26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
1．理解反比例函数的概念；(难点)
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点)
一、情境导入
1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？
2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？
问题：这些关系式有什么共同点？ 二、合作探究
探究点一：反比例函数的定义 【类型一】 反比例函数的识别 下列函数中：①y＝
1－23x
；②3xy＝1；③y＝；④y＝.反比例函数有( ) 2xx2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：①y＝31
是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝，是反比例函数，正确；2x3x
1－2x
③y＝是反比例函数，正确；④y＝是正比例函数，错误．故选C.
x2
方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，k－
然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝(k为常数，k≠0)，y＝kx1(k为常数，k
x≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 根据反比例函数的定义确定字母的值 已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．
解析：由反比例函数的定义可得 2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．
22m＋3m－3＝－1，22
解：∵y＝(2m＋m－1)x2m＋3m－3是反比例函数，∴2解得m＝－
2m＋m－1≠0，
2.
方法总结：反比例函数也可以写成y＝kx1(k≠0)的形式，注意x的次数为－1，系数不
等于0.
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式 【类型一】 确定反比例函数解析式 已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求： (1)y与x之间的函数解析式； (2)当y＝2时，x的值． 解析：(1)由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x的值即可．
－
k
解：(1)∵变量y与x成反比例，∴设y＝(k≠0)，∵当x＝2时，y＝－6，∴k＝2×(－
x12
6)＝－12，∴y与x之间的函数解析式是y＝－；
x
12
(2)当y＝2时，y＝－＝2，解得x＝－6.
x
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例k
函数解析式，形如y＝(k为常数，k≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析
x式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 解决与正比例函数和反比例函数有关的问题 已知y＝y1＋y2，y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，当x＝0时，y＝－3；
当x＝1时，y＝－1.求：
(1)y关于x的关系式；
1
(2)当x＝－时，y的值．
2
解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到y1，y2的关系式，进而得到y的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．
k2
解：(1)∵y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，∴设y1＝k1(x－1)(k1≠0)，y2＝
x＋1k2(k2≠0)，∵y＝y1＋y2，∴y＝k1(x－1)＋.当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1，∴
x＋1－3＝－k1＋k2，2∴k1＝1，k2＝－2，∴y＝x－1－； 1x＋1－1＝2k2，
111
(2)把x＝－代入(1)中函数关系式得y＝－. 22
方法总结：能根据题意设出y1，y2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此
题的关键．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第8题 探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题
写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数． (1)底边为3cm的三角形的面积ycm2随底边上的高xcm的变化而变化；
(2)一艘轮船从相距skm的甲地驶往乙地，轮船的速度vkm/h与航行时间th的关系； (3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长ym随检修天数x的变化而变化．
解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数．
3
解：(1)两个变量之间的函数表达式为：y＝x，不是反比例函数；
2s
(2)两个变量之间的函数表达式为：v＝，是反比例函数；
t
(3)两个变量之间的函数表达式为：y＝100－10x，不是反比例函数．
方法总结：解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据解析式的特点判断是什么函数．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计
1．反比例函数的定义：
k
形如y＝(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数．其中x是自变量，自变量x的取值
x范围是不等于0的一切实数．
2．反比例函数的形式：
k
(1)y＝(k为常数，k≠0)；
x
(2)xy＝k(k为常数，k≠0)；
－
(3)y＝kx1(k为常数，k≠0)．
3．确定反比例函数的解析式：待定系数法． 4．建立反比例函数模型．
让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
1．会用描点的方法画反比例函数的图象；(重点)
2．理解反比例函数图象的性质．(重点，难点)
一、情境导入
已知某面粉厂加工出了4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市．则所需要的时间t(天)和每天运出的面粉总重量m(吨)之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中画出这个图形吗？
二、合作探究
探究点一： 反比例函数的图象 【类型一】 反比例函数图象的画法 4
作函数y＝的图象．
x
解析：根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可． 解：列表：
x y 描点、连线：
－4 －1 －2 －2 －1 －4 1 4 2 2 4 1
方法总结：作图的一般步骤为：①列表；②描点；③连线；④注明函数解析式． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 反比例函数与一次函数图象位置的确定 k
在同一坐标系中(水平方向是x轴)，函数y＝和y＝kx＋3的图象大致是( )
x
k
解析：A.由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＞0且过点(0，3)一致，故
xk
A选项正确；B.由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＞0且过点(0，3)矛盾，
xk
故B选项错误；C.由函数y＝的图象可知k＜0与y＝kx＋3的图象中k＜0且过点(0，3)矛
xk
盾，故C选项错误；D.由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx＋3的图象中k＜0且过点(0，
x3)矛盾，故D选项错误．故选A.
方法总结：解答此类问题时，通常先根据双曲线图象所在的象限确定k的符号，再确定
一次函数的系数及经过的点是否也符合图案，如果符合，可能正确；如果不符合，一定错误．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升” 第2题 【类型三】 实际问题中函数图象的确定 若按xL/min的速度向容积为20L的水池中注水，注满水池需ymin.则所需时间ymin
与注水速度xL/min之间的函数关系用图象大致可表示为( )
20
解析：∵水池的容积为20L，∴xy＝20，∴y＝(x＞0)，故选B.
x
方法总结：解答此类问题要先根据题意列出反比例函数关系式，然后依据实际情况确定函数自变量的取值范围，从而确定函数图象．
【类型四】 反比例函数图象的对称性 k
若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另
x
一个交点坐标为( )
A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(－2，1)
k
解析：∵正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝的图象均关于原点对称，∴两函数的交
x点也关于原点对称．∵一个交点的坐标是(－1，2)，∴另一个交点的坐标是(1，－2)．故选B.
k
方法总结：反比例函数y＝(k≠0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是
x一、三(或二、四)象限角平分线所在的直线，对称中心是坐标原点．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题 探究点二：反比例函数的性质
【类型一】 根据解析式判定反比例函数的性质 2
已知反比例函数y＝－，下列结论不正确的是( )
x
A．图象必经过点(－1，2) B．y随x的增大而增大
C．图象分布在第二、四象限 D．若x＞1，则－2＜y＜0
解析：A.(－1，2)满足函数解析式，则图象必经过点(－1，2)，命题正确；B.在第二、四象限内y随x的增大而增大，忽略了x的取值范围，命题错误；C.命题正确；D.根据y＝2
－的图象可知，在第四象限内命题正确．故选B. x
方法总结：解答此类问题要熟记反比例函数图象的性质． 变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第1题
【类型二】 根据反比例函数的性质判定系数的取值范围
1－k
在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是
x
( )
A．－1 B．3 C．1 D．2
1－k
解析：∵反比例函数y＝的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而减小，∴1－k
x＞0，解得k＜1.故选A.
k
方法总结：对于函数y＝，当k＞0时，其图象在第一、三象限，在每个象限内y随x
x的增大而减小；当k＜0时，在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，熟记这些性质在解题时能事半功倍．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第4题 三、板书设计
1．反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形． 2．反比例函数的性质：
(1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．
通过引导学生自主探索反比例函数的性质，全班学生都能主动地观察与讨论，实现了在学习中让学生自己动手、主动探索、合作交流的目的．同时通过练习让学生理解“在每个象限内”这句话的必要性，体会数学的严谨性.
第2课时 反比例函数的图象和性质的综合运用
1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；(重点)
2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；(重点)
3．探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用．(难点)
一、情境导入
k
如图所示，对于反比例函数y＝(k>0)，在其图象上任取一点P，过P点作PQ⊥x
x轴于Q点，并连接OP.
k
试着猜想△OPQ的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y＝(k≠0)中k
x值的几何意义．
二、合作探究
探究点一：反比例函数解析式中k的几何意义
k
如图所示，点A在反比例函数y＝的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的
x
面积为2，求该反比例函数的表达式．
解析：先设点A的坐标，然后用点A的坐标表示△AOC的面积，进而求出k的值．
k1
解：∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴xA·yA＝k，∴S△AOC＝·k＝2，∴k＝4，
x24
∴反比例函数的表达式为y＝. x
方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k|的一半．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第1题 探究点二：反比例函数的图象和性质的综合运用 【类型一】 利用反比例函数的性质比较大小
k
若M(－4，y1)、N(－2，y2)、P(2，y3)三点都在函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，
x
y2，y3的大小关系为( )
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
解析：∵k＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随xk
的增大而增大．∵M(－4，y1)、N(－2，y2)是双曲线y＝(k＜0)上的两点，∴y2>y1>0.∵2＞0，
xP(2，y3)在第四象限，∴y3＜0.故y1，y2，y3的大小关系为y2＞y1＞y3.故选B.
k
方法总结：反比例函数的解析式是y＝(k≠0)，当k＜0时，图象在第二、四象限，且
x在每个现象内y随x的增大而增大；当k＞0，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第8题 【类型二】 利用反比例函数计算图形的面积
k
如图，直线l和双曲线y＝(k＞0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B
x
重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积是S1，△BOD的面积是S2，△POE的面积是S3，则( )
A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＝S2＞S3 D．S1＝S2＜S3
k11
解析：如图，∵点A与点B在双曲线y＝上，∴S1＝k，S2＝k，S1＝S2.∵点P在双曲
x221
线的上方，∴S3＞k，∴S1＝S2＜S3.故选D.
2
方法总结：在反比例函数的图象上任选一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原|k|
点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
2
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升” 第2题 【类型三】 反比例函数与一次函数的交点问题 1－k
函数y＝的图象与直线y＝－x没有交点，那么k的取值范围是( )
xA．k＞1 B．k＜1 C．k＞－1 D．k＜－1
1－k
解析：直线y＝－x经过第二、四象限，要使两个函数没有交点，那么函数y＝的图x象必须位于第一、三象限，则1－k＞0，即k＜1.故选B.
k2方法总结：判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数xk2可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝有2个交点；②当
xk2k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝没有交点．
x
【类型四】 反比例函数与一次函数的综合问题
1m
如图，已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(m＜0)
2x
图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(2)求一次函数解析式及m的值；
(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标．
解析：(1)观察函数图象得到当－4＜x＜－1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；m(2)先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后把A点或B点坐标代入y＝可计算出m的
x值；(3)设出P点坐标，利用△PCA与△PDB的面积相等列方程求解，从而可确定P点坐标．
解：(1)当－4＜x＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值；
1k＝，2－4k＋b＝，12解得(2)把A(－4，)，B(－1，2)代入y＝kx＋b中得5所以一次函2
－k＋b＝2，b＝2，15m
数解析式为y＝x＋，把B(－1，2)代入y＝中得m＝－1×2＝－2；
22x
15111
(3)设P点坐标为(t，t＋)，∵△PCA和△PDB的面积相等，∴××(t＋4)＝×1×
2222215555
(2－t－)，即得t＝－，∴P点坐标为(－，)．
22224
方法总结：解决问题的关键是明确反比例函数与一次函数图象的交点坐标所包含的信息．本题也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计
1．反比例函数中系数k的几何意义； 2．反比例函数图象上点的坐标特征； 3．反比例函数与一次函数的交点问题．
本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力．数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口．在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力.
