《总体离散程度的估计》教案、导学案、课后作业

【教材分析】

本节是主要介绍如何从样本中提取基本信息:方差、标准差、极差，来推断总体的情况.统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据.

【教学目标与核心素养】 课程目标

1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)． 2.会求样本数据的方差、标准差、极差． 3.理解离散程度参数的统计含义. 数学学科素养

1．数学抽象：方差、标准差有关概念的理解； 2．数算：求方差、标准差;

3. 数据分析：用样本平均数和样本标准差估计总体. 【教学重点和难点】

重点：求样本数据的方差、标准差、极差. 难点：用样本平均数和样本标准差估计总体. 【教学过程】 一、情景导入

在初中我们学过方差、中位数和平均数标准差的概念，他们都是描述一组数据的离散程度的特征数.回忆它们的定义及特点，用样本平均数和样本标准差怎样估计总体.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课

阅读课本209-213页，思考并完成以下问题 1、标准差和方差各指什么？ 2、标准差和方差的特征各是什么？

要求：学生完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.方差、标准差的定义

一组数据x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数，则这组数据的方差1n1n22

为 (xi－x)＝xi－x2，标准差为

1

n2

ni＝1ni＝1

xi－xn

i＝1

.

2.总体方差、总体标准差的定义

如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则1

N2

称S＝

2

(Y－Y) Nii＝1

为总体方差，S＝S2为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S＝

2

1

k2

f(Y－Y). Niii＝1

3.样本方差、样本标准差的定义

如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为y，则1

n2

称s＝

2

(y－y) nii＝1

为样本方差，s＝s2为样本标准差． 4.方差、标准差特征

标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．

四、典例分析、举一反三 题型一 标准差与方差的应用

例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中

抽取6件测量，数据为：

甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 72

【答案】 (1)x甲＝100，x乙＝100.s2甲＝，s乙＝1.

3(2)乙机床加工零件的质量更稳定.

1

【解析】 (1)x甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

6

x乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

16

16

22222

s2甲＝[(99－100)＋(100－100)＋(98－100)＋(100－100)＋(100－100)

7＋(103－100)2]＝，

3

22222

s2乙＝[(99－100)＋(100－100)＋(102－100)＋(99－100)＋(100－100)

1

6

＋(100－100)2]＝1.

2

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s2甲>s乙，所以乙机床加工

零件的质量更稳定.

解题技巧（实际应用中标准差、方差的意义）

在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高．

跟踪训练一

1．为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．

理科：79,81,81,79,94,92,85,

文科：94,80,90,81,73,84,90,80

计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好？

2

【答案】理科x1＝85(分)，方差s21＝31.25；文科x2＝84(分)，方差s2＝

41.75.

理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．

1

【解析】计算理科同学成绩的平均数x1＝×(79＋79＋81＋81＋85＋＋

81

92＋94)＝85(分)，方差s2＝×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)21

8＋(85－85)＋(－85)＋(92－85)＋(94－85)]＝31.25；

1

计算文科同学成绩的平均数x2＝×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)

812222

＝84(分)，方差s22＝×[(73－84)＋(80－84)＋(80－84)＋(81－84)＋(84－

884)＋(90－84)＋(90－84)＋(94－84)]＝41.75.

2

因为x1>x2，s212

2

2

2

2

2

2

所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好． 题型二 用样本平均数和样本标准差估计总体

例2 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？

【答案】能，估计为51.4862

【解析】引入记号，把男生样本记为x1,x2,为sx；把女生样本记为y1,y2,2,x23，其平均数记为x，方差记

2,y27，其平均数记为y，方差记为sy；把总样本

数据的平均数记为z，方差记为s2.

2721232sxzyzj，为了与根据方差的定义，总样本方差为i50i1j122327212xxxzyyyzx,y联系，变形为s2i，计算后可得j50i1j12xxxz0，2yii12327jj1yyz0.这样变形后可计算出s2．这也就

是估计值．

解题技巧 (用样本平均数和样本标准差估计总体注意事项)

（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差. （2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换．

跟踪训练二

1．在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差．

【答案】平均数为52.68分，标准差为10.37.

【解析】 把专业人士打分样本记为x1，x2，…，x8，其平均数记为x，方差记为s2x；把观众代表打分样本记为y1，y2，…，y12，其平均数为y，方差记为

2

s2y；把总体数据的平均数记为z，方差记为s.

则总样本平均数为：z＝

812

×47.4＋×56.2＝52.68(分)， 2020

12

182

总样本方差为：s＝[ (xi－z)]＋ (yj－z)2]

20i＝1

j＝1

2

＝

1222{8[s2x＋(x－z)]＋12[sy＋(y－z)]} 20

1

{8[3.72＋(47.4－52.68)2]＋12[11.82＋(56.2－52.68)2]}＝107.6， 20

＝

总样本标准差s＝10.37.

