设函数满足：⑴在闭区间上连续；
⑵在开区间内可导；
⑶对任意，，那么内至少有一点，使得
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。
在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。
因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。
我将从两方面对其进行解释：
1.几何理解 在满足定理条件的前提下，函数f(x)上必有一点的切线与处对应的两点
和
点的连线平行）
，等号前为
在
对应两点的连线斜率，等号后为斜率相等，两线平行。
上一点的导数的值，也就是上一点的斜率，两
2.代数理解 我们将函数求导，得到，众所周知f'(x)函数记录的其实就是函
数在每一个瞬间的变化状态。即，在这一瞬间数在
进行了程度为
这一瞬间进行了程度为变化到函数在
的变化，在
函
的变化……。函数由的过程，其实就是
区间中记录的变化状态的依次累加，就是对区间的值进行积分的过
程。那么，将这一过程中所有的变化状态的值一起取一个平均，这个平均值的数值一定在
的某一点上出现过（即
），因为
连续，则其导数也连续。这个平均值乘上变化
。即所谓的必有一内
，
的区间（a到b）的长度 就等于这个 变化的变化量使
区间长度。
。即，
上
函数的变化量=
函数变化状态的平均值乘以
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