1
26.2 实际问题与反比例函数
第1课时 实际问题中的反比例函数
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点) 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．(难点)
一、情境导入
小明和小华相约早晨一起骑自行车从A镇出发前往相距20km的B镇游玩，在返回时，小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回A镇．
假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车速度．你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？
二、合作探究
探究点：实际问题与反比例函数
【类型一】 反比例函数在路程问题中的应用 王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，
所需时间为t分钟．
(1)速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
(2)若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
(3)如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？
解析：(1)根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；(2)把t＝15代入函数的解析式，即可求得速度；(3)把v＝300代入函数解析式，即可求得时间．
3600
解：(1)速度v与时间t之间是反比例函数关系，由题意可得v＝；
t
3600
(2)把t＝15代入函数解析式，得v＝＝240.故他骑车的平均速度是240米/分；
153600
(3)把v＝300代入函数解析式得＝300，解得t＝12.故他至少需要12分钟到达单位．
t方法总结：解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 反比例函数在工程问题中的应用 在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)
与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示．
(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？
解析：(1)将点(24，50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除以工作时间即可得到工作效率．
k
解：(1)设y＝.∵点(24，50)在其图象上，∴k＝24×50＝1200，所求函数表达式为y＝
x1200
； x
(2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)；
(3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m.
方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型三】 利用反比例函数解决利润问题 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元)与销售量
y(张)之间有如下关系：
x(元) y(张) 3 20 4 15 5 12 6 10 (1)猜测并确定y与x的函数关系式； (2)当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？
(3)设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．
解析：(1)要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入x＝10求得y的值即可；(3)首先要知道纯利润＝(日销售单价x－2)×日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x.
k
解：(1)从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设y＝(k为常数，k≠0)，把点(3，
x60
20)代入得k＝60，∴y＝；
x
60
(2)当x＝10时，y＝＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张；
10120120
(3)∵W＝(x－2)y＝60－，又∵x≤10，∴当x＝10时，W取最大值，W最大＝60－
x10＝48(元)．
方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型四】 反比例函数的综合应用 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热
开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14℃.
(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
解析：(1)首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2)168
把y＝12代入y＝4x＋4得x＝2，代入y＝得x＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时
x间为14－2＝12(分钟)．
k1k1解：(1)设加热停止后反比例函数表达式为y＝，∵y＝过(12，14)，得k1＝12×14＝
xx168168
168，则y＝；当y＝28时，28＝，解得x＝6.设加热过程中一次函数表达式为y＝k2x
xx
b＝4，k2＝4，
＋b，由图象知y＝k2x＋b过点(0，4)与(6，28)，∴解得∴y＝
6k＋b＝28，b＝4，2
4＋4x（0≤x≤6），
168
（x＞6）；x
168
(2)当y＝12时，y＝4x＋4，解得x＝2.由y＝，解得x＝14，所以对该材料进行特殊
x处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．
方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第4题 三、板书设计
1．反比例函数在路程问题中的应用； 2．反比例函数在工程问题中的应用； 3．利用反比例函数解决利润问题； 4．反比例函数与一次函数的综合应用．
本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.
第2课时 其他学科中的反比例函数
1．能够从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型；(重点)
2．从实际问题中寻找变量之间的关系，利用所学知识分析物理等其他学科的问题，建立函数模型解决实际问题．(难点)
一、情境导入
问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成任务．
问题思考：
(1)请你解释他们这样做的道理；
(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p (Pa)将如何变化？
二、合作探究
探究点：反比例函数在其他学科中的应用
【类型一】 反比例函数与电压、电流和电阻的综合 已知某电路的电压U(V)，电流I(A)和电阻R(Ω)三者之间有关系式为U＝IR，且
电路的电压U恒为6V.
(1)求出电流I关于电阻R的函数表达式；
(2)如果接入该电路的电阻为25Ω，则通过它的电流是多少？
(3)如图，怎样调整电阻箱R的阻值，可以使电路中的电流I增大？若电流I＝0.4A，求电阻R的值．
U
解析：(1)根据电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，设出I＝(R≠0)后把U＝6V代入
R求得表达式即可；(2)将R＝25Ω代入上题求得的函数关系式即可得电流的值；(3)根据两个变量成反比例函数关系确定答案，然后代入0.4A求得R的值即可．
U
解：(1)∵某电路的电压U(V)，电流I(A)和电阻R(Ω)三者之间有关系式U＝IR，∴I＝，
R66
代入U＝6V得I＝，∴电流I关于电阻R的函数表达式是I＝；
RR
6
(2)∵当R＝25Ω时，I＝＝0.24A，∴电路的电阻为25Ω时，通过它的电流是0.24A；
256
(3)∵I＝，∴电流与电阻成反比例函数关系，∴要使电路中的电流I增大可以减小电
R
6
阻．当I＝0.4A时，0.4＝，解得R＝15Ω.
R
方法总结：明确电压、电流和电阻的关系是解决问题的关键． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 反比例函数与气体压强的综合 某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压p(kPa)是气
体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求出这个函数的解析式；
(2)当容器内的气体体积是0.6m3时，此时容器内的气压是多少千帕？
(3)当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不小于多少m3?
解析：(1)设出反比例函数关系式，根据图象给出的点确定关系式；(2)把V＝0.6m3代入函数关系式，求出p的值即可；(3)因为当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，可列出不等式求解．
kk
解：(1)设这个函数的表达式为p＝.根据图象可知其经过点(2，60)，得60＝，解得k
V2120
＝120.则p＝；
V
120
(2)当V＝0.6m3时，p＝＝200(kPa)；
0.6
1201
(3)当p≤240kPa时，得≤240，解得V≥.所以为了安全起见，容器的体积应不小于
V213
m. 2
方法总结：根据反比例函数图象确定函数关系式以及知道变量的值求函数值或知道函数值的范围求自变量的范围是解决问题的关键．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升” 第5题 【类型三】 反比例函数与杠杆知识的综合 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆原理”，小明利用此
原理，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N和0.5m.
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？
(2)若想使动力F不超过(1)题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
解析：(1)根据“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”，可得出F与l的函数关系式，将l＝1.5m代入可求出F；(2)根据(1)的答案，可得F≤200，解出l的最小值，即可得出动力臂至少要加长多少．
600600
解：(1)Fl＝1200×0.5＝600N·m，则F＝.当l＝1.5m时，F＝＝400N；
l1.5
600
(2)由题意得，F＝≤200，解得l≥3m，故至少要加长1.5m.
l
方法总结：明确“动力×动力臂＝阻力×阻力臂”是解题的关键． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型四】 反比例函数与功率知识的综合 某汽车的输出功率P为一定值，汽车行驶时的速度v(m/s)与它所受的牵引力F(N)
之间的函数关系如下图所示：
(1)这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； (2)当它所受牵引力为2400N时，汽车的速度为多少？
(3)如果限定汽车的速度不超过30m/s，则F在什么范围内？
P
解析：(1)设v与F之间的函数关系式为v＝ ，把(3000，20)代入即可；(2)当F＝1200N
F时，求出v即可；(3)计算出v＝30m/s时的F值，F不小于这个值即可．
PP
解：(1)设v与F之间的函数关系式为v＝，把(3000，20)代入v＝，得P＝60000，∴
FF60000
这辆汽车的功率是60000W.这一函数的表达式为v＝；
F
6000060000
(2)将F＝2400N代入v＝，得v＝＝25(m/s)，∴汽车的速度v＝3600×25÷1000
F2400＝90(km/h)；
60000
(3)把v≤30代入v＝，得F≥2000(N)，∴F≥2000N.
F方法总结：熟练掌握功率的计算公式是解决问题的关键． 三、板书设计
1．反比例函数与电压、电流和电阻的综合； 2．反比例函数与气体压强的综合； 3．反比例函数与杠杆知识的综合； 4．反比例函数与功率知识的综合．
本节是在上一节的基础上，进一步学习与反比例函数有关的涉及其他学科的知识．尽量选用学生熟悉的实例进行教学，使学生从身边事物入手，真正体会数学知识来源于生活．注意要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的活动时间，不断引导学生利用数学知识解决实际问题.
第二十七章 相似
27.1 图形的相似
1．从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似；(重点) 2．理解成比例线段的概念，会确定线段的比．(难点)
一、情境导入
如图是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的．由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状(包括地图中所描绘的各个部分)肯定是相同的．
日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形．像这样的图形有哪些性质？下面我们就一起探讨一下吧！
二、合作探究
探究点一：相似图形
观察下面图形，指出(1)～(9)中的图形有没有与给出的图形(a)、(b)、(c)形状相同
的？
解析：通过观察寻找与(a)，(b)，(c)形状相同的图形，在所给的9个图形中仔细观察，然后作出判断．
解：通过观察可以发现：图形(4)、(8)与图形(a)形状相同；图形(6)与图形(b)形状相同；图形(5)与图形(c)形状相同．
方法总结：判断两个图形的形状是否相同，应仔细观察，当两个图形的形状除了大小没有其他任何差异时，我们才可以说这两个图形形状相同． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第1题
探究点二：比例线段
【类型一】 判断四条线段是否成比例 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A．4cm，2cm，1cm，3cm B．1cm，2cm，3cm，5cm C．3cm，4cm，5cm，6cm
D．1cm，2cm，2cm，4cm
解析：选项A.从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；选项B.从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；选项C.从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；选项D.从小到大排列，由于1×4＝2×2，所以成比例，符合题意．故选D.
方法总结：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用成比例线段的定义，求线段的长 已知线段a、b、c、d是成比例线段，其中a＝2m，b＝4m，c＝5m，则d＝( )
58
A．1m B．10m C.m D.m
25
解析：∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴a∶b＝c∶d，而a＝2m，b＝4m，c＝5m，b·c4×5
∴d＝＝＝10(m)．故选B.
a2
方法总结：求线段之比时，要先统一线段的长度单位，然后根据比例关系求值． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】 利用比例尺求距离 若一张地图的比例尺是1∶150000，在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，则
甲、乙两地的实际距离是( )
A．3000m B．3500m C．5000m D．7500m 解析：设甲、乙两地的实际距离是xcm，根据题意得1∶150000＝5∶x，x＝750000(cm)，750000cm＝7500m.故选D.
方法总结：比例尺＝图上距离∶实际距离．根据比例尺进行计算时，要注意单位的转换． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第5题 探究点三：相似多边形
【类型一】 利用相似多边形的性质求线段和角 如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a、b的
长度及角α的值．
解析：根据相似多边形对应角相等和对应边成比例解答．
解：因为四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，所以∠B′＝∠B＝63°，∠D′＝∠D，ADABBC4a4.5
＝＝，所以＝＝，所以a＝5，b＝18.在四边形A′B′C′D′中，∠
1620bA′D′A′B′B′C′
D′＝360°－(84°＋75°＋63°)＝138°.∠α＝∠D＝∠D′＝138°.
方法总结：若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 相似多边形的判定 如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板ABCD如图所示，镶在其外围的木质边框
宽75cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗？为什么？
解析：两个矩形的四个角虽然相等，但四条边不一定对应成比例，判定两个矩形是否相似，关键是看对应边是否成比例．
解：不相似．∵矩形ABCD中，AB＝1.5m，AD＝3m，镶在其外围的木质边框宽75cmAB1.51AD32
＝0.75m，∴EF＝1.5＋2×0.75＝3m，EH＝3＋2×0.75＝4.5m，∴＝＝，＝＝.
