(完整版)含参数导数问题分类讨论(学生)

导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、 最值等，其 中渗透并充分利用着构造函数、 分类讨论、转化与化归、 数形结合等重要思想方法，导数常 作为高考的压轴题， 对考生的能力要求非常高， 它不仅要求考生牢固掌握基础知识、 基本技 能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。 而含参数的导数问题是近年来高考的难点 和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳．

一、分离参数，转化为最值策略 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a f x 恒成立，只须求出 f x max ，则 a f x max ；若 a f x 恒成立，只须求出 f x min ，则 a f x min ，转 化为函数求最值． 例 1、已知函数 f (x) xln x. (Ⅰ)求 f(x) 的最小值； (Ⅱ)若对所有 x 1都有 f (x) ax 1,求实数 a 的取值范围 .

二、导数为 0 的点是否在定义域内，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点， 从而引起讨论． 例 2. 已知 a 是实数，函数 f(x) x( x a) .

(Ⅰ)若 f (1) 3,求 a的值及曲线 y f(x)在点 (1, f (1)) 处的切线方程； (Ⅱ)求 f (x) 在区间 [0 ，2] 上的最大值．

三、导函数为 0 是否存在，分类讨论策略

求导后， 考虑导函数为零是否有实根 (或导函数的分子能否分解因式) ，涉及到二次方程 问题时，△与 0 的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关， 令△ =0，求分点，从而引起讨论．

例 3、已知函数 f (x) x x aln x ， (a R) ，讨论 f(x) 在定义域上的单调性． 四、导函数为 0 的方程的根大小不确定，分类讨论策略

求导后， 导函数为零有实根 (或导函数的分子能分解因式) , 导函数为零的实根也落在 定义域内， 但这些实根的大小关系不确定，分不了区间 ．所以必须分类， 通过令几个根相等 求分点，从而引起讨论 ．

2

2

2

例 4、已知 m 0 ，讨论函数 f (x)

mx 3(m

x1)x 3m 6 的单调性．

ex

练习

求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式） ，从而引起讨论。

一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式） ，但不知导函

数为零的 实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式） , 导函数为零

的实根 也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

1

1x

,x 1

1．08广东（理） 设 k R，函数 f（x）1x

,F(xf (x) kx,x R x 1,x )

试讨论函数 F（x） 的单调性。

2． （08 浙江理 ）已知 a 是实数，函数 （Ⅰ）求函数 f x 的单调区间；

Ⅱ）设 g a 为 f x 在区间 0,2 上的最小值。

i ）写出 g a 的表达式；（ ii ）求 a 的取值范围，使得 6 2。 g a

2

3（07 天津理）已知2ax a 1

2

R ，其中 a

x 1

函数 R 。

Ⅰ）当 a 1 时，求曲线

x 在点 2, f 2 处的切线方

Ⅱ）当y a 0 时，求函

值。

程； 数 x 的单调区间与极

4（07 高考山东理改编）设函数 2

x x2

bln x 1 ，其中 b 0 ，求函数 f x 点。

，

的极值

例 1、Ⅰ)略．

解：( Ⅱ)∵ 对所有

，

∴ 对所有 都有

1

记

含参数导数的解题策略

x 1都有 f (x) ax

1

例 2. 解：(I )

略． II )令

当

，即

当

时，

即

当

即

x 1xln x ax 1 ，即 a ln x 1

x

g(x)

g(x) ln x ,(x 0), 只需 a min.

x 111 . 0,令

g'(x) 2 解得 x g'(x) 0 x 1,g'(x) 0 1

xx .

∴ 当 x 1时， g(x) 取最g(11小值 ) . ∴ a 1.即 a的取值范围是 aa 1.

f

0

，解得

1

x1 0,x2

'(x) 2a

0 3

2a a 3 2

2a 3

0时， f (x)在［0 ，2］上单调递增，从而 fmax f (2) 8 4a．

3时， f (x)在［0 ，2］ 上单调max f (0) 0 ．

递减，从而

0

从

而

综上所

述，

例 解

3、 ： 1)

2a

23 ，

0 a 3，f(x)在 0, 上单调递减， 在 ,2 上单调递增，

33

2a2a

4a,0 a 2

max .

