2021_2022学年新教材高中数学第三单元函数3.1.1.3函数的表示方法学案新人教B版必修第一册

第3课时 函数的表示方法

导思 1.函数的表示方法有哪些？ 2.任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？ 函数的表示方法 解析法 图像法 列表法 用代数式(或解析式)表示两个变量之间的对应关系 用函数的图像表示两个变量之间的对应关系 用列表的形式来表示两个变量之间的对应关系 本质：①解析法就是用等式来表示两个变量之间关系的方法，这个等式常叫做函数的解析表达式，简称解析式．

②列表法所列表反映了两个变量具有的函数关系，其判断依据仍是函数的定义．

③函数的图像不但可以是一条直线或一条曲线，也可以是一些点、一些线段、一些射线等．要作出更精确的图像，常常需要描出更多的点．

函数的三种表示方法各有什么优、缺点？ 提示： 解析 法 列表 法 图像 法 优点 ①简明、全面地概括了变量间的关系； ②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).

(1)任何一个函数都可以用图像法表示．( × ) 提示：有的函数是不能画出图像的，

一般只能表示部分自变量的函数值 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大 不够形象、直观 缺点 1，x∈Q如f(x)＝

－1，x∈RQ.

(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( × )

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提示：并不是所有的函数都可以用解析式表示． (3)函数的图像一定是一条连续不断的曲线．( × )

1

提示：有些函数的图像不是一条连续不断的曲线，如f(x)＝x的图像就不是连续的曲线． 2．(2021·某某高一检测)某同学骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因红灯停留了一段时间，然后加快速度赶到了学校，下列各图中，符合这一过程的是( )

【解析】选D.中间停留了一段时间，中间有一段图像与时间轴平行，排除AC，后来是加速行驶，因此图像越陡峭，排除B，只有D符合．

x13．(教材例题改编)如果fx＝

1－x，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝( ) 1111A．x B． C． D．x－1

x－11－x11

【解析】t＝x，所以x＝t，

1＝1t－1， 1－t1t

所以f(t)＝

1

所以f(x)＝.

x－1

类型一 列表法表示函数(逻辑推理、数算)

1．观察下表：

x f(x) g(x) －3 4 1 －2 1 4 －1 －1 2 1 －3 3 2 3 －2 3 5 －4 - 2 - / 11

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则f(g(2))－f(－1)＝( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【解析】选A.g(2)＝－2，f(－2)＝1，f(－1)＝－1， 所以f(g(2))－f(－1)＝f(－2)－f(－1)＝1－(－1)＝2. 2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出

x f(x)

x g(x) 1 3 2 2 3 1 1 2 2 3 3 1 则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________． 【解析】f(g(1))＝f(3)＝1，

因为g(f(x))＝2，所以f(x)＝2，所以x＝1. 答案：1 1

列表法表示的函数的求值问题的解法

解决此类问题关键在于弄清表格中每一个自变量x与y的对应关系，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求自变量x时，则由外向内逐层求解．

类型二 图像的画法及应用(直观想象)

【典例】作出下列函数的图像并求出其值域． (1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}． 2

(2)y＝x，x∈[2，＋∞). (3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2).

【思路导引】描点法作函数图像⇒数形结合求出函数值域． 【解析】(1)列表

x y 0 0 1 －1 －2 2 3 －3 函数图像只是四个点(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域为{0，－1，2，－3}．

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(2)列表

x y 2 1 3 23 4 12 5 25 … … 2当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝x 的一部分，观察图像可知其值域为(0，1].

(3)列表

x y －2 0 －1 －1 0 0 1 3 2 8 画图像，图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．

由图可得函数的值域为[－1，8).

描点法作函数图像的三个关注点

(1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．

(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实

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心点还是空心圈．

画出下列函数的图像：

(1)y＝x＋1(x≤0).(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1).

【解析】(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图像如图(1).

(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线．如图(2).

【拓展延伸】

常见函数图像变换

1．平移变换

(1)形如y＝f(x＋a)，把函数y＝f(x)的图像沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a| 个单位，就得到y＝f(x＋a)的图像．

(2)形如y＝f(x)＋a，把函数y＝f(x)的图像沿y轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a| 个单位，就得到y＝f(x)＋a的图像． 2．对称翻转变换

(1)形如y＝f(－x)，其函数图像与函数y＝f(x)的图像关于y轴对称． (2)形如y＝－f(x)，其函数图像与函数y＝f(x)的图像关于x轴对称． (3)形如y＝－f(－x)，其函数图像与函数y＝f(x)的图像关于原点对称．

(4)形如y＝f(|x| )，其图像是关于y轴对称的，在y轴的右侧，它的图像与函数y＝f(x)位于y轴右侧的图像重合，然后将y轴右侧的图像沿y轴翻折到左侧，就得到y＝f(|x| )的图像． (5)形如y＝|f（x）| ，将函数y＝f(x)的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的部分不变，就得到函数y＝|f（x）| 的图像． 【拓展训练】

画出下列函数的图像．

(1)y＝|x2－2x－3|.(2) y＝x2－2|x|－3.

【解析】先作出y＝x2－2x－3的图像，由图像变换的性质画出两个函数的图像如图所示．

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类型三 求函数的解析式(数算、逻辑推理)

待定系数法求函数解析式

【典例】(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式． 【思路导引】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，根据题意列方程组求a，b. 【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b] ＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21， 所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.

(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式． 【思路导引】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，根据题意列方程组求a，b，c. 【解析】因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由f(0)＝1，得c＝1.

