初二数学 全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

总说明：

全等三角形问题主要是构造全等三角形，构造二条边之间相等，构造二个角之间相等 常见辅助线的作法有以下几种：

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

换中的“对折”法构造全等三角形．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的

思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂

线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平

移”或“翻转折叠”

5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条

线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连

线，出一对全等三角形。 其他方法有：

1.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

2.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

3. 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线

段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等

例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

ABDCAEFBDCAB 应用：

DEC

1、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，

BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及

数量关系．

（1）如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；

（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）

问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．

二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。

0ACBDADEBC03、如图，已知在VABC内，BAC60，C40，P，Q分别在BC，CA上，

A并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP B

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，

AQPC求证： AC180

0DBC

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 应用：

BPC12AD

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.

例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

AB四、借助角平分线造全等

DEC

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

EA

BODC

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长. 应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等

三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA

的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你

在(1)中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B

B M

E E D

F F D

P O

图①

AEBGCFDN

A

图② (第23题图)

C

A 图③

C

五、旋转

例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

F

BCE

例2 D为等腰RtABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1） 当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。 B

A E

CMA F NA

例3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三MNBCADD角形，且BDC120，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为 ；

2、已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

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