平面几何问题选讲

竞赛中的平面几何试题通常以直线、三角形、四边形、圆等基本图形为载体，题型多样，出现得较多的有证明题、计算题、轨迹题、作图题等.一般来说，计算题、轨迹题、作图题都离不开严格的几何推理和证明，所以证明题是平面几何问题的核心.几何证明题一般又可分为三大类：

第一类是位置型问题，如证明两线平行、两线垂直、点共线、线共点、点共圆、圆共点、线与圆相切（或相交）、圆与圆相切（或相交），或证明某点是特殊点、某图形是特殊图形，等等； 第二类是等式型问题，如证明角相等、线段相等、图形的面积相等，或证明某些关系式成立，等等；

第三类是不等式型问题，如证明某些几何量（线段长、角、面积）的大小关系式或某些复杂的几何不等式，等等.

解决平面几何问题的方法多种多样，除了常用的分析法、综合法外，还有反证法、同一法、复数法、解析法、三角法、代数法、面积法、割补法、归纳法、几何变换法、构造法等.

解决平面几何问题，还经常需要用到三角形的“五心”（ 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心）的性质以及平面几何中的一些重要定理（正弦定理、余弦定理、圆幂定理、梅内劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理、蝴蝶定理、欧拉定理等）.

1. 梅涅劳斯(Menelaus)定理 △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，且有奇数个点在边的延长线上，则P、Q、R共线的充要条件是

2. 塞瓦(Ceva)定理 △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，且有偶数个点在边的延长线上，则AP、BQ、CR共点的充要条件是

3. 托勒密(Ptolemy)定理 设四边形ABCD内接于圆，则它的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积，即ABCDADBCACBD.

托勒密(Ptolemy)定理的推广 在四边形ABCD中，有ABCDADBCACBD.当且仅当四边形ABCD为圆的内接四边形时等号成立.

4. 西姆松(Simson)定理 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上.

5. 斯德瓦特定理 设P是△ABC的边BC上任意一点，则

BPAC2BPPCCQQAARRB1.

BPPCCQQAARRB1.

CPAB2BCAP2BPCPBC.

6. 欧拉定理 设△ABC的外心、重心、垂心分别为O,G,H，则O,G,H三点共线，且GH2OG.

【典型例题】

例1 证明：锐角三角形ABC的垂心H是垂足三角形DEF的内心.

相关题：（第一届女子奥赛试题）设△ABC为锐角三角形，AD、BE、CF是它的三条高，证明：垂足三角

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形DEF的周长不超过△ABC的周长的一半.

例2 设O、H分别是△ABC的外心和垂心，M是BC边的中点，求证：AH＝2OM.

例3 设G、H、O分别为△ABC的重心、垂心和外心，证明：G、H、O三点共线，且HG＝2GO.

例4 设H为锐角三角形ABC的垂心，已知A30，BC3，则AH_____..

例5 （2003年IMO预选题）如图所示，已知△ABC内一点P，设D、E、F分别为点P在边BC、CA、AB上

22的投影.假设AP2PD2BP2PE2CPPF,且△ABC的三个旁心分别为IA,IB,IC.证明：P是△

IAIBIC的外心.

例6 （1997年全国联赛试题）如图，已知两个半径不相等的圆O1与圆O2相交于M、N两点，且圆O1、圆O2分别与圆O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。

BD

例7 在四边形ABCD中，AB、CD的中垂线相交于P，AD、BC的中垂线相交于Q，M、N分别是AC、BD的中点。求证：PQ⊥MN。

例8 (2004年新加坡)设AD是⊙O1和⊙O2的公共弦，过D的直线交⊙O1于B，交⊙O2于C.E是线段AD上异于A和D的点，连接CE交⊙O1于P和Q，连接BE交⊙O2于M和N.证明：

（1）P、Q、M、N四点共圆，设其圆心为O3； （2）DO3BC.

例9 在△ABC中，O为外心，I为内心，AB＜AC，AB＜BC，D和E分别是边AC，BC上的点，且满足AD=AB=BE，求证：IO⊥DE.

例10 （2003年国家集训题） 凸四边形ABCD的对角线交于点M，点P、Q分别是△AMD和△CMB的重心，R、S分别是△DMC和△MAB的垂心.求证：PQ⊥RS.

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CFPEA例11 （2004年德国）已知圆内接四边形ABCD的两条对角线的交点为S，S在边AB、CD上的投影分别为点E、F.证明：EF的中垂线平分线段BC和DA.

例12（2000年试题）如图，在锐角△ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FMAB, FNAC(M,N是垂足)，延长AE交△ABC的外接圆于点D。证明：四边形AMDN与△ABC的面积相等。

MA

BEFNC

例13 （2003年全国联赛试题）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割

线，切点为A，B，所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．

例14 （1998年全国联赛试题）设O、I为△ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上，AB≠AC.求证：△ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径.

例15 （2006全国联赛试题）以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i0,1）. 在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，Q交CB的延长线于Q；B0P0为半径作圆弧P以C1为圆心，C1Q0为01000P交BA的延长线于P；以B为圆心，BP为半径作圆半径作圆弧Q1111101Q交BC的延长线于Q；P，C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q弧P101以1110 DP

A Q D C B

AOIBDPKFCO'交AB0的延长线于P0. 试证：

Q与PQ相内切于P； （1）点P0与点P0重合，且圆弧P00001（2）四点P0,Q0,Q1,P1共圆.

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例16 （首届中国东南地区数学竞赛）设点D为等腰ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E.

求证：CDEFDFAEBDAF (1)

EBA F D C

例17 （2003年IMO预选题）如图所示，已知直线上的三个定点依次为A、B、C，为过A和C且圆心不在AC上的圆.分别过A、C两点且与圆相切的直线交于点P，PB与圆交于点Q.证明：∠AQC的平分线与AC的交点不依赖于圆的选取.

例18 （2007年全国联赛试题）如图8，在锐角△ABC中，ABA上的高，P是线段AD内一点.过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F.O1、

EO2分别是△BDF、△CDE的外心.求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是

FP△ABC的垂心.

O2 O1 DCB

例19 （2004年丝绸之路）已知△ABC的内切圆⊙I与边AB和AC内切于点AP和Q，BI和CI分别交PQ于K和L.证明：△ILK的外接圆与△ABC的内切圆相切的充要条件是AB＋AC＝3BC.

例20 （2003年亚太）假设ABCD是边长为a的正方形纸板，平面上有两条距离为a的平行线l1和l2，将正方形放在这个平面上，使得边AB和AD与l1的交点分别为E和F，边CB，CD与l2的交点分别为G和H，设△AEF和△CGH的周长分别为m1,m2.证明：无论怎样放置正方形纸板ABCD，m1m2都是定值.

例21 （2002年全国联赛试题）如图7，在△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN，求

MHNHOHBDPLIKQC的值.

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