排列组合

排列组合

一、知识梳理 1、排列

排列定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有排列的个数Amn 公式 Amn=n! 规定0！=1 (nm)!2、组合

组合定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数

C

mn

C

mn

=

n!

m!(nm)!性质

CCnm=

nmn

Cn1CnCn

mmm1

二 常见排列组合解题方法

1、相邻元素捆绑策略

例1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

甲乙 丙丁 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8，命中4，4命中恰好有3连在一起的情形的不同种数为

2、不相邻问题插空策略

例2.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场

顺序有多少种？

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为

3.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

131C4A4C3

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需

先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位

置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

4.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

5、重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 n的位置，一般地n不同的元素没有地安排在m个位置上的排列数为m种 练习题：

1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这

两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42

2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法( )

6、多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

后 排前 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3

个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

7、元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

一班二班三班四班五班六班七班

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板， m1插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cn1

练习题：

1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 2.xyzw100求这个方程组的自然数解的组数

8、平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

n平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以Ann(为均分的

组数 )避免重复计数。 练习题：

1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？

2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______

9、合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌

2人伴舞的节目,有多少选派方法

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做

到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题：

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. 10、树图策略

例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,

则不同的传球方式有______

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 公式进行运算，树图会收到意想不到的结果

练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（i1,2,3,4,5）的不

同坐法有多少种？

三 巩固练习

1、 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 2、三个女生和五个男生排成一排

（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

3、排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

4、现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 5、7名同学排队照相．

(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？

(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 3名女生，6、由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）．

A．210 B．300 C．4 D．600 7、计算下列各题：

m1nmAn1Anm(1) A； (2) A； (3) ； n1An121566(4) 1!22!33!nn! (5)

123n1 2!3!4!n!