02a 3, a 2. . 4a

max ,

0a 2. , 2x2 x a

,(x 0) ， 由已知f (x) 2x 1 a

得 x

时8a 0 ， 1 当1 f (x) 0恒成立， f (x)在(0, )上为增函， a 8 数． 时2) 当1 8a 0 ， 1 ， 8

1 8a1 18a1 1 8a

0，f(x)在[ ,] 1 11 8a 1 2

1) 时， 0a 22 2 8 2

上为减函数，

f (x)在 (0, ],[2 , ) 上为增函数，

1 1

2

8a1 18a

2 )当 a 0时，

1 1 8a

0 ，

2

故 f (x)在 [0,

数，

]上为减函

1 1 8a

2

＋ ∞) 例

4、 得

1

f (x)在[ 1 1 8a ，＋∞) 上为增函

数．

1

综上，当 时， f(x)在 (0, )上为增函

数． a

2

8

当

0

1 8a 11 a 时，

数， f(x) 在[ 2 8

8a1 f (x) 在1(0, 1 ] 1 1 8a

]2 2 1

1

8a ]上为减函2

) 上为增函

数，

f(x)

f (x) 在当a 0

2 数， 时， (0，

上为增函

2数． (m3)x 3mx ，设 g(x) e mx2 (m ex

解： f

11 8a ] 上为减函

在 [

1 1 8a

，

2

(x)

3 ， x

x2 m

1) 当 0

3)x 3，令 g(x) 0 ，

1

．

3

x

1

3 1)， 3

3g(x) 0，即 f (x) 0，所以 f (x)在区间 ( ， 1)上是( ， 增函数； m

x

, 1) ，( 1, )上 g(x) 0，即 f (x) 0，又 2)当 m 31 x2 , 在区

时， f (x) 间 ( 在区间 在 x 1处连续，所以 f ( x)( , )上是减函数；

时， m

)，( 1, ) 上是减函数； 所以 f (x) 在

m 区间

在区间

x2 ，在区间 ( , ) ， 1, )上 g(x) 0，即 f (x) 0，

( m

3)当 m 3时， x1 x2 ,在区间 ( , 1) ，( ， )上 g(x) 0，即 f (x) 0， m

3

3

所以 f (x) 在区间 ( , 1) ，( ， ) 上是减函数；

m

33

在区间 ( 1， )上， g(x) 0，即 f (x) 0，所以 f(x) 在区间 ( 1， )上是增函

3

上为减函数，

f (x)在 (0, ],[2 , ) 上为增函数，

1 1

2

8a1 18a

mm

数．

1．

解：

考虑导函 数

一)若

练习

F

f ( x)

1

kx, x 1, kx 1 x ,F '(x) x 1 kx,x 1

1 k 1 x

2

1

2

, x 1

(x)

1x 2kx1

2x 1 ,x 1 2x1

0 是否有实根，从而需要F

'(x) 对参数

2

k 的取值进行讨

论。

有实时，

根，

对参数 分 因 此， (1) 当时，

数；

2) 当 时， 由

x 1，则 F

'( x)

0

F '( x)

1 k 1 x

2 。由于当 k 21 x

0时，F '(x) 0无实根，而当 k 0

k

k 0

k 0 和 0两种情况讨论。 F 0在( ,1)上恒成立， 所以函数 F(x) 在( ,1)上'( x) 为增函

k 0

F '(x)

1k 1x

2

2

11

k x 1 x 1 kk 2。 1x

F '(x) 0，得

1

由 ，得 因此，当 函数

时， 在

增函

数。 ，则 若

x

, x2

1 1

，因为 k 0，所x1 1 x2 。

以 k

1

k

F '(x) 0

1

1；由 F '(x) 0 ，得

x 1 F(x)

,1 1 ) 上为减函

数， k

。

1

0

k

(

在 (1 ,1) 上

为

x 1

F '(x)

1 2k x 1 由于当 k 0时， F '(x) 0 无实2x1 根，而

0F 0有实根，因此，对k分k 0和 k 0两种情况讨当k

时， '(x) 参数 论。

1) F '(x) 0在 1, 上恒成立，所以函数 F(x) 在 上为减当k 0

函 时， 1,

数；

k x 1

2) 当k 0时， F

'(x)

1 2k x 1

2x1

1

2k x1

；由 F '(x) 0 ，得 1 x 1 由 F '(x) 0 ，得 x 1 2

2

1 4k4k

2

因此，当 k 0 时，函F ( x) 在 1

2 上为减函数，在 1 数 1,1 2

为增函数。 4k

1

,

,4k2

综上所述：

1

在 1 1 0时，函数 F(x)在

1) 当k ,1 ) 上为减函数， (1 ,1)上为增函数， (

k

在

1,

上为减函数。

0时，函数 F(x)在 ,1) 上为增函

2) 当k

数，在 (

0时，函数 F(x)在 ,1) 上为增函

3) 当k 数，在 (

1, 上为减函数。

1

1,1 1

22 上为减函数，4k

1

1 2 ,

24k

1

上为增函数。

2． 解： (Ⅰ )函数

3 x

的 定义 域为

0, ，

a

xa x

3

a

由 f

。 'x'2x 2x 0， ( x) 0得x f x 2 x 3 '

f (x) 的定义域 内，需对参a 的取值a

a 0 及 a 0 数 考虑 是否落在导函0, 分

两种情况进行讨论。

3x a

1) 当a 0 时，则 f

0 在 0, 上恒成立，所f x 的单调递增区间

'