EF32EH4.5312
∵≠，∴内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH不相似． 23
方法总结：判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成比例，这两个条件缺一不可．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第10题 三、板书设计
1．相似图形的概念； 2．比例线段；
3．相似多边形的判定和性质．
本节课中对相似多边形的特征的教学要注意难度的把握，不要过高要求学生掌握更多的内容．学生能了解性质，并能简单运用即可，重要的还是后续的相似三角形的学习，当相似三角形的特征掌握之后，再进一步研究相似多边形的性质，学生就比较容易掌握.
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
1．了解相似比的定义；(重点) 2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点) 3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)
一、情境导入
如图，在△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似．
二、合作探究
探究点一：相似三角形的有关概念
如图所示，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求： (1)△OAC和△OBD的相似比； (2)BD的长．
解析：(1)由△OAC∽△OBD及∠C＝∠D，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD的长．
解：(1)∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D，∴线段OA与线段OB是对应边，则△OAC与OA42
△OBD的相似比为＝＝；
OB21
AC·OB2×2ACOA
(2)∵△OAC∽△OBD，∴＝，∴BD＝＝＝1.
BDOBOA4
方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第1题 探究点二：平行线分线段成比例定理
【类型一】 平行线分线段成比例的基本事实 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，直线
l4、l5交于点O，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.
CB
(1)求的值；
AB(2)求AB的长．
CBEFEFBC5
解析：(1)根据l1∥l2∥l3推出＝；(2)根据l1∥l2∥l3，推出＝＝，代入AC
ABDEDFAC8＝24求出BC即可求出AB.
CBEFCB5
解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴＝.又∵DF∶DF＝5∶8，∴EF∶DE＝5∶3，∴＝；
ABDEAB3EFBC5
(2)∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8，AC＝24，∴＝＝，∴BC＝15，∴AB＝AC－BC
DFAC8＝24－15＝9.
方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第3题
【类型二】 平行线分线段成比例的基本事实的推论 如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝5，AC＝5，求AE的长．
ADAE
解析：根据DE∥BC得到＝，然后根据比例的性质可计算出AE的长．
ABACADAE2AE10
解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝.
ABAC72＋55
方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第4题 探究点三：相似三角形的引理
【类型一】 利用相似三角形的引理判定三角形相似 如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，
请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．
解析：由平行四边形的性质可得：BC∥AD，AB∥CD，进而可得△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，再进一步求解即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD，∴△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，∴△DFC∽△EDA，∵AB＝3BE，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.
方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第5题 【类型二】 利用相似三角形的引理求线段的长 如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O. (1)如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长；
(2)如果BO∶OE∶EC＝2∶4∶3，AB＝3，求CD的长．
解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF＝6，则AD＝AF＋FD＝8；(2)根据平行线AB∥CD分线段成比例知BO∶OE＝AB∶EF，结合已知条件求得EF＝6；同理由EF∥CD推知EF与CD之间的数量关系，从而求得CD＝10.5.
FOEOFOAF
解：(1)∵CE＝3，EB＝9，∴BC＝CE＋EB＝12.∵AB∥EF，∴＝，则＝.又
AFEBEOEBFOEOFOFDAFFDAF2
∵EF∥CD，∴＝，则＝，∴＝，即＝，∴AF＝6，∴AD＝AF＋FD＝
FDECEOECEBEC936＋2＝8，即AD的长是8；
(2)∵AB∥CD，∴BO∶OE＝AB∶EF.又∵BO∶OE＝2∶4，AB＝3，∴EF＝6.∵EF∥CD，
∴
OEEFOE4EF47
＝.又∵OE∶EC＝4∶3，∴＝，∴＝，∴CD＝EF＝10.5，即CD的长是OCCDOC7CD74
10.5.
方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第6题 三、板书设计
1．相似三角形的定义及有关概念； 2．平行线分线段成比例定理及推论； 3．相似三角形的引理．
本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 三边成比例的两个三角形相似
1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)
2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．
一、情境导入
我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？
在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？
二、合作探究
探究点：三边对应成比例的两个三角形相似 【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF
＝3，EF＝4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？
解析：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．
解：△ABC∽△EDF.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∠C＝90°，由勾股定理得AC＝AB2－BC2＝102－62＝8.在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∠F＝90°，由勾股定理得
BC6AC8AB10
ED＝DF2＋EF2＝32＋42＝5.在△ABC和△EDF中，＝＝2，＝＝2，＝＝2，
DF3EF4ED5BCACAB
所以＝＝，所以△ABC∽△EDF.
DFEFED
方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第2题
【类型二】 网格中的相似三角形 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，
判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
ABACBC
解析：首先由勾股定理，求得△ABC和△DEF的各边的长，即可得＝＝，然
DEDFEF后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC和△DEF相似．
解：△ABC和△DEF相似．由勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，DE＝4，DFABACBC255
＝2，EF＝25，∵＝＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.
DEDFEF42
方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第8题 【类型三】 利用相似三角形证明角相等 如图，已知
ABBCAC
＝＝，找出图中相等的角，并说明你的理由． ADDEAE
ABBCAC
解析：由＝＝，证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形对应角相等求解．
ADDEAE解：在△ABC和△ADE中，∵
ABBCAC
＝＝，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC ＝∠DAE，ADDEAE
∠B＝∠D，∠C＝∠E.
方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到． 变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型四】 利用相似三角形的判定证明线段的平行关系 如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB＝14千米，AD＝28千
米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由．
解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．
解：公路AB与CD平行．∵
AB142AD282BD212
＝＝，＝＝，＝＝，∴△ABD∽△BDC，BD213BC423DC31.53
∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC.
方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法．
【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题 要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm，
60cm，80cm，另一个三角形教具的一边长为20cm，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．
解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．
解：①当长为20cm的边长的对应边为50cm时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm，24cm，32cm；②当长为20cm的边长的对应边为60cm时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具5080
的三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：cm，20cm，33cm；③当长为20cm的边长的对应边为80cm时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的
三边长分别是50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm，15cm，20cm.∴有三种解决方案．
方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计
1．三角形相似的判定定理：
三边对应成比例的两个三角形相似； 2．利用相似三角形的判定解决问题．
因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)
2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)
一、情境导入
利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？
二、合作探究
探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 【类型一】 直接利用判定定理判定两个三角形相似 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，
CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.
解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB∶AB的值，再计算出EB∶BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE.
证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝BC2＋AC2＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.
方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第2题 【类型二】 添加条件使三角形相似 如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，
AD＝6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似．
APADAP6
解析：当△ADP∽△ACB时，＝，∴＝，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，
ABAC128ADAP6AP
＝，∴＝，解得AP＝4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故ABAC128答案为4或9.
方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型三】 利用三角形相似证明等积式 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的
延长线于F.求证：AC·CF＝BC·DF.
ADACAD
解析：先证明△ADC∽△CDB可得＝，再结合条件证明△FDC∽△FAD，可得
CDBCCDDF
＝，则可证得结论． CF
证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°，∴∠DAC＝ADAC
∠DCB，且∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝.∵E为BC的中点，CD⊥AB，
CDBC∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE，∵∠EDC＋∠FDA＝∠ECD＋∠ACD，∴∠FCD＝∠FDA，DFADACDF
又∠F＝∠F，∴△FDC∽△FAD，∴＝，∴＝，∴AC·CF＝BC·DF.
CFDCBCCF
方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个
三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式．
【类型四】 利用相似三角形的判定进行计算 如图所示，BC⊥CD于点C，BE⊥DE于点E，BE与CD相交于点A，若AC＝3，
BC＝4，AE＝2，求CD的长．
解析：因为AC＝3，所以只需求出AD即可求出CD.可证明△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝BC2＋AC2＝42＋32＝5.∵BC⊥CD，BE
ABAC53
⊥DE，∴∠C＝∠E，又∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解ADAEAD2101019
得AD＝，∴CD＝AD＋AC＝＋3＝.
333
方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通
过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型五】 利用相似三角形的判定解决动点问题
如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，点P从B出发，沿
BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？
解析：由AC与AB的关系，设出AC＝3xcm，AB＝5xcm，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到AB与AC的长．然后设出动点运动的时间为ts，根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长，由△ABC和△PQC相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，从而得到所有满足题意的时间t的值．
解：由5AC－3AB＝0，得到5AC＝3AB，设AB为5xcm，则AC＝3xcm，在Rt△ABC中，由BC＝8cm，根据勾股定理得25x2＝9x2＋，解得x＝2或x＝－2(舍去)，∴AB＝5x＝10cm，AC＝3x＝6cm.设经过t秒△ABC和△PQC相似，则有BP＝2tcm，PC＝(8－2t)cm，BCAC8632
CQ＝tcm，分两种情况：①当△ABC∽△PQC时，有＝，即＝，解得t＝；②
QCPCt8－2t11当△ABC∽△QPC时，有
ACBC68121232
＝，即＝，解得t＝.综上可知，经过或秒△ABCQCPCt8－2t5511
和△PQC相似．
方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC∽△PQC与△ABC∽△QPC分别列出比例式来解决问题．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计
1．三角形相似的判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 2．应用判定定理解决简单的问题．
本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多煤体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态．采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程．在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想.
27.2.1 相似三角形的判定
第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)
2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)
一、情境导入 与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A和∠A ′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比
ABACBC
，，相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流．
A′B′A′C′B′C′
二、合作探究
探究点：两角分别相等的两个三角形相似
【类型一】 利用判定定理证明两个三角形相似
如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°. (1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．
解析：(1)由题有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．
(1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；
ABBDx3
(2)解：设AB＝x，则DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴＝，∴＝，∴x＝
DCDEx－329.即等边△ABC的边长为9.
方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 添加条件证明三角形相似
如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添
加一个条件为____________．
解析：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED.同理可得∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAE
△ABC∽△AED.故答案为∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝.
ACAB
方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第3题 【类型三】 相似三角形与圆的综合应用 ADAE
＝可以得出ACAB
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，交AE于点G，弦
CE交AB于点F，求证：AC2＝AG·AE.
解析：延长CG，交⊙O于点M，连接AM，根据圆周角定理，可证明∠ACG＝∠E，根据相似三角形的判定定理，可证明△CAG∽△EAC，根据相似三角形对应边成比例，可得出结论．
︵︵
证明：延长CG，交⊙O于点M，连接AM，∵AB⊥CM，∴AC＝AM，∴∠ACG＝∠E，ACAG
又∵∠CAG＝∠EAC，∴△CAG∽△EAC，∴＝，∴AC2＝AG·AE.