又因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.

本例(2)条件“f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x”改为“f(1－x)＝f(1＋x)，f(2)＝1，f(1)＝3，”如何求f(x). 【解析】由f(1－x)＝f(1＋x)且f(1)＝3， 可设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)， 又f(2)＝a(2－1)2＋3＝1，故a＝－2， 所以f(x)＝－2x2＋4x＋1.

换元法(或配凑法)求函数解析式

【典例】(2021·某某高一检测)(1)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝2且f(x＋1)＝f(x)＋2x＋2，求f(x)的表达式；

【思路导引】运用代入法，结合等式恒成立进行求解即可；

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【解析】由f(0)＝2，可得c＝2， 所以f(x)＝ax2＋bx＋2， 因为f(x＋1)＝f(x)＋2x＋2，

所以有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2＝ax2＋bx＋2＋2x＋2，

2a＝2，a＝1

化简得2ax＋a＋b＝2x＋2⇒⇒ .

a＋b＝2b＝1

所以f(x)＝x2＋x＋2；

(2)已知f(x )＝x＋2x ，求f(x)的表达式． 【思路导引】运用换元法进行求解即可． 【解析】令x ＝t(t≥0)， 所以x＝t2，于是有f(t)＝t2＋2t， 因此f(x)＝x2＋2x(x≥0).

方程组法求函数解析式

1【典例】已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2fx ＋3x，则f(x)的解析式为________．



11【思路导引】分析已知等式的特点，用x 代换式中的x，构建关于f(x)和fx 的方程组，解方



程组求出f(x).

1【解析】由题意知函数y＝f(x)满足f(x)＝2fx ＋3x，



11即f(x)－2fx ＝3x，用x 代换上式中的x，

31可得fx －2f(x)＝x ，



＝3x，

f（x）－2fx

联立得，

13－2f（x）＝，fxx

2

解得f(x)＝－x－x (x≠0). 2

答案：f(x)＝－x－x (x≠0)

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1

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函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，可用待定系数法．

(2)换元法：已知函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值X围．

1(3)解方程组法：已知f(x)与fx 、f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等

式组成方程组，通过解方程组求出f(x).

(1)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.

【解析】由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x，可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立

f（x）－2f（－x）＝1＋2x，可得消 去f(－x)，

f（－x）－2f（x）＝1－2x，

2

可得f(x)＝3 x－1. 2

答案：3 x－1

1(2)已知函数f(x) 满足f(x)＋2fx ＝x(x≠0)，则f(x)＝________． 

11【解析】f(x)＋2fx ＝x(x≠0)，令x＝x ，

11得fx ＋2f(x)＝x .



1于是得关于f(x)与fx 的方程组 



11

fx＋2f（x）＝x．

2x

解得f(x)＝3x －3 (x≠0). 2x

答案：3x －3 (x≠0)

1．图中的图像所表示的函数的解析式为( )

1f（x）＋2fx＝x，

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3

A．y＝2 |x－1|(0≤x≤2) 33

B．y＝2 －2 |x－1|(0≤x≤2) 3

C．y＝2 －|x－1|(0≤x≤2) D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)

3【解析】选B.可将原点代入，排除选项A，C；再将点1，2 代入，排除D项． 

2．(2021·某某高一检测)已知函数f(x ＋2)＝x＋4x ＋5，则f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋1(x≥2) C．f(x)＝x2D．f(x)＝x2(x≥2)

【解析】选B.令x ＋2＝t，则t≥2， x＝(t－2)2，x ＝t－2，

所以f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＋5＝t2＋1(t≥2)， 即f(x)＝x2＋1(x≥2).

3．已知二次函数f(x)的图像经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f(x)的解析式为__________. 【解析】设所求解析式为f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)， 因为抛物线过点(－3，2)，所以2＝a＋3. 所以a＝－1，

所以f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1. 答案：f(x)＝－x2－4x－1

4．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为________． 【解析】令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R， 原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1) ①.

以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t) ②. 2

由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋5，

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2

所以f(x)＝2x＋5. 2

答案：f(x)＝2x＋5

1．如果一次函数f(x)的图像过点(1，0)及点(0，1)，则f(3)＝( ) A．－3 B．－2 C．2 D．3

【解析】f(x)＝kx＋b，其图像过点(1，0)、(0，1)，

k＋b＝0，所以解得k＝－1，b＝1；

b＝1，

所以f(x)＝－x＋1，所以f(3)＝－3＋1＝－2.

2．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是( )

B．这天3时的温度最低

C．这天的最高温度与最低温度相差13℃ D．这天21时的温度是30℃

【解析】选C.这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14(℃)，故C错． 3．(教材练习改编)由表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )

x f(x) A.1 B．2 C．4 D．5 【解析】f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.

4．(2021·某某高一检测)设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是________． 【解析】由题意，g(x＋2)＝2x＋3， 设t＝x＋2，则x＝t－2，

- 10 - / 11 1 4 2 5 3 3 4 2 5 1 word 所以g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1， 所以g(x)＝2x－1. 答案：g(x)＝2x－1

5．若一次函数f(x)是减函数，且满足f(f(x))＝16x－3，则f(x)＝________． 【解析】由一次函数f(x)是减函数， 可设f(x)＝kx＋b(k<0).

则f(f(x))＝kf(x)＋b＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b， 因为f(f(x))＝16x－3，

2k＝16，k＝－4，所以解得

kb＋b＝－3，b＝1，

所以f(x)＝－4x＋1. 答案：－4x＋1

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