所以计算这名选手得分的平均数为52.68分，标准差为10.37. 五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计

9.2.4 总体离散程度的估计 1.方差、标准差的定义 例1 例2 2.总体方差、总体标准差的定义 3. 样本方差、样本标准差的定义 4.方差、标准差的特征 七、作业

课本213页练习，214例习题9.2的剩余题. 【教学反思】

本节课学生难掌握的是用样本平均数和样本标准差估计总体，在此类题型中学生对公式的转化有一定的困难，需细细推敲.

《9.2.4 总体离散程度的估计》导学案

【学习目标】 知识目标

1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)． 2.会求样本数据的方差、标准差、极差． 3.理解离散程度参数的统计含义. 核心素养

1．数学抽象：方差、标准差有关概念的理解； 2．数算：求方差、标准差;

3. 数据分析：用样本平均数和样本标准差估计总体.

【学习重点】：求样本数据的方差、标准差、极差. 【学习难点】：用样本平均数和样本标准差估计总体. 【学习过程】 一、预习导入

阅读课本209-213页，填写。 1.方差、标准差的定义：

一组数据x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数，则这组数据的方差1n为 (xi－x)2＝ ，标准差为 .

ni＝1

2.总体方差、总体标准差的定义

如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则称S2＝ 为总体方差，S＝ 为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝ .

3.样本方差、样本标准差的定义

如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为y，则称s2＝ 为样本方差，s＝s2为样本标准差．

4.方差、标准差特征

标准差、方差刻画了数据的 程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越 ；标准差越小，数据的离散程度越 ．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用 ．

小试牛刀

1．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是( )

A．甲 B．乙 C．甲、乙相同 D．不能确定

2．数学老师对某同学在参加高考前的5次数学模拟考试成绩进行统计分析，判断该同学的数学成绩是否稳定，那么老师需要知道该同学这5次成绩的( )

A．平均数或中位数 B．方差或标准差 C．众数或频率 D．频数或众数

3．已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本的标准差为________．

4．如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的方差为7，那么2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1这5个数的方差是________．

【自主探究】

题型一 标准差与方差的应用

例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：

甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 跟踪训练一

1．为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．

理科：79,81,81,79,94,92,85, 文科：94,80,90,81,73,84,90,80

计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好？

题型二 用样本平均数和样本标准差估计总体

例2 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估

计吗？

跟踪训练二

1．在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差．

【达标检测】

，2x1011．若样本数据x1,x2,,x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，的标准差为（ ）

A．8

B．15

C．16

D．32

2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0

C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3 3．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 10 9 8 8 6 乙 9 10 7 8 7 7 8

则下列判断正确的是（ ） A．甲射击的平均成绩比乙好 B．乙射击的平均成绩比甲好

C．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数 D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差

4．已知样本9,10,11,x,y的平均数是10，标准差是2，则xy________. 5．如图所示的是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的环数)，每人射击了6次．

(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；

(2)请用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较． 答案 小试牛刀 1. B. 2．B . 3．√2. 4. 28 自主探究

72

例1 【答案】 (1)x甲＝100，x乙＝100.s＝，s乙＝1.

3

2甲

(2)乙机床加工零件的质量更稳定.

1

【解析】 (1)x甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

61

x乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

6

22222

s2甲＝[(99－100)＋(100－100)＋(98－100)＋(100－100)＋(100－100)

1

6

7

＋(103－100)]＝，

3

2

22222

s2乙＝[(99－100)＋(100－100)＋(102－100)＋(99－100)＋(100－100)

1

6

＋(100－100)2]＝1.

2

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s2甲>s乙，所以乙机床加工

零件的质量更稳定.

跟踪训练一

1．【答案】理科x1＝85(分)，方差s2文科x2＝84(分)，方差s21＝31.25；2＝41.75.

理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．

1

【解析】计算理科同学成绩的平均数x1＝×(79＋79＋81＋81＋85＋＋

81

92＋94)＝85(分)，方差s2＝×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)21

8＋(85－85)＋(－85)＋(92－85)＋(94－85)]＝31.25；

1

计算文科同学成绩的平均数x2＝×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)

812222

＝84(分)，方差s22＝×[(73－84)＋(80－84)＋(80－84)＋(81－84)＋(84－

884)＋(90－84)＋(90－84)＋(94－84)]＝41.75.

2

因为x1>x2，s212

2

2

2

2

2

2

所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好． 例2 【答案】能，估计为51.4862 【解析】引入记号，把男生样本记为x1,x2,为sx；把女生样本记为y1,y2,2,x23，其平均数记为x，方差记

2,y27，其平均数记为y，方差记为sy；把总样本

数据的平均数记为z，方差记为s2.