AEAC
方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第3题 【类型四】 相似三角形与四边形知识的综合
如图，在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，
且∠BFE＝∠C.若AB＝8，BE＝6，AD＝7，求BF的长．
解析：可通过证明∠BAF＝∠AED，∠AFB＝∠D，证得△ABF∽△EAD，可得出关于AB，AE，AD，BF的比例关系．已知AD，AB的长，只需求出AE的长即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的长，进而求出BF的长．
解：在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.∵BE⊥CD，AB∥CD，BF∴BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴AE＝AB2＋BE2＝82＋62＝10.∵△ABF∽△EAD，∴＝ADABBF8
，∴＝，∴BF＝5.6. AE710
方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型五】 相似三角形与二次函数的综合 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5m，AB＝10m.M点在线段CA上，从C
向A运动，速度为1m/s；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2m/s.运动时间为ts.
(1)当t为何值时，△AMN的面积为6m
2?
(2)当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．
解析：(1)作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，根据△AMN的面积为6m2，得到关于t的方程求得t值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t的二次函数求最值即可．
解：(1)在Rt△ABC中，∵AB2＝BC2＋AC2，∴AC＝53m.如图，作NH⊥AC于H，∴ANNH2tNH
∠NHA＝∠C＝90°，∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA，∴＝，即＝，∴NH
ABBC1051
＝t，∴S△AMN＝ t(53－t)＝6，解得t1＝3，t2＝43(舍去)，故当t为3秒时，△AMN的
2面积为6m2.
11757515327553
(2)S△AMN＝t(53－t)＝－(t2－53t＋)＋＝－(t－)＋，∴当t＝时，S最
22422222
大值
75
＝m2. 2
方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题． 三、板书设计
1．三角形相似的判定定理：
两角分别相等的两个三角形相似； 2．应用判定定理解决简单的问题．
在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.
27.2.2 相似三角形的性质
1．理解相似三角形的性质；(重点)
2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)
一、情境导入 两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？
二、合作探究
探究点一： 相似三角形的性质
【类型一】 利用相似比求三角形的周长和面积 如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交
于F点．
(1)求△BEF与△AFD的周长之比； (2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.
解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解． 解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又∵BEBE＋BF＋EF11BEBFEF1
＝BC，∴＝＝＝，∴△BEF与△AFD的周长之比为＝； 2ADDFAF2AD＋DF＋AF2
S△BEF121
(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为，∴＝()，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝
2S△AFD224cm2.
方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第4、6题 【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比 若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( ) A．1∶2 B.2∶2 C．1∶4 D.2∶1 解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.
方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【类型三】 利用相似三角形的性质和判定进行计算 如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和
△BDE的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．
解析：求AC边上的高，先将高线作出，由△ABC的面积为18，求出AC的长，即可求出AC边上的高． 解：过点B作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE⊥AB，∴Rt△ADBS△BEDDE2BDABBDBE
∽Rt△CEB，∴＝，即＝，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD∽△CBA, ∴＝()
BECBABCBS△BCAAC
81
＝.又∵DE＝3，∴AC＝4.5.∵S△ABC＝AC·BF＝18, ∴BF＝8. 182
方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型四】 利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题 如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D. (1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN；
AE
(2)若S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，求的值．
AD
解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN与四边形PBCN的面积比可得△APN与△ABC的面积比，进而可得其对应边的比．
S△APN
解：(1)因为PN∥BC，所以∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C，△APN∽△ABC，所以＝S△ABC
S△APN121AP
()2.因为AP∶PB＝1∶2，所以AP∶AB＝1∶3.又因为S△ABC＝18，所以＝()＝，所AB9S△ABC3以S△APN＝2；
AP
(2)因为PN∥BC，所以∠APE＝∠B，∠AEP＝∠ADB，所以△APE∽△ABD，所以＝ABS△APN1AE2AES△APNAP2AE2AE1
，＝()＝().因为S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，所以＝＝()，所以＝ADS△ABCABADADS△ABC3AD3＝3
. 3
方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题
如图，已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上(与A、C
不重合)，Q点在BC上．
1
(1)当△PQC的面积是四边形PABQ面积的时，求CP的长；
3(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
1
解析：(1)由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积是四边形PABQ面积的时，3△CPQ与△CAB的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP
的长；(2)由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形PABQ的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长．
1
解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∵S△PQC＝S四边形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶4，
3∵
111
＝，∴CP＝CA＝2； 422
CPCQPQCPCQ35
(2)∵△PQC∽△ABC，∴＝＝，∴＝，∴CQ＝CP.同理可知PQ＝CP，
CACBAB434453
∴C△PCQ＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋CP＋CP＝3CP，C四边形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝(4－CP)
4435117
＋AB＋(3－CQ)＋PQ＝4－CP＋5＋3－CP＋CP＝12－CP，∴12－CP＝3CP，∴CP＝
4422224
12，∴CP＝. 7
方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；
3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.
27.2.3 相似三角形的应用举例
1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；(重点) 2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．(难点)
一、情境导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？
二、合作探究
探究点：相似三角形的应用
【类型一】 利用影子的长度测量物体的高度 如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被
风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长．
BC2
解析：先利用△BDC∽△FGE得到＝，可计算出BC＝6m，然后在Rt△ABC中利
3.61.2用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长．
解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴
BCEFBC2
＝，即＝，∴BC＝6m.在RtCDGE3.61.2
△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m.
方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第1题 【类型二】 利用镜子的反射测量物体的高度 小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放
一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m.当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角＝反射角)．
解析：根据物理知识得到∠BEA＝∠DEC，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．
解：如图，∵根据光的反射定律知∠BEA＝∠DEC，∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAEABAEAB20
∽△DCE，∴＝.∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，∴＝，∴AB＝12.8，∴大楼AB的高
DCEC1.62.5度为12.8m.
方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型三】 利用标杆测量物体的高度
如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小
明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又
测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度．
解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于E，∴DE＝CB＝9.6m，BE＝CD＝2m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA∶ED＝1∶1.2，∴AE＝8m，∴AB＝AE＋EB＝8＋2＝10m，∴学校旗杆的高度为10m.
方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型四】 利用相似三角形的性质设计方案测量高度 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北
伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．
解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．
解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．
理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得CDDE
△ABE∽△CDE.根据＝，即可算出AB的高．
ABBE
方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计
1．利用相似三角形测量物体的高度； 2．利用相似三角形测量河的宽度； 3．设计方案测量物体高度．
通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识．基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.
27.3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的相关知识；(重点)
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．(难点)
一、情境导入
生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．
观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？
二、合作探究 探究点：位似图形
【类型一】 判定是否是位似图形 下列3个图形中是位似图形的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行(或共线)，所以位似图形是第一个和第三个．故选C.
方法总结：判断两个图形是不是位似图形，首先要看它们是不是相似图形，再看它们对应顶点的连线是否交于一点．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第1题 【类型二】 确定位似中心 找出下列图形的位似中心．
解析：(1)连接对应点AE、BF，并延长的交点就是位似中心；(2)连接对应点AN、BM，并延长的交点就是位似中心；(3)连接AA′，BB′，它们的交点就是位似中心．
解：(1)连接对应点AE、BF，分别延长AE、BF，使AE、BF交于点O，点O就是位似中心；
(2)连接对应点AN、BM，延长AN、BM，使AN、BM的延长线交于点O，点O就是位似中心；
(3)连接AA′、BB′，AA′、BB′的交点就是位似中心O. 方法总结：确定位似图形的位似中心时，要找准对应顶点，再经过每组对应顶点作直线，交点即为位似中心．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升” 第2题 【类型三】 画位似图形 按要求画位似图形：
(1)图①中，以O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍； 1
(2)图②中，以O为位似中心，把△ABC缩小为原来的.
3
解析：(1)连接OA、OB、OC并延长使AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO，顺次连接D、E、F就得出图形；(2)连接OA、OB、OC，作射线CP，在CP上取点M、N、Q使MN＝NQ＝CQ，连接OM，作NF∥OM交OC于F，再依次作EF∥BC，DE∥AB，连接DF，就可以求出结论．
解：(1)如图①，画图步骤：①连接OA、OB、OC；②分别延长OA至D，OB至E，OC至F，使AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO；③顺次连接D、E、F，∴△DEF是所求作的三角形；
(2)如图②，画图步骤：①连接OA、OB、OC，②作射线CP，在CP上取点M、N、Q使MN＝NQ＝CQ，③连接OM，④作NF∥OM交OC于F，⑤再依次作EF∥BC交OB于E，DE∥AB交OA于D，⑥连接DF，∴△DEF是所求作的三角形．
方法总结：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型四】 位似图形的实际应用 在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，
点P为放映机的光源，△ABC是胶片上面的画面，△A′B′C′为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是2.5cm×2.5cm，放映的银幕规格是2m×2m，光源P与胶片的距离是20cm，则银幕应距离光源P多远时，放映的图象正好布满整个银幕？
解析：由题中条件可知△A′B′C′是△ABC的位似图形，所以其对应边成比例，进而即可求解．
解：图中△A′B′C′是△ABC的位似图形，设银幕距离光源P为xm时，放映的图象正好布满整个银幕，则位似比为
x2＝，解得x＝16.即银幕距离光源P16m时，放映的0.22.5×10－2图象正好布满整个银幕．
方法总结：在位似变换中，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于对应边的比，面积比等于相似比的平方．
【类型五】 利用位似的性质进行证明或计算
如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，
(1)图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明； (2)若AB＝2，CD＝3，求EF的长．
解析：(1)利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质得出答案；(2)利用比例的性质以及相似三角形的性质求出
BEEF2
＝＝，求出EF即可． BCDC5
解：(1)△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形．理由：∵AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；
ABBE2BEEF
(2)∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB＝2，CD＝3，∴＝＝，∴＝＝
DCEC3BCDC26
，解得EF＝. 55
方法总结：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．位似图形的对应线段的比等于相似比．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计
位似图形的概念及画法 1．位似图形的概念；
2．位似图形的性质及画法．
在教学过程中，为了便于学生理解位似图形的特征，应注意让学生通过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识．教师应把学习的主动权充分放给学生，在每一环节及时归纳总结，使学生学有所收获.
第2课时 平面直角坐标系中的位似
1．学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；(重点)
2．掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．(难点)
一、情境导入
观察如图所示的坐标系．
试着发现坐标系中几个图形间的联系，然后自己作出一个类似的图形． 二、合作探究
探究点一：平面直角坐标系中的位似 【类型一】 利用位似求点的坐标 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，1
在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( )
2
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
解析：∵线段AB的两个端点坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在1
第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A
2点的一半，∴端点C的坐标为(3，3)．故选A.
方法总结：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点(x，y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(－kx，－ky)．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第3题 【类型二】 在坐标系中画位似图形 在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′； (2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
解析：(1)利用位似图形的性质及位似比为2，可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标即可．
解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)△A′B′C′的各顶点坐标分别为A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．
方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第7题 【类型三】 在坐标系中确定位似比 △ABC三个顶点A(3，6)、B(6，2)、C(2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似221
图形△A′B′C′三个顶点分别为A′(1，2)，B′(2，)，C′(，－)，则△A′B′C′与△ABC的位
333似比是________．
解析：∵△ABC三个顶点A(3，6)、B(6，2)、C(2，－1)，以原点为位似中心，得到的221
位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′(1，2)，B′(2，)，C′(，－)，∴△A′B′C′与△ABC
333的位似比是1∶3.
