北师大版九年级数学上册 第 4.4.1：两角分别相等的两个三角形相似 同步练习题

第4章图形的相似

4. 4.1两角分别相等的两个三角形相似

培优训练卷

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法中，正确的是( ) A．所有直角三角形都相似 B．所有等边三角形都相似 C．全等三角形不一定是相似三角形 D．两个钝角三角形一定相似

2．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为( ) A．3 cm

B．4 cm D．5 cm

C．4.5 cm

3．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形( )

A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．不能确定

4．如图，四边形ABCD是矩形，E点在AD上，F点在DC上，且∠BEF＝90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中一定相似的是( ) A．Ⅰ和Ⅲ B．Ⅰ和Ⅳ C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅲ和Ⅳ

5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是( ) A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABC C．△BCD∽△ABC

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D．△BCD∽△BAC

6. 如图所示的三个三角形，相似的是( ) A．甲、乙 C．乙、丙

B．甲、丙 D．甲、乙、丙

7. 如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为( ) A．2 C．6

B．4 D．8

8．如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形共有( ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

9．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F则EF∶FC等于( ) A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2

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10. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边的中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为( ) A．6 C．10

B．8 D．12

二．填空题（共8小题，3*8=24）

11．如图，若∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，且

ABBCAC

＝＝，则____________________. A′B′B′C′A′C′

12. 如图，已知△AOC∽△BOD，且两个三角形的边长如图所示，则x的值为___________.

13. 如图，△ABC∽△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠EAB＝_______.

14．在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有____条．

15. 如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝6，BC＝8，AE＝4，则DE＝____．

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16. 如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD. 若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，则 AC的长是________．

17．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E是DC上一点，∠DAE＝∠BAC，则EC的长为_____.

18. 如图，E为平行四边形ABCD的边DC延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE交BC，BD于点F，G.若BD＝12 cm，则DG=_________．

三．解答题（共7小题，46分）

19．(6分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.求证：△BDE∽△CAD.

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20．(6分) 如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°. 求证：△EBF∽△FCG.

21．(6分) 如图，在的正三角形ABC中，∠ADE＝60°，求证：AE△ABD∽△DCE．

22．(6分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于D. (1)求证：△ABC∽△BCD； (2)求证：BC2＝CD·CA.

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23．(6分) 如图，△PMN是等边三角形，∠APB＝120°，求证：AM·PB＝PN·AP.

24．(8分) 如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F. (1)求证：△ABD∽△DCF；

(2)除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．

25．(8分) 如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°.

(1)若将△DEP的顶点P放在BC上(如图1)，PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G.求证：△PBG∽△FCP；

(2)若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图2)，PD、PE与BC相交于点F、G.试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？

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参：

1-5BCCBC 6-10ABCDD 11. △ABC∽△A′B′C′ 12. 2 13. 60° 14. 3 15.

16

3

16. 23 317.

218. 8 cm

19. 证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C. 又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°， ∴△BDE∽△CAD

20. 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°， ∵∠EFG＝90°， ∴∠BFE＋∠CFG＝90°， ∴∠BEF＝∠CFG， ∴△EBF∽△FCG

21. 解：∵△ABC为边长为9的等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAD＋∠ADB＝120°. 又∵∠ADE＝60°， ∴∠CDE＋∠ADB＝120°. ∴∠BAD＝∠CDE. ∴△ABD∽△DCE.

22. 解：(1)∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°. 又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠A＝36°， ∠C＝∠ABC＝72°，∴△ABC∽△BCD

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ABBC

(2)∵△ABC∽△BCD，∴＝.

BCCD∵AB＝AC，∴BC2＝CD·CA 23. 证明：∵△PMN是等边三角形， ∴∠PMN＝∠PNM＝60°＝∠MPN.

∴∠A＋∠APM＝60°， ∠AMP＝∠PNB＝120°. ∵∠APB＝120°，∴∠APM＋∠NPB＝60°. ∴∠A＝∠NPB.∴△PMA∽△BNP. ∴AM∶PN＝AP∶PB， ∴AM·PB＝PN·AP

24. 解：(1)证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，

∴∠ADB＋∠EDC＝∠EDC＋∠DFC＝180°－60°＝120°， ∴∠ADB＝∠DFC，∴△ABD∽△DCF

(2)除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有： △AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF， △ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD

25. 证明：(1)∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°. ∴∠BPG＋∠CPF＝135°.在△BPG中，

∵∠B＝45°，∴∠BPG＋∠BGP＝135°.∴∠BGP＝∠CPF. ∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP (2)△PBG与△FCP相似．理由如下：

∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°. ∵∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，∠CPF＝∠FPG＋∠CAG＝45°＋∠CAG， ∴∠BGP＝∠CPF.

∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP

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