2721232sxzyz根据方差的定义，总样本方差为j，为了与i50i1j122721232x,y联系，变形为sxixxzyjyyz，计算后可得

50i1j122xxxz0，2yii12327jj1yyz0.这样变形后可计算出s2．这也就

是估计值．

跟踪训练二

1．【答案】平均数为52.68分，标准差为10.37.

【解析】 把专业人士打分样本记为x1，x2，…，x8，其平均数记为x，方差记为s2x；把观众代表打分样本记为y1，y2，…，y12，其平均数为y，方差记为

2

s2y；把总体数据的平均数记为z，方差记为s.

则总样本平均数为：z＝

812

×47.4＋×56.2＝52.68(分)， 2020

12

182

总样本方差为：s＝[ (xi－z)]＋ (yj－z)2]

20i＝1

j＝1

2

＝

1222{8[s2x＋(x－z)]＋12[sy＋(y－z)]} 20

1

{8[3.72＋(47.4－52.68)2]＋12[11.82＋(56.2－52.68)2]}＝107.6， 20

＝

总样本标准差s＝10.37.

所以计算这名选手得分的平均数为52.68分，标准差为10.37. 当堂检测 1-3. CDD 4. 96. 5．【答案】(1)见解析，(2) 甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．. 【解析】(1)甲、乙两人的射击成绩统计表如下：

环数 甲命中次数 乙命中次数 6 0 0 7 0 1 8 2 0 9 2 3 10 2 2 1

(2)x甲＝×(8×2＋9×2＋10×2)＝9(环)，

6

x乙＝×(7×1＋9×3＋10×2)＝9(环)，

12222

s＝×[(8－9)×2＋(9－9)×2＋(10－9)×2]＝，

63

2

甲

222

s2乙＝×[(7－9)＋(9－9)×3＋(10－9)×2]＝1，

1

6

16

2

因为x甲＝x乙，s2甲所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．

《9.2.4 总体离散程度的估计》课后作业

基础巩固

1．对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，

n)，其中C≠0，则下列结论正确的是( )

A．平均数与方差均不变 B．平均数变，方差保持不变 C．平均数不变，方差变 D．平均数与方差均发生变化

2．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm的零件，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列选项中不能从图中数据直接比较大小的是（ ）

A．极差 B．方差 C．平均数 D．众数

3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：

9.48.49.49.99.69.49.7

去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A．9.4，C．

，

B．9.4，D．

，

4．如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为xA和xB，方差分别为sA和sB，则（ ）

22

22A．xAxB，sAsB

2222B．xAxB，sAsB C．xAxB，sAsB

22D．xAxB，sAsB

5．对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如条形图所示.

s1,s2,s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有（ ）

A．s2s1s3 B．s1s3s2

C．s3s1s2

D．s3s2s1

6．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____. 7．已知一组数据x1,x2,,x6的方差是2，并且

x11x2122x6118，x0，则x______.

28．某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1，2，3，4，5，6的队员进行实弹射击比赛，每人射击1次，击中的环数如表：

甲队 乙队

若选择一个队伍参加比赛，应该选择哪一个队？

能力提升

1号 6 6 2号 7 7 3号 7 6 4号 8 7 5号 7 9 6号 7 7 PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.59．

日均值（单位：μg/m3）的折线图，则下列说法错误的是（ ）

A．这10天中PM2.5日均值的众数为33 B．这10天中PM2.5日均值的中位数是32 C．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数

D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差

10．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .

11．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享单车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了

10名用户，得到用户的满意度评分分别为92，84，86，78，，74，83，77，.

（1）计算样本的平均数x和方差s2；

（2）在（1）条件下，若用户的满意度评分在（xs，xs）之间，则满意度等级为“A级”.试估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比.

参考数据：305.48，335.74，355.92.

素养达成

12．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答，某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题成绩随机编号为001，002，…，900.若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中选择A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差.

《9.2.4 总体离散程度的估计》课后作业答案解析

基础巩固

1．对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，

n)，其中C≠0，则下列结论正确的是( )

A．平均数与方差均不变 B．平均数变，方差保持不变 C．平均数不变，方差变 D．平均数与方差均发生变化 【答案】B

【解析】由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变．故选B.