方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比． 变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二：位似在坐标系中的简单应用
【类型一】 确定图形的面积 如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与点A′(－2，0)是对应3
点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是________．
2
解析：∵点A(1，0)与点A′(－2，0)是对应点，原点O是位似中心，∴△ABC和△A′B′C′3
的位似比是1∶2，∴△ABC和△A′B′C′的面积比是1∶4，又∵△ABC的面积是，∴△A′B′
2C′的面积是6.
方法总结：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型二】 位似变换与平移、旋转、轴对称的综合 如图，点A的坐标为(3，4)，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(4，0)．
(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位后得△A1O1B1，则点A1的坐标为(________)，△A1O1B1的面积为________；
(2)将△AOB绕原点旋转180°后得△A2O2B2，则点A2的坐标为(________)； (3)将△AOB沿x轴翻折后得△A3O3B3，则点A3的坐标为(________)；
(4)以O为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB放大后得△A4O4B4，若点B4在x轴的负半轴上，则点A4的坐标为(________)，△A4O4B4的面积为________．
解析：(1)将△AOB沿x轴向左平移1个单位后得△A1O1B1，则点A1的坐标为(2，4)，1
△A1O1B1的面积为×4×4＝8；(2)将△AOB绕原点旋转180°后得△A2O2B2，则点A2的坐
2标为(－3，－4)；(3)将△AOB沿x轴翻折后得△A3O3B3，则点A3的坐标为(3，－4)；(4)以O为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB放大后得△A4O4B4，若点B4在x轴的负半轴上，则点1
A4的坐标为(－6，－8)，△A4O4B4的面积为×8×8＝32.故答案为(1)2，4；8；(2)－3，－4；
2(3)3，－4；(4)－6，－8；32.
方法总结：此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．
三、板书设计
位似变换的坐标特征：
关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点(x，y)经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(－kx，－ky)．
这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化，教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃，这样才能真正激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习效率.
28．1锐角三角函数
第1课时 正弦函数
1．能根据正弦概念正确进行计算；(重点) 2．能运用正弦函数解决实际问题．(难点)
一、情境导入
牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB)．斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得．
二、合作探究
探究点一：正弦函数
如图，sinA等于( )
A．2 B.
51
C. D.5 52
1
解析：根据正弦函数的定义可得sinA＝，故选C.
2
方法总结：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝∠A的对边a
＝. c斜边
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第2题
探究点二：正弦函数的相关应用 【类型一】 在网格中求三角函数值 如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于( )
310101A. B. C. D．10
10103
解析：∵AB＝20，BC＝18，AC＝2，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，∴sinAC210
∠ABC＝＝＝.故选B.
AB2010方法总结：解决有关网格的问题往往和勾股定理及其逆定理相联系，根据勾股定理求出三边长度，再运用勾股定理的逆定理判断三角形形状．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第3题 【类型二】 已知三角函数值，求直角三角形的边长
2
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AB的长为( )
38
A. B．6 C．12 D．8 3
BC42
解析：∵sinA＝＝＝，∴AB＝6.故选B.
ABAB3
方法总结：根据正弦定义表示出边的关系，然后将数值代入求解，记住定义是解决问题的关键．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第6题 【类型三】 三角函数与等腰三角形的综合
已知等腰三角形的一条腰长为25cm，底边长为30cm，求底角的正弦值．
1
解析：先作底边上的高AD，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BC＝15cm，
2再由勾股定理求出AD，然后根据三角函数的定义求解．
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.∵AB＝AC＝25cm，BC＝30cm，AD为底边上1AD20
的高，∴BD＝BC＝15cm.由勾股定理得AD＝AB2－BD2＝20cm，∴sin∠ABC＝＝＝
2AB2
. 5
方法总结：求三角函数值一定要在直角三角形中求值，当图形中没有直角三角形时，要通过作高，构造直角三角形解答．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型四】 在复杂图形中求三角函数值
如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果AD＝9，DC＝5，E为AC的中点，求
sin∠EDC的值．
解析：首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据直角三角形的性质可得DE＝EC，根AD
据等腰三角形性质可得∠EDC＝∠C，进而得到sin∠EDC＝sin∠C＝.
AC
解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝9，DC＝5，∴AC＝92＋52＝106.∵E为
1AD9
AC的中点，∴DE＝AE＝EC＝AC，∴∠EDC＝∠C，∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝＝2AC1069106
. 106
方法总结：求三角函数值的关键是找准直角三角形或利用等量代换将角或线段转化进行解答．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第8题 【类型五】 在圆中求三角函数值
如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，求sin∠
ABD的值．
解析：首先根据垂径定理得出∠ABD＝∠ABC，然后由直径所对的圆周角是直角，得出∠ACB＝90°，根据勾股定理算出斜边AB的长，再根据正弦的定义求出sin∠ABC的值，从而得出sin∠ABD的值．
︵︵
解：由条件可知AC＝AD，∴∠ABD＝∠ABC，∴sin∠ABD＝sin∠ABC.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝BC2＋AC2＝10，∴sin∠ABD
AC4
＝sin∠ABC＝＝. AB5方法总结：求三角函数值时必须在直角三角形中．在圆中，由直径所对的圆周角是直角可构造出直角三角形．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计 1．正弦的定义；
2．利用正弦解决问题．
在教学过程中，重视过程，深化理解，通过学生的主动探究来体现他们的主体地位，教师是通过对学生参与学习的启发、调整、激励来体现自己的引导作用，对学生的主体意识和合作交流的能力起着积极作用.
28．1锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
1．理解余弦、正切的概念；(重点)
2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)
一、情境导入
教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？
学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
二、合作探究
探究点一：余弦函数和正切函数的定义 【类型一】 利用余弦的定义求三角函数值 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝( )
551212A. B. C. D. 1312135
AC12
解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝＝.故选C.
AB13方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第2题 【类型二】 利用正切的定义求三角函数值 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则
tanA＝( )
34A. B. 5534C. D. 43
解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝
BC4
＝.故选D. AB3
方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第5题 探究点二：三角函数的增减性
【类型一】 判断三角形函数的增减性 随着锐角α的增大，cosα的值( ) A．增大 B．减小 C．不变 D．不确定 解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.
方法总结：当0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)． 【类型二】 比较三角函数的大小
sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( ) A．tan70°＜cos70°＜sin70°
B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.
方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1，tanA≥0. 探究点三：求三角函数值
【类型一】 三角函数与圆的综合
如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切
线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD.
(1)求证：DC＝BC；
(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．
︵︵
解析：(1)连接OC，求证DC＝BC可以先证明∠CAD＝∠BAC，进而证明DC＝BC；(2)由AB＝5，AC＝4，可根据勾股定理得到BC＝3，易证△ACE∽△ABC，可以求出CE、DE的长，在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值．
(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAC，︵︵
∴DC＝BC.∴DC＝BC；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB2－AC2＝52－42＝3.∵∠CAE
ECACEC412
＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴＝，即＝，EC＝.∵
BCAB355
9
129ED5332－（）2＝，∴tan∠DCE＝＝＝.
55EC124
5
DC＝BC＝3，∴ED＝DC2－CE2＝方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升” 第5题 【类型二】 利用三角形的边角关系求三角函数值
3
如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求
4
sinC的值．
3
解析：根据tan∠BAD＝，求得BD的长．在直角△ACD中由勾股定理可求AC的长，
4然后利用正弦的定义求解．
BD33
解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝＝，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×＝9，∴CD
AD44AD12
＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝AD2＋CD2＝122＋52＝13，∴sinC＝＝. AC13
方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计
1．余弦函数的定义； 2．正切函数的定义；
3．锐角三角函数的增减性．
在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.
28．1锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点)
一、情境导入
问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
二、合作探究
探究点一：特殊角的三角函数值
【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算 计算：
(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； sin30°－sin45°(2). cos60°＋cos45°解析：将特殊角的三角函数值代入求解．
112313
解：(1)原式＝2××－6××＝－＝－1；
2222221－2
(2)原式＝
1＋2
22
＝22－3. 22
方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围 2
若cosα＝，则锐角α的大致范围是( )
3A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝321122
，cos45°＝，cos60°＝，且＜＜，∴cos60°＜cosα＜222232
cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.
方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性． 【类型三】 根据三角函数值求角度 若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是( ) A．20° B．30° C．40° D．50° 解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33
.∵tan30°＝，∴α＋10°＝30°，33
∴α＝20°.故选A.
方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用
【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，
AD＝4，求BC的长．
解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可．
解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABCBCBC3中，tan∠A＝tan30°＝，即＝，解得BC＝2(3＋1)．
ABBC＋43
方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列
出式子，求出三角函数值，进而求出答案．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 判断三角形的形状
已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－3
|＝0，试判断△ABC的形状． 2
解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
解：∵(1－tanA)2＋|sinB－
33
|＝0，∴tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，22
∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．
方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】 构造三角函数模型解决问题 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C
AC1
＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝3，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝＝BC33
.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值． 3
CD
解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝，
BCBC
tan75°＝求出即可．
CD
解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－3.在Rt△ADE23－3
中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－3)2＝(1－x)2，解得x＝23－3，∴tan15°＝＝2－3，
3BC3
tan75°＝＝＝2＋3.
CD23－3
方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第2题 三、板书设计
1．特殊角的三角函数值： sinα cosα tanα 30° 1 23 23 345° 2 22 21 60° 3 21 23 2.应用特殊角的三角函数值解决问题．
课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的
教学很成功，学生理解的很好.
28．1锐角三角函数
第4课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角
1．初步掌握用计算器求三角函数值的方法；(重点)
2．熟练运用计算器求三角函数值解决实际问题．(难点)
一、情境导入
教师讲解：通过上面几节课的学习我们知道，当锐角∠A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角∠A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．
二、合作探究
探究点一：用计算器求锐角三角函数值及锐角 【类型一】 已知角度，用计算器求函数值 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°；(2)sin12°30′；
(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.
解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.21； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.
解析：由三角函数值求角的度数时，用到sin，cos，tan键的第二功能键，要注意按键的顺序．
解：(1)sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；sinB＝0.01得∠B≈0.6°； (2)cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；cosB＝0.8，得∠B≈36.9°； (3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.
方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第7题 【类型三】 利用计算器验证结论 (1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想： ①sin30°________2sin15°cos15°； ②sin36°________2sin18°cos18°； ③sin45°________2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°________2sin30°cos30°； ⑤sin80°________2sin40°cos40°.
猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα.
(2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证结论．
解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边，比较大小；(2)通过计算△ABC 的面积来验证．
解：(1)通过计算可知： ①sin30°＝2sin15°cos15°； ②sin36°＝2sin18°cos18°； ③sin45°＝2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°＝2sin30°cos30°； ⑤sin80°＝2sin40°cos40°； sin2α＝2sinαcosα.
111
(2)∵S△ABC＝AB·sin2α·AC＝sin2α，S△ABC＝×2ABsinα·ACcosα＝sinα·cos
222α，∴sin2α＝2sinαcosα.
方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型四】 用计算器比较三角函数值的大小 用计算器比较大小：20sin87°________tan87°.
