y＝x的焦点，离心率为.

45(1)求椭圆C的标准方程；

→→

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若MA＝mFA，→→

MB＝nFB，求m＋n的值．．

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

第二章 圆锥曲线与方程(B)

1．A [2a＝18，∵两焦点恰好将长轴三等分，

1

∴2c＝×2a＝6，∴a＝9，c＝3，

322

b＝a－c2＝72，

故椭圆的方程为＋＝1.]

8172

2．B [点P在线段AB上时|PA|＋|PB|是定值，但点P轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.] 3．D

4．D [P在以MN为直径的圆上．] 5．A

6．B [2a＝3＋1＝4.∴a＝2，

22

又∵c＝m－m－1＝1，

c1

∴离心率e＝＝.] a2

7．B [∵A，B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a，|BF1|＋|AF1|＝4a＋m，∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.] 8．A

x2y2

[如图所示过点F作FM垂直于直线3x－4y＋9＝0，当P点为直线FM与抛物线的交点

|3＋9|12

时，d1＋d2最小值为＝.] 55

9．B [由题意B为抛物线的焦点．令A的横坐标为x0，则|AB|＝x0＋1＝1，∴x0＝0.]

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

10．A

y＝kx－2

11．C [由2

y＝8x

消去y得，

k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，

22

故Δ＝[－4(k＋2)]－4k×4 ＝(1＋k)>0，

4k＋2

解得k>－1，由x1＋x2＝＝4，

k2

解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2.]

→→→→

12.B[因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，

→2→222

则|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4c＝36，

→→2→2→→→2→→

故|PF1＋PF2|＝|PF1|＋2PF1·PF2＋|PF2|＝36，所以|PF1＋PF2|＝6.故选B.].]

2

13.或2－1

2

解析 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b＝c，此时可求得离心率e＝＝2

；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时， 2

设直角边长为m，故有2c＝m,2a＝(1＋2)m，

c2cm所以，离心率e＝＝＝＝2－1.

a2a1＋2m14.3

解析设直线l为抛物线的准线，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B

r→uuu作BE垂直于AA1与E，则|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，由AF=3FB

|AE|1

∴cos∠BAE＝＝，

|AB|2∴∠BAE＝60°，∴tan∠BAE＝3. 即k＝3. .

2

15．－p 16．2

解析 设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.

17．解 由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半c1

94＝a1－b1＝5，

∴焦点是F1(－5，0)，F2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－5，0)，F2(5，0)，

22cacb＋c22＝

c2c＝

x2y2

x2y2

设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，由题设条件及双曲线的性质，得

abc＝5

c＝a＋bc5＝a2

2

2

2

a＝2，解得

b＝1

，

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

故所求双曲线的方程为－y＝1.

4

18．解 设A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．

222

由椭圆的方程知a＝4，b＝1，c＝3，∴F(3，0)． 直线l的方程为y＝x－3.① 将①代入＋y＝1，化简整理得

45x－83x＋8＝0，

838

∴x1＋x2＝，x1x2＝，

55∴|AB|＝x1－x2＋y1－y2 ＝1＋1

88832－4×5＝5. 5

222

x2

2

x2

2

19．解 设动点M的坐标为(x，y)． 设∠MAB＝β，∠MBA＝α，即α＝2β，

2tan β∴tanα＝tan2β，则tanα＝.① 21－tanβ(1)如图(1)，当点M在x轴上方时，tanβ＝，tanα＝， x＋12－x22

将其代入①式并整理得3x－y＝3(x>0，y>0)； (2)如图(2)，当点M在x轴的下方时，

－y－ytanβ＝，tanα＝，

x＋12－x22

将其代入①式并整理得3x－y＝3(x>0，y<0)；

yy

(3)当点M在x轴上时，若满足α＝2β，M点只能在线段AB上运动(端点A、B除外)，只能有α＝β＝0.

22

综上所述，可知点M的轨迹方程为3x－y＝3(x>0)或y＝0(－1∴PA＝(－x，－2－y)，PB＝(－x,4－y)． →→

则PA·PB＝(－x，－2－y)·(－x,4－y) 22

＝x＋y－2y－8.

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

∴y－8＝x＋y－2y－8， 2

∴x＝2y.

2

(2)证明 将y＝x＋2代入x＝2y，

22

得x＝2(x＋2)，即x－2x－4＝0，且Δ＝4＋16>0， 设C、D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则有x1＋x2＝2，x1x2＝－4. 而y1＝x1＋2，y2＝x2＋2， ∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4， ∴kOC·kOD＝·＝222

y1y2y1y2

＝－1，

x1x2x1x2

∴OC⊥OD.

22

21．解 (1)将(1，－2)代入y＝2px，得(－2)＝2p·1， 所以p＝2.

2

故所求的抛物线C的方程为y＝4x， 其准线方程为x＝－1.

(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t. y＝－2x＋t，2由2得y＋2y－2t＝0. y＝4x因为直线l与抛物线C有公共点，

1

所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.

2

另一方面，由直线OA到l的距离d＝

5 5

|t|1

可得＝，解得t＝±1.

55

11

因为－1∉[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，

22

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.

x2y2

22．解 (1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab2

抛物线方程可化为x＝4y，其焦点为(0,1)， 则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1.

ca2－b225由e＝＝＝.

aa25

x222

得a＝5，所以椭圆C的标准方程为＋y＝1.

5

(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入方程＋y＝1，

5

2222

得(1＋5k)x－20kx＋20k－5＝0.

2220k20k－5

∴x1＋x2＝2，x1x2＝2.

1＋5k1＋5k→→

又MA＝(x1，y1－y0)，MB＝(x2，y2－y0)， uuur→FA＝(x1－2，y1)，FB＝(x2－2，y2)．

x2

2

信达

-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------

∵→MA＝mFA→，→MB＝nFB→， ∴m＝

x1x2

x2，n＝x， 1－2－2

∴m＋n＝2x1x2－2x1＋x2

4－2x＋x，

1＋x21x2

又2x－2(x40k2－10－40k21x21＋x2)＝1＋5k2 ＝－101＋5k2，

4－2(x1＋x2)＋x1x2

2＝4－40k20k2－5－11＋5k2＋1＋5k2＝1＋5k2，

∴m＋n＝10.

信达