高考数学复习-正弦函数与余弦函数的图像与性质

A组

1．(2009年高考四川卷改编)已知函数f(x)＝sin(x－的是．

①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0，

π

]上是增函数 2

π

)(x∈R)，下面结论错误2

③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称④函数f(x)是奇函数 解析：∵y＝sin(x－

π

)＝－cosx，y＝－cosx为偶函数， 2

∴T＝2π，在[0，

π

]上是增函数，图象关于y轴对称．答案：④ 2

π

)－1是________． 4

2．(2009年高考广东卷改编)函数y＝2cos2(x－

①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期ππ

为的奇函数 ④最小正周期为的偶函数 22

ππ解析：y＝2cos(x－)－1＝cos(2x－)＝sin2x，∴T＝π，且为奇函数．

42

2

答案：①

3．(2009年高考江西卷改编)若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx，0≤x<的最大值为________．

解析：f(x)＝(1＋3·

sinxπ

)·cosx＝cosx＋3sinx＝2sin(x＋)， cosx6

π

，则f(x)2

∵0≤x<

πππ2πππ，∴≤x＋<，∴当x＋＝时，f(x)取得最大值2.答案：266362

2

4．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝的值为________．

解析：∵x＝＝3. 3

3 3

π

对称，3

ππππ

是对称轴，∴f(0)＝f()，即cos0＝asin＋cos，∴a12633

π

，则a12

答案：

5．(原创题)设f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关于直线x＝

它的最小正周期是π，则f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．

解析：∵T＝以有sin(2×

2π

＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线x＝

π

对称，所3

ωπππ＋φ)＝±1，∴φ＝k1π－(k1∈Z)，由sin(2x＋k1π－)＝0366ππππ＝k2π(k2∈Z)，∴x＝＋(k2－k1)，当k1＝k2时，x＝，∴f(x)612212

ππ

，0)．答案：(，0) 1212

得2x＋k1π－

图象的一个对称中心为(

3

6．(2010年宁波调研)设函数f(x)＝3cosx＋sinxcosx－.

2

2

(1)求函数f(x)的最小正周期T，并求出函数f(x)的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和．

31331

(cos2x＋1)＋sin2x－＝cos2x＋sin2x＝sin(2x22222

解：(1)f(x)＝

π

＋)， 3

πππ5

≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－π≤x≤kπ23212

故T＝π.由2kπ－π

＋， 12

5π

所以单调递增区间为[kπ－π，kπ＋](k∈Z)．

1212

πππ

)＝1，则2x＋＝2kπ＋(k∈Z)．于是x332

(2)令f(x)＝1，即sin(2x＋＝kπ＋

πππ

(k∈Z)，∵0≤x<3π，且k∈Z，∴k＝0,1,2，则＋(π＋)＋(2π121212

π13π

＋)＝. 124

13

π. 4

∴在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和为

B组

2π2

1．函数f(x)＝sin(x＋)＋sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是

323________．

2x2x2xπ

解析：f(x)＝cos＋sin＝2sin(＋)，相邻的两条对称轴之间的距

33342πT3π3π

离是半个周期，T＝＝3π，∴＝.答案：

22223

2．(2010年天津河西区质检)给定性质：a最小正周期为π；b图象关于直线xπ

＝对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab的是________． 3

xππ

①y＝sin(＋) ②y＝sin(2x＋) ③y＝sin|x| ④y＝

266

sin(2x－

π) 6

2π

ππππ－＝，所以x＝为对3623

解析：④中，∵T＝称轴．

答案：④

ω＝π，∴ω＝2.又2×

3．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)若

ππ

ππ2tan4x23

解析：1，令tanx－1＝t>0，则y＝tan2xtanx＝＝

421－tan2x2(t＋1)21

＝－2(t＋＋2)≤－8，故填－8.答案：－8 －tt2

4．(2010年烟台质检)函数f(x)＝sin2x＋2cosx在区间[－π，θ]上的最大值

3为1，则θ的值是________．

解析：因为f(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2＋2，2πππ

又其在区间[－，θ]上的最大值为1，可知θ只能取－. 答案：－ 322

2π2π

，]上单调33

5．(2010年苏北四市调研)若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－递增，则ω的最大值为________．