解析：20sin87°≈20×0.9986＝19.974，tan87°≈19.081，∵19.974>19.081，∴20sin87°>tan87°.
方法总结：利用计算器求值时，要注意计算器的按键顺序． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第8题 探究点二：用计算器求三角函数值解决实际问题
如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝20km，∠CAB＝25°，∠CBA
＝37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直的公路AB的长；
(2)公路改直后比原来缩短了多少千米？
解析：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中根据CH＝AC·sin∠CAB求出CH的长，由AH＝AC·cos∠CAB求出AH的长，同理可求出BH的长，根据AB＝AH＋BH可求得AB的长；(2)在Rt△BCH中，由BC＝
CH
可求出BC的长，由AC＋BC－AB即可得出结论．
sin∠CBA
CHtan∠CBA
解：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈20×0.42＝8.4km，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈20×0.91＝18.2km.在Rt△BCH中，BH＝
8.4≈＝11.1km，∴AB＝AH＋BH＝18.2＋11.1＝29.3km.故改直的公路AB的长为29.3km； tan37°
(2)在Rt△BCH中，BC＝
CHCH8.4
＝≈＝14km，则AC＋BC－AB＝20＋14－
sin∠CBAsin37°0.6
29.3＝4.7km.
答：公路改直后比原来缩短了4.7km.
方法总结：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此类问题的关键． 变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第4题 三、板书设计
1．已知角度，用计算器求函数值；
2．已知三角函数值，用计算器求锐角的度数； 3．用计算器求三角函数值解决实际问题．
备课时尽可能站在学生的角度思考问题，设计好教学的每一个细节，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折．舍得把课堂让给学生，尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，真正提高课堂教学效率，提高成绩.
28．2．1 解直角三角形
1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点)
2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点)
一、情境导入
世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝.5m，求∠A的度数．
在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究
探究点一：解直角三角形
【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下
列条件解直角三角形．
(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；
(2)若a＝62，b＝66，求∠A、∠B的度数和边c的长．
解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． a解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝，ca361
即c＝＝＝243，∴b＝sinB·c＝×243＝123；
cosB23
2
a3
(2)在Rt△ABC中，∵a＝62，b＝66，∴tanA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，
b3∴c＝2a＝122.
方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．
解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．
解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝122.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝12－43.
2
＝12，CM＝BM＝12.在△EFD2
BM
＝43，∴CD＝CM－MD＝
tan60°
方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 3
如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，
7
DC＝6.求△ABC的面积．
解析：首先利用正弦的定义设BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，从而求得AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长，再进一步求解．
BC3
解：∵∠C＝90°，∴在Rt△ABC中，sinA＝＝，设BC＝3k，则AB＝7k(k＞0)，在
AB7Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝142－62＝410，∴S△ABC
11
＝AC·BC＝×410×6＝1210.所以△ABC的面积是1210. 22方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第7题 探究点二：解直角三角形的综合
【类型一】 解直角三角形与等腰三角形的综合 已知等腰三角形的底边长为2，周长为2＋2，求底角的度数．
解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数．
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，∵周长为2＋2，∴AB＝AC＝1.过A作AD⊥BC于点D，则BD＝2BD2
，在Rt△ABD中，cos∠ABD＝＝，∴∠ABD＝45°，即2AB2
等腰三角形的底角为45°.
方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值． 变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第2题 【类型二】 解直角三角形与圆的综合 已知：如图，Rt△AOB中，∠O＝90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，
连接AC交OB于点P.
(1)求证：BP＝BC；
1
(2)若sin∠PAO＝，且PC＝7，求⊙O的半径．
3
解析：(1)连接OC，由切线的性质，可得∠OCB＝90°，由OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，再由∠AOB＝90°，可得出所要求证的结论；(2)延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答．
解：(1)连接OC，∵BC是⊙O的切线，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°，∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP；
1
(2)延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝，设OP＝x，AP
31
＝3x，∴AO＝22x.∵AO＝OE，∴OE＝22x，∴AE＝42x.∵sin∠PAO＝，∴在Rt△ACE
33x＋722CE1AC22
中＝，∴＝，∴＝，解得x＝3，∴AO＝22x＝62，即⊙O的半径为AE3AE3342x62.
方法总结：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根据三角函数的定义结合勾股定理列出方程．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计
1．解直角三角形的基本类型及其解法； 2．解直角三角形的综合．
本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，激发学生学习数学的积极性和主动性.
28.2.2 应用举例
第1课时 解直角三角形的简单应用
1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用；(重点)
2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解．(难点)
一、情境导入
为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.
你能求出车架档AD的长吗？
二、合作探究
探究点：解直角三角形的简单应用 【类型一】 求河的宽度 根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资
江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.
解析：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．
AB
解：设AD＝xm，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，∴AB＝AC·tan∠
ACAB
BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋
AD410410
82)＝4x，解得x＝.∴AB＝4x＝4×≈6.7m.
33
答：AB的长约为6.7m.
方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第3题 【类型二】 求不可到达的两点的高度 如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm，灯罩BC长为20cm，底座
厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少(结果精确到0.1cm，参考数据：3≈1.732)?
解析：首先过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，进而求出FC的长，再求出BG的长，即可得出答案．
解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∴四边形BFDG是矩形，∴1
BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10cm.在Rt△ABG中，
2∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×3
＝153cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋1532
＋2＝12＋153≈38.0(cm)．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.
方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型三】 方案设计类问题
小锋家有一块四边形形状的空地(如图③，四边形ABCD)，其中AD∥BC，BC＝
1.6m，AD＝5.5m，CD＝5.2m，∠C＝90°，∠A＝53°.小锋的爸爸想买一辆长4.9m，宽1.9m的汽车停放在这块空地上，让小锋算算是否可行．小锋设计了两种方案，如图①和图②所示．
(1)请你通过计算说明小锋的两种设计方案是否合理；
(2)请你利用图③再设计一种有别于小锋的可行性方案，并说明理由(参考数据：sin53°4
＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°＝)．
3
解析：(1)方案1，如图①所示，在Rt△AGE中，依据正切函数求得AG的长，进而求得DG的长，然后与汽车的宽度比较即可；方案2，如图②所示，在Rt△ALH中，依据正切函数求得AL的长，进而求得DL的长，然后与汽车的长度比较即可；(2)让汽车平行于AB停放，如图③，在Rt△AMN中，依据正弦函数求得AM的长，进而求得DM的长．在Rt△PDM中，依据余弦函数求得PM的长，然后与汽车的长度比较即可．
解：(1)如图①，在Rt△AGE中，∵∠A＝53°，∴AG＝
EG4.9
＝m≈3.68m，∴DGtan∠A4
3
＝AD－AG＝5.5－3.68＝1.82m＜1.9m，故此方案不合理；如图②，在Rt△ALH中，∵∠A＝53°，LH＝1.9m，∴AL＝
LH1.9
＝≈1.43m，∴DL＝AD－AL＝5.5－1.43＝4.07m＜
tan53°4
3
4.9m，故此方案不合理；
(2)如图③，过DA上一点M作MN⊥AB于点N，过CD上一点P作PQ⊥AB于点Q，MN1.9
连PM，在Rt△AMN中，∵∠A＝53°，MN＝1.9m，∴AM＝＝≈2.4，∴DM＝5.5
sin53°0.8DM3.1
－2.4＝3.1m.在Rt△PDM中，∵∠PMD＝∠A＝53°，DM＝3.1m，∴PM＝＝≈cos53°0.65.1m＞4.9m，故此方案合理．
方法总结：本题主要是利用三角函数解决实际问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计
1．求河宽和物体的高度； 2．其他应用类问题．
本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.
28.2.2 应用举例
第2课时 利用仰俯角解直角三角形
1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)
一、情境导入
在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．
二、合作探究
探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一
座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号)．
CP
解析：设塔高为xm，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用＝tan30°，求出
PNx的值即可．
解：设塔底面中心为O，塔高xm，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△CPM、△CPNx－（1.6－0.1）是直角三角形，则＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5.在Rt△CPN
PMx－1.5833＋CP3
中，＝tan30°，即＝，解得x＝. PN4x－1.5＋41.53
833＋答：塔高为m. 4
方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第7题 【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看
到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD.
解析：根据点G是BC的中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB.在Rt△ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．
解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC的中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30m.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×103m.在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝103m，∴FD＝AF·tanβ＝103×
3＝3
3
＝10m，∴CD＝3
AB－FD＝30－10＝20m.
答：矮建筑物的高为20m.
方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离 如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得
河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少m(精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?
解析：在Rt△ACD中，根据已知条件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根据∠EDB＝45°，求出BC＝CD＝21m，最后根据AB＝AC－BC，代值计算即可．
CD21
解：∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∠DAC＝30°，∴AC＝＝＝213m.∵在
tan30°3
3Rt△BCD中，∠EDB＝45°，∴∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝213－21≈15.3(m)．则河的宽度AB约是15.3m.
方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升” 第3题 【类型四】 仰角和俯角的综合 某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来
到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.求建筑物AB的高(精确到1m，可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7)．
解析：过点C作AB的垂线CE，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是正方形，再由BD＝12m可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE·tan30°得出AE的长，进而可得出结论．
解：过点C作AB的垂线，垂足为E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四边形CDBE是正方形．∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12×
3
＝43(m)，3
∴AB＝43＋12≈19(m)．
答：建筑物AB的高为19m. 方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计
1．仰角和俯角的概念； 2．利用仰角和俯角求高度；
3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离； 4．仰角和俯角的综合．
备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.
28.2.2 应用举例
第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)
一、情境导入
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅h
垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝.
l
坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有ih
＝＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． l二、合作探究
探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即
线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．
解析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出PC的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即3
PC＋PC＝200，3
解得PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第1题 【类型二】 利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，
C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连．在公路A处测得C村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数)
解析：作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，求得AD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，求得BD.又由AD－BD＝500，从而解得CD.
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足落在AB的延长线上，CD即为所修公路，CD的长CDCD
度即为公路长度．在Rt△ACD中，据题意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝，∴AD＝
ADtan30°CDCD3
＝3CD.在Rt△CBD中，据题意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝，∴BD＝＝BDtan60°3CD.又∵AD－BD＝500，∴3CD－3
CD＝500，解得CD≈433(m)． 3
答：所修公路长度约为433m. 方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第4题 探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形 【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题
如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2米，背水
坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度．
解析：首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求解．
解：分别过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为E、F，可得BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF.由题意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴BECF
∠BAE＝45°，∴AE＝＝2，DF＝＝23，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋23tan45°tan30°＝5＋23(m)．
答：坝底AD的长度为(5＋23)m.
方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题 如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB的长为65
m，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB＝14°)．
(1)求车库的高度AH；
(2)求点B与点C之间的距离(结果精确到1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)．
解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH的长；6
(2)利用tan14°＝，求出BC的长即可．
BC＋12
解：(1)由题意可得AH∶BH＝1∶2，设AH＝x，则BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(65)2，解得x＝6，故车库的高度AH为6m；
(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝
AH66
，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝，即0.25＝，CHBC＋12BC＋12
解得BC＝12m.
答：点B与点C之间的距离是12m.
方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计
1．方位角的意义； 2．坡度、坡比的意义；
3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．
将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.