( x)

以

为

0,

0

。

'

a' f a x。 '2) 当a 由 得 0 ，得 x 3 ；由 f (x) 0 3

时， ( x)

0 ，

因的单调递增区间0 时， x 的单调递减区间为 0,

a此， 当a 为 ， f x f

Ⅱ）（i ）由第（Ⅰ）问的结论可知：

1） 当 a 0 时， f x 在 0, 上单调递增，从而 f x 在 0,2 上单调递增，

所以 g a f 0 0。 2） 当 a 0

x 在 0, 上单调递减，在 ,

33

aa

上单调递增，所以：

aa

x 在 0, 上单调递减，在 ,2 上单调递 ① 0,2 即0 a 6，f 当a

3

增，

所以 g

af

② 当a

2,

3

ga

f2

综上所述， g a

33

a

2a3

a 2a 3a 3

3 3

9

即 a6

时，f x 在 0,2 上 单 调

2 2 a。

递 减 ， 所 以

（ ii ）令 6 g a 2 。 ①若 a 0，无解；

2a a

②若 0 a 6，由 6

2 解得 3 a 6 ；

33

③ 若 a 6 ，由 6 2 2 a 2解得 6 a 2 3 2 。

综上所述， a 的取值范围为 3 a 2 3 2 。

3、 解 ：（ Ⅰ ） 1 时 ， 曲 线 y f x 在 2,f 2 处 的 切 线 方 程 当 a 点 为 6x 25y 32 0 。

22

1

2a x a x

。 2 2

x1

Ⅱ）由于 a 0 ，所以

f

'x

2a x 1 2x 2ax a

22x 1 x1

1

1 '

由 f x 0，得 x1

'

,x2 a 。这两个实根都在定义域 R内，但不知它们之间的大 a

小。因此，需对参数 a的取值分 a 0和 a 0两种情况进行讨论。

x 2x 2x 2x b ，

x1 x1

b

2

4、解：由题意可得 x f 的定义域为 1,

的分母

1在定义

域

x

1,

上恒为

0 是否有实根，需要对b 的取值进行讨论。 b 2

正， 方程 2x 2x

12

0， 时，方程 2x 2 x b 0 无实根或只有唯一根 （1）当

4 8b 即 2

所以 g 2

1

2

，

x 2 x 2x b

上单

2

上恒成

x 0 在 1, 上恒成立， 所以函数 f x 在 1, 则

立， f 在 1,

调递增，从而函数

x在 1, 上无极值点。

f

2）当

4 8b 0，即 b

1 1 2b

, x2 2

12

时，方程 2x 2x b 0 ，即 f x 0 有两个不相等的

2

实根： 1

x

1 1 2b 。

内呢？又需要对参数 b 的取值分情况作如下讨论：

这两个根是否都在定义域 1,

x

1

1, , x2 1,

1 1 2b

x

1

22

1,x2

1 1 2b

1 ， 所 以

内为减函数，在

（1）

当 a 0 时，则

1

x2 。易得 f x 在区间 , x1

a 11

2a ；函数 f x 1 区间 , a 为增函数。 故函数 f x 在 x1 处取得极小f

a a a

a 处取得极大值 f 在

1。 x2 a

1当 a 0 时，则 x2 。易得 f x 在区间 ） 内为增函数，( , （2） a

在区 x（ ,a） ，

a

， a,

间

1

(a, ） 为减函数。 f x 在 x

1

处取得极小值

1

a ；函数 f x

在

2

a a

a

2

f a 1。 xa 处取得极大值

此时， f x 与 f x 随 x 的变化情况

'

x 1,x2 x2 x2, f x 递减 '0 极小值 递增 fx 1 1 2b 2 1,x2

1 1 2b 2

1，所以

由此表可知：当 b 0 时， f x 有唯一极小值

x

1 1

ⅱ ) 当 0 b 2 时 ， x1

x1 1,

'

1 1 2b 2

,x2 1,

此时， f x 与 f x 随 x 的变化情况如下表：

x 1,x1 x1 x1,x2 x2 x2, f x 递增 '0 极大值 递减 1

0 极小值 递增 fx 1 1 1 2b

1

由此表可知：当 0 b 2 时， f x 有一个极大值点 x1

1 2b2

和一个极小值点

1 1 2b 2

综上所述： （1） 当 b 0 时，

x2

1 1 2b

x 有唯一极小值点 x 1 1 2b

2

1 1 2b

和一个极小值点

2

2) 当 0 b 时 ，

1

1

2

3） 当 b 时， f x 无极值点。

2