解析：由题意，得

2π2π333

≥，∴0<ω≤，则ω的最大值为.答案： 4ω3444

π

6．(2010年南京调研)设函数y＝2sin(2x＋)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，

3若x0∈[－

π

，0]，则x0＝________. 2

π)3

解析：因为图象的对称中心是其与x轴的交点，所以由y＝2sin(2x0＋

＝0，x0∈[－

πππ，0]，得x0＝－.答案：－ 266

π

，2

7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为直线x＝

π

是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________． 3

πππ

①y＝4sin(4x＋)②y＝2sin(2x＋)＋2③y＝2sin(4x＋)＋2 ④y＝

633π

2sin(4x＋)＋2

6

A＋m＝4

解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以

m－A＝0＝m＝2，又最小正周期为称轴，将x＝即φ＝kπ－

2π

，解得Aππ

＝，所以ω＝4，又直线x＝是其图象的一条对ω23

ππ4ππ

代入得sin(4×＋φ)＝±1，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，3332

5ππ

(k∈Z)，当k＝1时，φ＝.答案：④ 66

π

x的图象，若在区间[0，t]上至少有2个2

8．有一种波，其波形为函数y＝sin

波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．

解析：函数y＝sin5

则t≥T＝5.答案：5

4

9．(2009年高考安徽卷改编)已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________．

解析：∵y＝3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋

π

)，且由函数y＝f(x)与直线6

π

x的周期T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，2

y＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y＝f(x)的周期T＝π，∴T＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋得kπ－

2π

ω＝

ππππ

)．令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，6262

ππππ

≤x≤kπ＋(k∈Z)．答案：[kπ－，kπ＋](k∈Z) 3636

10．已知向量a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量b＝(cosωx,23)，其中ω>0，函数f(x)＝a·b，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f(x)的解析式；(2)若对任意实数x∈[

ππ

，]，恒有|f(x)－m|<2成立，求实数m的取值范围． 63

解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cos2ωx)·(cosωx,23)＝sin2ωx＋3(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋1

∴ω＝，

2

π

)＋3. 3

π2π)＋3.∵相邻两对称轴的距离为π，∴＝2π，32ω∴f(x)＝2sin(x＋

(2)∵x∈[－m|<2，

ππππ2π

，]，∴x＋∈[，]，∴23≤f(x)≤2＋3.又∵|f(x)63323

∴－2＋m－2＋m≤23，

2＋m≥2＋3，

ππ

，]，恒有|f(x)－m|<2成立，则63

解得3≤m≤2＋23.

11．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，3sin2x＋m)．

(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；

(2)当x∈[0，

π

]时，f(x)的最大值为4，求m的值． 6

π

)＋m＋1， 6

解：(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋3sin2x＋m＝2sin(2x＋2π

∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.

2

π2π]，[，π]． 63

在[0，π]上的单调递增区间为[0，

(2)当x∈[0，

ππ

]时，∵f(x)单调递增，∴当x＝时，f(x)取得最大值为66

m＋3，即m＋3＝4，解之得m＝1，∴m的值为1. 12．已知函数f(x)＝3sinωx－2sin

2

ωx2

＋m(ω>0)的最小正周期为3π，且当

x∈[0，π]时，函数 f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式；(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．

解：(1)f(x)＝3sinωx＋cosωx－1＋m＝2sin(ωx＋

2π

π

)－1＋m. 6

2

依题意，函数f(x)的最小正周期为3π，即＝3π，解得ω＝. ω3

2xπ

＋)－1＋m. 36

π2xπ5π12xπ

≤＋≤，≤sin(＋)≤1， 6366236

∴f(x)＝2sin(

当x∈[0，π]时，

2xπ

∴f(x)的最小值为m.依题意，m＝0.∴f(x)＝2sin(＋)－1.

36

2Cπ2Cπ

＋)－1＝1，∴sin(＋)＝1. 3636

(2)由题意，得f(C)＝2sin(

而

π2Cπ5π2Cππππ≤＋≤，∴＋＝，解得C＝.∴A＋B＝. 636636222

π

，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)． 2

－1±5

.∵0在Rt△ABC中，∵A＋B＝

∴2cos2A－sinA－sinA＝0，解得sinA＝5－1

. 2