29.1 投影
第1课时 平行投影与中心投影
1．理解平行投影和中心投影的特征；(重点)
2．在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影．(难点)
一、情境导入
北京故宫中的日晷闻名世界，是我国光辉灿烂文化的瑰宝．它是我国古代利用日影测定时刻的仪器，它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化，晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻．
本节课学习有关投影的知识． 二、合作探究
探究点一：平行投影
【类型一】 判断影子的形状 下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )
解析：选项A.影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；选项B.影子的方向不相同，错误；选项C.影子的方向不相同，错误；选项D.不同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误．故选A.
方法总结：平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第2题 【类型二】 平行投影作图 在某一时刻，操场上有三根测杆，如图所示，其中测杆AB的影子为BC，你能画
出测杆MN的影子NP吗？若测杆XY的影子的顶端恰好落在点B处，且XY＝MN，你能找出XY所在的位置吗？请将上述问题画在下面的示意图中，并简述画法．
解析：过物体顶点作光线的平行线得到物体的平行投影，再根据平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的可找到XY的位置．
解：连接AC，过点M作MP∥AC交NC于点P，则NP为MN的影子．过点B作BX∥AC，且BX＝MP，过X作XY⊥NC交NC于点Y，则XY即为所求．
方法总结：先根据物体投影确定光线，然后利用两个物体的顶端和各自影子的对应点的
连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确定影子．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】 平行投影的相关计算 李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼
的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量方法如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m(点A、E、C在同一直线上)．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB.
解析：过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长．
解：过点D作DN⊥AB，垂足为N，交EF于M点，∴四边形CDME、ACDN是矩形，∴AN＝ME＝CD＝1.2m，DN＝AC＝30m，DM＝CE＝0.6m，∴MF＝EF－ME＝1.6－1.2＝DMMF0.60.4
0.4m.∵EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，＝，即＝，∴BN＝20m，∴AB＝BN＋AN
DNBN30BN＝20＋1.2＝21.2m.
答：楼高为21.2m.
物体高度另一物体的高度
方法总结：在同一时刻的物体高度与影长的关系：＝.
物体影长另一物体的影长变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第6题 探究点二：中心投影
【类型一】 判断是否是中心投影 下面属于中心投影的是( ) A．太阳光下的树影 B．皮影戏 C．月光下房屋的影子 D．海上日出
解析：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光．在各选项中只有B选项得到的投影为中心投影．故选B.
方法总结：判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型二】 判断影长的情况 晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在
地上的影子( )
A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长
解析：晚上小亮在路灯下散步，当小亮从远处走到灯下的时候，他在地上的影子由长变短，当他再远离路灯的时候，他在地上的影子由短变长．故选B.
方法总结：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第5题 【类型三】 中心投影作图 如图是小明与爸爸(线段AB)、爷爷(线段CD)在同一路灯下的情景，粗线分别表示
三人的影子．请根据要求，进行作图(不写画法，但要保留作图痕迹)．
(1)画出图中灯泡所在的位置； (2)在图中画出小明的身高．
解析：(1)利用中心投影的图形的性质连接对应点得出灯泡位置即可；(2)根据灯泡位置即可得出小明的身高．
解：(1)如图所示：O即为灯泡的位置； (2)如图所示：EF即为小明的身高．
方法总结：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型四】 中心投影的相关计算 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1m，继续
往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2m，已知王华的身高是1.5m，求路灯A的高度AB.
解析：根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
CDCG
解：当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即＝；当王华在EH处时，Rt△
BDABEFEHCGCDEF
FEH∽Rt△FBA，即＝＝，∴＝.∵CG＝EH＝1.5m，CD＝1m，CE＝3m，EF
BFABABBDBF12CD
＝2m，设AB＝x，BC＝y，∴＝，解得y＝3，经检验y＝3是原方程的根．∵＝
BDy＋1y＋5CG1.51
，即＝，解得x＝6m.即路灯A的高度AB＝6m. ABx4
方法总结：解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计
1．平行投影的定义及应用； 2．中心投影的定义及应用．
本节以自主探索、合作交流为设计主线，从皮影戏、手影、日晷等学生熟悉的生活实际出发，引入物体投影的相关概念，通过观察图片等活动，使学生认识中心投影和平行投影的区别与联系，加强主动学习数学的兴趣，体现数学的应用价值.
29.1 投影
第2课时 正投影
1．理解正投影的概念；(重点)
2．归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．(难点)
一、情境导入
观察下图，这三个图分别表示同一块三角尺在阳光照射下形成的投影，其中图①与图②③的投影线有什么区别？图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
二、合作探究 探究点：正投影
【类型一】 确定正投影的形状 如图所示，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投
影图是( )
解析：依题意，光线是垂直照下的，故只有D符合．故选D.
方法总结：当投影面垂直于入射光线时，球体的投影是圆形，否则为椭圆形．若投影面不是平面，则投影形状要复杂得多．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第2题 【类型二】 物体与其正投影的关系 木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定( ) A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
解析：正投影的长度与木棒的摆放角度有关，但无论怎样摆都不会超过1.2 m．故选D. 方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】 画投影面上的正投影 画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
解析：第一个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形，第二个图投影线从上方射向下方的正投影也是长方形，第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心．
解：如图所示：
方法总结：在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第4题 探究点二：正投影的综合应用
【类型一】 正投影与勾股定理的综合 一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α. (1)求影子A1B1的长度(如图①)；
(2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2(如图②)．
解析：根据平行投影和正投影的定答即可． 解：如图①，A1B1＝AB＝8cm；
如图③，作AE⊥BB2于E，则四边形AA2B2E是矩形，∴A2B2＝AE，△ABE是直角三角形．∵AB＝8cm，∠BAE＝30°，∴BE＝4cm，AE＝82－42＝43cm，∴A2B2＝43cm.
方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段，可以用解直角三角形求得投影的长度．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 正投影与相似三角形的综合
在长、宽都为4m，高为3m的房间正的天花板上悬挂着一只白炽灯泡，为了
集中光线，加上了灯罩(如图所示)．已知灯罩深AN＝8cm，灯泡离地面2m，为了使光线恰
好照在相对的墙角D、E处，灯罩的直径BC应为多少？(结果保留两位小数，2≈1.414)
解析：根据题意画出图形，则AN＝0.08m，AM＝2m，由房间的地面为边长为4m的正方形可计算出DE的长，再根据△ABC∽△ADE利用相似三角形对应边成比例解答．
解：如图，光线恰好照在墙角D、E处，AN＝0.08m，AM＝2m，由于房间的地面为边
BCANBC0.08
长为4m的正方形，则DE＝42m.∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，DEAM242∴BC≈0.23(m)．
答：灯罩的直径BC约为0.23m.
方法总结：解决问题的关键是画出图形，根据图形相似的性质和判定解题． 变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计
1．正投影的概念及性质； 2．正投影的综合应用．
本节课的学案设计，力求具体、生动、直观．因此，学生多以操作、观察实物模型和图片等活动为主．比如通过观察铁丝、圆柱、圆锥等图形在不同位置时的正投影特征，归纳出物体正投影的一般规律，并能根据此规律画出简单平面图形的正投影．在介绍投影概念时，借助太阳光线进行投影实例的观察，这样不仅直观而且富有真实感，能激发学生学习兴趣.
29.2 三视图
第1课时 三视图
1．会从投影的角度理解视图的概念 ；(重点) 2．会画简单几何体的三视图．(难点)
一、情境导入
如图所示：直三棱柱的侧棱与水平投影面垂直，请与同伴一起探讨下面的问题：
(1)以水平投影面为投影面，在正投影下这个直三棱柱的三条侧棱的投影是什么图形？ (2)画出直三棱柱在水平投影面的正投影，得到的投影是什么图形？它与直三棱柱底面有什么关系？
这个水平投影能完全反映这个物体的形状和大小吗？如不能，那么还需哪些投影面？ 物体的正投影从一个方向反映了物体的形状和大小，为了全面地反映一个物体的形状和大小，我们常常再选择正面和侧面两个投影面，今天我们将学习与这三个面的投影相关的知识．
二、合作探究
探究点一：简单几何体的三视图 【类型一】 判断俯视图 下面的几何体中，俯视图为三角形的是( )
解析：选项A.长方体的俯视图是长方形，错误；选项B.圆锥的俯视图是带圆心的圆，错误；选项C.圆柱的俯视图是圆，错误；选项D.三棱柱的俯视图是三角形，正确；故选D.
方法总结：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，即为俯视图． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第1题 【类型二】 判断主视图 下面的几何体中，主视图为三角形的是( )
解析：选项A.主视图是长方形，错误；选项B.主视图是长方形，错误；选项C.主视图是三角形，正确；选项D.主视图是长方形，中间还有一条线，错误；故选C.
方法总结：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，即为主视图．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第3题 【类型三】 判断左视图
在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )
解析：选项A.正方体的左视图与主视图都是正方形，不合题意；选项B.长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，符合题意；选项C.球的左视图与主视图都是圆，不合题意；选项D.圆锥的左视图与主视图都是等腰三角形，不合题意；故选B.
方法总结：主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第4题 探究点二：简单组合体的三视图
用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、俯视图中
至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是( )
解析：选项A.此几何体的主视图和俯视图都是，不合题意；选项B.此几何体的主视
图和左视图都是，不合题意；选项C.此几何体的主视图和左视图都是，不合题
意；选项D.此几何体的主视图是，俯视图是，左视图是，符合题意，
故选D.
方法总结：主视图、左视图、俯视图是分别从正面、左面、上面所看到的图形．理解定义是解决问题的关键．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第5题 探究点三：画图形的三视图
分别画出图中几何体的主视图、左视图和俯视图．
解析：从正面看，从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1；从左面看，从左往右3列正方形的个数依次为3，1，1；从上面看，从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1.
解：如图所示：
方法总结：画三视图的步骤：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计
1．主视图、俯视图和左视图的概念； 2．三视图的画法．
本节课力求突出具体、生动、直观，因此，学生多以亲自操作、观察实物模型和图片等活动为主．使用多媒体教学，使学生更直观的感受知识，激发学习兴趣．在本次教学过程中，
丰富了学生观察、操作、猜想、想象、交流等活动经验，培养了学生的观察能力和想象能力，提升了他们的空间观念.
29.2 三视图
第2课时 由三视图确定几何体
1．会根据俯视图画出一个几何体的主视图和左视图； (重点)
2．体会立体图形的平面视图效果，并会根据三视图还原立体图形．(难点)
一、情境导入
让学生拿出准备好的六个小正方体，搭一个几何体，然后让学生画出几何体的俯视图，并选择一位学生上台演示并在黑板上画出俯视图(如右图)，教师在正方体上标上数字并说明数字含义．
问：能不能根据上面的俯视图画出这个几何体的主视图和左视图？看哪些同学速度快． 二、合作探究
探究点：由三视图确定几何体
【类型一】 根据三视图判断简单的几何体 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
解析：主视图是由两个矩形组成，而左视图是一个矩形，俯视图是一个三角形，得出该几何体是一个三棱柱．故选D.
