最新高考数学精练：第一章 计数原理 习题课试卷含答案

A组

1.已知(a+b)展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于( )

n

A.11 C.9

B.10 D.8

解析:∵只有第5项的二项式系数最大,

∴+1=5.

∴n=8.

答案:D

2.A.-20 C.5

的展开式中xy的系数是( )

B.-5 D.20

23

解析:由已知,得

Tr+1=(-2y)=r(-2)xy(0≤r≤5,r∈Z),

r5-rr令r=3,得T4=故选A. 答案:A

(-2)xy=-20xy.

32323

3.使A.4 C.6

(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为( ) B.5 D.7

解析:由二项式的通项公式得Tr+1=3以n最小值为5. 答案:B

n-r,若展开式中含有常数项,则n-r=0,即n=r,所

- 1 -

4.设函数f(x)=A.-20

B.20

则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( ) C.-15

D.15

解析:当x>0时,f(x)=-<0,则

f[f(x)]=3-r=0,得r=3,此时T4=(-1)答案:A

3

.Tr+1==-20.

)·

6-r=(-1)r=(-1)rx3-r.令

5.已知2×10+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为 .

解析:根据题意,由于2×10+a=2×(11-1)+a,由于2×10+a(0≤a<11)能被11整除,根据二项式定理展开式可知,2×(11-1)被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知

10

10

10

10

10

a=9.

答案:9

6.若(2x-3)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x+a5x,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于 . 解析:在已知等式两边对x求导,得5(2x-3)×2=a1+2a2x+3a3x+4a4x+5a5x,令x=1,得

4

2

3

4

5

2

3

4

5

a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5×(2×1-3)4×2=10.

答案:10

7.在(3x-2y)的展开式中,系数绝对值最大的项为 . 解析:设系数绝对值最大的项是第r+1项,则

20

所以·3·2·x·y.

12

8

12

8

所以当r=8时,系数绝对值最大的项为T9=答案:T9=·3·2·x·y

12

8

12

8

8.导学号43944020已知(+3x)的展开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 解令x=1,

则展开式中各项系数和为(1+3)=2.

n2n2n - 2 -

又展开式中二项式系数和为2n,

∴=2n=32,n=5.

(1)∵n=5,展开式共6项,

∴二项式系数最大的项为第三、四两项,

∴T3223=)(3x)=90x6

,

T223

4=)(3x)=270

.

(2)设展开式中第k+1项的系数最大,

则由T5-k2k+1=)(3x)k=3

k,

得

∴≤k≤,

∴k=4,

即展开式中系数最大的项为T25=)(3x)4

=405

.

9.求证:3n>(n+2)·

(n∈N+,n>2).

证明因为n∈N+,且n>2,

所以3n=(2+1)n展开后至少有4项. (2+1)n=2n+·2n-1

+…+·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1

,

故3n>(n+2)·2n-1

(n∈N+,n>2). 10.求证:1+2+22

+…+(n∈N+)能被31整除.

证明∵1+2+22

+…+

=-1=32n-1

=(31+1)n-1 =·31n+·31n-1

+…+·31+-1

- 3 -

=31(

显然

·31+·31+n-1

n-1

·31+…+·31+…+n-2

n-2

), 为整数,

∴原式能被31整除.

B组

1.若(x+y)按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是( )

9

A. B.

C. D.(1,+∞)

9

解析:二项式(x+y)的展开式的通项是

Tr+1=·x·y.

9-rr依题意,有

由此得

解之,得x>1,即x的取值范围为(1,+∞). 答案:D

2.(2016·湖北孝感高中高二上学期期中考试)2 015A.1 C.5 解析:2 015

2 015

2 015

除以8的余数为( )

B.3 D.7

=(2 016-1)2 015=2 0162 015+2 016

2 014

(-1)+…+1

(-1)

2 015

,倒数两项和

为2 015×2 016-1,其除以8的余数为7,因此2 015答案:D

3.x=a0+a1(x-1)+…+a8(x-1),则a7= . 解析:x=[1+(x-1)]=答案:8

8

8

8

8

2 015

除以8的余数是7.

(x-1)+…+(x-1)+(x-1),∴a7==8.

78

4.(2x-1)展开式中x的奇次幂项的系数之和为 . 解析:因为(2x-1)=a0+a1x+a2x+…+a10x,

10

2

10

10

- 4 -

令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1, 再令x=-1,得3=a0-a1+a2-a3+…+a10,

10

两式相减,可得a1+a3+…+a9=.

答案:

5.设的展开式的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x围成图形的面积

2

为 . 解析:Tr+1=xx=xr-32r3r-3

,令r=1,得a=3,直线y=3x与曲线y=x的交点坐标为(0,0)和(3,9),

2

∴直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积

S=(3x-x)dx=2

.

答案:

6.导学号43944021设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x+…+anx.2n若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .

解析:由题意得a1==3,

∴n=3a;a2=∴n2-n=8a2.

=4,

将n=3a代入n-n=8a得9a-3a=8a,即a-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3. 答案:3 7.求证:3

2n+2

22222

-8n-9(n∈N+)能被整除.

- 5 -

分析可将32n+2

写成(8+1)n+1

的形式,然后利用二项式定理展开,整理可得结果.

证明3

2n+2

-8n-9=(8+1)n+1-8n-9

=8n+1

+8n+…+82

+8+-8n-9

=8n+1

+8n+…+82

+(n+1)8+1-8n-9 =8n+1

+8n+…+82

=(

8n-1

+8n-2

+…+),

所以3

2n+2

-8n-9(n∈N+)能被整除.

8.导学号43944022已知在二项式(axm+bxn)12

中,a>0,b>0,mn≠0且2m+n=0. (1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项? (2)在(1)的条件下,求的取值范围. 解(1)设T-kk+1=(axm)

12·(bxn)k

=a12-kbkxm(12-k)+nk为常数项,

则有m(12-k)+nk=0, 即m(12-k)-2mk=0.

∵m≠0,∴k=4,∴它是第5项.

(2)∵第5项是系数最大的项,

∴由①得,由②得,

∴.

- 6 -