2．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm的零件，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列选项中不能从图中数据直接比较大小的是（ ）

A．极差 【答案】C

B．方差 C．平均数 D．众数

【解析】由于极差反映所有数据中最大值与最小值的差的大小， 方差反映所有数据的波动大小， 平均数反映所有数据的平均值的大小， 众数反映所有数据中出现次数最多的数的大小， 因此由图可知不能从图中数据直接比较平均数的大小. 故选:C

3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：

9.48.49.49.99.69.49.7

去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均值和方差分别为（ ） A．9.4，C．

，

B．9.4，D．

，

【答案】D

【解析】去掉一个最高分和一个最低分后的得分为9.4,9.4,9.6,9.4,9.7，所以平均值x9.49.49.69.49.79.5，方差

5(9.49.5)2(9.49.5)2(9.69.5)2(9.49.5)2(9.79.5)2D0.016，故选D

．如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为xA和xB，方差分别为sA和sB，则

22（ ）

22A．xAxB，sAsB

2222B．xAxB，sAsB C．xAxB，sAsB

【答案】C

22D．xAxB，sAsB

【解析】观察题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，即xAxB；

显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动，所以小王成绩的方

22差大于小张成绩的方差，即sAsB.

故选：C.

5．对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如条形图所示.

s1,s2,s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有（ ）

A．s2s1s3 B．s1s3s2 【答案】C 【解析】由题，得 甲厂的平均数x115758595108.5， 20C．s3s1s2 D．s3s2s1

2方差s112222578.5588.5598.55108.51.25， 20标准差s11.25； 乙厂的平均数x2方差

2s214768694108.5， 2012222478.5688.5698.54108.51.05，

20标准差s21.05； 丙厂的平均数x13206748496108.5， 方差

s21320678.52488.52498.526108.521.45，标准差s31.45. 所以s3s1s2. 故选：C 6．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.

【答案】53.

【解析】由题意，该组数据的平均数为678891068，

所以该组数据的方差是

16[(68)2(78)2(88)2(88)2(98)2(108)2]53. 7．已知一组数据x1,x2,,x6的方差是2，并且

x211x212x26118，x0，则x______.

【答案】2

【解析】由题意结合方差的定义有：

x1x2x2x2x26x12 ①，

而x12x22121x6118， ②，

①-②有：6x262xx1x2x62x1x2x66， ③，

注意到x1x2x66x，将其代入③式整理可得：6x212x0，

又x0，故x2. 故答案为2．

8．某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1，2，3，4，5，6的队员进行实弹射击比赛，每人射击1次，击中的环数如表：

甲队 乙队 1号 6 6 2号 7 7 3号 7 6 4号 8 7 5号 7 9 6号 7 7 若选择一个队伍参加比赛，应该选择哪一个队？ 【答案】派甲队参加比赛.

【解析】甲、乙两队环数的平均数均为7.

11221001200； 甲组数据的方差s甲36122210102201. 乙组数据的方差经s乙6所以甲、乙两队的平均水平相同，但甲队更稳定. 所以派甲队参加比赛.

能力提升

PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.59．

日均值（单位：μg/m3）的折线图，则下列说法错误的是（ ）

A．这10天中PM2.5日均值的众数为33

B．这10天中PM2.5日均值的中位数是32 C．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数

D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差 【答案】C

【解析】由折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，中位数为

313332，中位数小于平均数；前4天的数据波动比后4天的波动大，故前42天的方差大于后4天的方差.

故选：C

10．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .

【答案】10

【解析】设样本数据为：x1,x2,x3,x4,x5x1x2x3x4x557

s2x17x17222x57542x5720,x1x2x3x4x535

若样本数据中的最大值为11，不妨设x511，由于样本数据互不相同，与

x172x5720这是不可能成立的，若样本数据为4，6，7，8，10，

2代入验证知两式均成立，此时样本数据中的最大值为 10

11．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享单车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了10名用户，得到用户的满意度评分分别为92，84，86，78，，74，83，77，.

（1）计算样本的平均数x和方差s2；

（2）在（1）条件下，若用户的满意度评分在（xs，xs）之间，则满意度等级为“A级”.试估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比.

参考数据：305.48，335.74，355.92. 【答案】（1）x83，s233

（2）50%

【解析】（1）由题意知,

x1928486787483787783， 10s21222222292838483868378838374838383 102227883778383所以x83，s233.

33. 2由1知，用户的满意度评分在83级”,

33,8333之间时，满意度为“A即用户的满意度评分在77.26,88.74之间时, 满意度为“A级”， 因为调查的10名用户评分数据中，在77.26,88.74内共有5名， 所以该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为

5100%50%. 10 素养达成

12．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答，某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题成绩随机编号为001，002，…，900.若采用分层随机抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中选择A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.试用样本估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差.

【答案】平均数约为7.2，方差约为3.56

【解析】设样本中选择A题目的成绩的平均数为x，方差为s2； 样本中选择B题目的成绩的平均数为y，方差为t2， 则x7,s24,y8,t21，

所以样本的平均数为方差为

8x2y87287.2， 821021821162228s2txy8421783.56. 82821010故该校900名学生的选做题得分的平均数约为7.2，方差约为3.56.