方法总结：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第1题 【类型二】 由三视图判断实物图的形状 下列三视图所对应的实物图是( )
解析：从俯视图可以看出实物图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，圆柱与下面的长方体的顶面的两边相切且与长方体高度相同．只有C满足这两点，故选C.
方法总结：主视图、左视图和俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．对于本题要注意圆柱的高与长方体的高的大小关系．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型三】 根据俯视图中小正方形的个数判断三视图 如图，是由几个小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位
置上的立方体的个数，这个几何体的主视图是( )
解析：由俯视图可知，几个小立方体所搭成的几何体如图所示：，可知选
项D为此几何体的主视图．
方法总结：由俯视图想象出几何体的形状，然后按照三视图的要求，得出该几何体的主视图和侧视图．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型四】 由主视图和俯视图判断组成小正方体的个数 如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，组成这个几何
体的小正方体的个数是( )
A．5个或6个 B．6个或7个 C．7个或8个 D．8个或9个 解析：从俯视图可得最底层有4个小正方体，由主视图可得上面一层是2个或3小正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数是6个或7个．故选B.
方法总结：运用观察法确定该几何体有几列以及每列小正方体的个数是解题关键． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型五】 由三视图判断组成物体小正方体的个数 由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小
立方体有( )
A．3块 B．4块 C．5块 D．6块
解析：由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么组成该几何体的小立方体有3＋1＝4(个)．故选B.
方法总结：解决此类问题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清物体的上下和前后形状．综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升” 第3题 【类型六】 由三视图确定几何体的探究性问题 (1)请你画出符合如图所示的几何体的两种左视图；
(2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值．
解析：(1)由俯视图可得该几何体有2行，则左视图应有2列．由主视图可得共有3层，那么其中一列必有3个正方体，另一列最少是1个，最多是3个；
(2)由俯视图可得该组合几何体有3列，2行，以及最底层正方体的个数及摆放形状，由主视图结合俯视图可得从左边数第2列第2层最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3列第2层最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3层最少有1个正方体，最多有2个正方体，分别相加得到组成组合几何体的最少个数及最多个数即可得到n的可能值．
解：(1)如图所示：
(2)∵俯视图有5个正方形，∴最底层有5个正方体．由主视图可得第2层最少有2个正方体，第3层最少有1个正方体；或第2层最多有4个正方体，第3层最多有2个正方体，∴该组合几何体最少有5＋2＋1＝8个正方体，最多有5＋4＋2＝11个正方体，∴n可能为8或9或10或11.
方法总结：解决本题要明确俯视图中正方形的个数是几何体最底层正方体的个数． 变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计
1．由三视图判断几何体的形状； 2．由三视图判断几何体的组成．
本课时的设计虽然涉及知识丰富，但忽略了学生的接受能力，教学过程中需要老师加以引导．通过很多老师的点评，给出了很多很好的解决问题的办法，在以后的教学中，要不断完善自己，使自己的教学水平有进一步的提高.
29.2 三视图
第3课时 由三视图确定几何体的面积或体积
1．能根据三视图求几何体的侧面积、表面积和体积等；(重点) 2．解决实际生活中与面积、体积等方面有关的实际问题．(难点)
一、情境导入
已知某混凝土管道的三视图，你能根据三视图确定浇灌每段这种管道所需混凝土的体积吗(π＝3.14)?
二、合作探究
探究点：由三视图确定几何体的面积或体积 【类型一】 由三视图求几何体的侧面积 已知如图为一几何体的三视图： (1)写出这个几何体的名称；
(2)若从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，求这个几何体的侧面积(结果保留π)．
解析：(1)根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱；(2)根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可．
解：(1)该几何体是圆柱； (2)∵从正面看的长为10cm，从上面看的圆的直径为4cm，∴该圆柱的底面直径为4cm，高为10cm，∴该几何体的侧面积为2πrh＝2π×2×10＝40π(cm2)．
方法总结：解题时要明确侧面积的计算方法，即圆柱侧面积＝底面周长×圆柱高． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第3题 【类型二】 由三视图求几何体的表面积 如图是两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(单位：
mm)，求这个几何体的表面积．
解析：先由三视图得到两个长方体的长，宽，高，再分别表示出每个长方体的表面积，
最后减去上面的长方体与下面的长方体的接触面面积即可．
解：根据三视图可得：上面的长方体长6mm，高6mm，宽3mm，下面的长方体长10mm，宽8mm，高3mm，这个几何体的表面积为2×(3×8＋3×10＋8×10)＋2×(3×6＋6×6)＝268＋108＝376(mm2)．
答：这个几何体的表面积是376mm2.
方法总结：由三视图求几何体的表面积，首先要根据三视图分析几何体的形状，然后根据三视图的投影规律—“长对正，高平齐，宽相等”，确定几何体的长、宽、高等相关数据值，再根据相关公式计算几何体的面积．注意：求解组合体的表面积时重叠部分不应计算在内．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型三】 由三视图求几何体的体积 某一空间图形的三视图如图所示，其中主视图是半径为1的半圆以及高为1的矩
形；左视图是半径为1的四分之一圆以及高为1的矩形；俯视图是半径为1的圆，求此图形4
的体积(参考公式：V球＝πR3)．
3
解析：由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状为下部是底面半径为1，高1
为1的圆柱，上部是半径为1的球组成的组成体，代入圆柱体积公式和球的体积公式，即
4可得到答案．
1
解：由已知可得该几何体是一个下部为圆柱，上部为球的组合体．由三视图可得，下4111
部圆柱的底面半径为1，高为1，则V圆柱＝π，上部球的半径为1，则V球＝π，故此几
443何体的体积为错误!.
方法总结：由三视图求几何体的体积，首先要根据三视图分析几何体的形状，然后根据三视图的投影规律“长对正，高平齐，宽相等”确定几何体的长、宽、高等相关数据值．再根据相关公式计算几何体各部分的体积并求和．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型四】 由三视图确定几何体面积或体积的实际应用 杭州某零件厂刚接到要铸造5000件铁质工件的订单，下面给出了这种工件的三视
图．已知铸造这批工件的原料是生铁，待工件铸成后还要在表面涂一层防锈漆，那么完成这批工件需要原料生铁多少吨？涂完这批工件要消耗多少千克防锈漆(铁的密度为7.8g/cm3，1kg防锈漆可以涂4m2的铁器面，三视图单位为cm)?
解析：从主视图和左视图可以看出这个几何体是由前后两部分组成的，呈一个T字形状．故可以把该几何体看成两个长方体来计算．
解：∵工件的体积为(30×10＋10×10)×20＝8000cm3，∴重量为8000×7.8＝62400(g)
＝62.4(kg)，∴铸造5000件工件需生铁5000×62.4＝312000(kg)＝312(t)．∵一件工件的表面积为2×(30×20＋20×20＋10×30＋10×10)＝2800cm2＝0.28m2.∴涂完全部工件需防锈漆5000×0.28÷4＝350(kg)．
方法总结：本题主要考查了由三视图确定几何体和求几何体的面积；关键是得到几何体的形状，得到所求的等量关系的相对应的值．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计
1．由三视图求几何体的侧面积； 2．由三视图求几何体的表面积； 3．由三视图求几何体的体积．
本节重在引导学生总结解决此类问题的方法和规律，探究其实质．在小组讨论的过程中，学生了解了三视图中相关数据的对应关系，即“长对正，高平齐，宽相等”，找到了解决问题的根本，通过具体的例题，让学生进行练习，巩固学习效果.
29．3课题学习 制作立体模型
1．能根据简单物体的三视图制作原实物图形；(重点)
2．能根据实物图制作展开图，根据展开图确定实物图．(难点)
一、情境导入
下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的．
(1)指出其中哪些可折叠成多面体．把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案；
(2)画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等” 的；
(3)如果上图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？ 二、合作探究
探究点一：根据三视图判断立体模型 【类型一】 由三视图得到立体图形 如图，是一个实物在某种状态下的三视图，与它对应的实物图应是( )
解析：从俯视图可以看出直观图的下面部分为圆台，从左视图和主视图可以看出是一个站立的圆台．只有A满足这两点，故选A.
方法总结：本题考查三视图的识别和判断，熟记一些简单的几何体的三视图是解答本题的关键．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】 根据三视图判断实物的组成情况 学校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面
至少有( )
A．7盒 B．8盒 C．9盒 D．10盒
解析：观察图形得第一层有4盒，第二层最少有2盒，第三层最少有1盒，所以至少共有7盒．故选A.
方法总结：考查对三视图的掌握程度和灵活运用的能力，同时也考查空间想象能力． 变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型三】 综合性问题
如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图． (1)写出这个几何体的名称； (2)画出它的一种表面展开图；
(3)若从正面看的高为3cm，从上面看三角形的边长都为2cm，求这个几何体的侧面积．
解析：(1)只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱；(2)此几何体的表面展开图由三个长方形和两个三角形组成；(3)侧面积由3个长方形组成，它的长和宽分别为3cm和2cm，计算出一个长方形的面积，乘以3即可．
解：(1)正三棱柱； (2)如图所示：
(3)3×3×2＝18(cm2)．
答：这个几何体的侧面积为18cm2. 方法总结：本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的侧面积等相关知识，关键是知道棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第8题 探究点二：平面图的展开与折叠
【类型一】 根据展开图判断原实物体 如图所示为立体图形的展开图，请写出对应的几何体的名称．
解析：在本题的解答过程中，可以动手进行折纸，也可以根据常见立体图形的平面展开图的特征做出判断．
解：几何体分别为五棱柱、圆柱与圆锥．
方法总结：熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键． 变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第4题 【类型二】 判断几何体的展开图 如图所示的四幅平面图中，是三棱柱的表面展开图的有 ________(只填序号)．
解析：三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个矩形，根据题设可知①②③符合题意，故答案为①②③.
方法总结：本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
变式训练： 本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】 展开与折叠的综合性问题 如图是一个正方体的表面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体
的左面与右面标注的数相等．
(1)求x的值；
(2)求正方体的上面和底面的数字之和．
解析：(1)正方体的表面展开图，由相对面之间一定相隔一个正方形可确定出相对面，然后列出方程求解即可；(2)确定出上面和底面上的两个数字为3和1，然后相加即可．
解：根据正方体的表面展开图中相对面之间一定相隔一个正方形，可得“A”与“－2”是相对面，“3”与“1”是相对面，“x”与“3x－2”是相对面．
(1)∵正方体的左面与右面标注的数字相等，∴x＝3x－2，解得x＝1；
(2)∵标注了A字母的是正方体的正面，左面与右面标注的数字相等，∴上面和底面上的两个数字为3和1，∴上面和底面上的数字之和为3＋1＝4.
方法总结：本题主要考查了正方体相对两个面上的数字，注意正方体是空间图形，从相对面入手分析、解答问题．
变式训练： 本课时练习“课后巩固提升”第2题 三、板书设计 一、学习目的； 二、工具准备； 三、具体活动； 四、课题拓广．
三视图和平面展开图是以不同方式描绘立体图形的，它们在生产实际中有直接应用．了解这方面的例子，可以丰富实践知识，进一步认识三视图和平面展开图.
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