动力学有限元模型的模糊评估

2006年6月

　　　　　Jun.2006

JournalofNanjingUniversityofAeronautics&Astronautics

南　京　航　空　航　天　大　学　学　报

Vol.38No.3

动力学有限元模型的模糊评估

张安平　王　轲

(南京航空航天大学航空宇航学院,南京,210016)

摘要:由于结构动力学有限元模型的评估具有主观性,本文将模糊数学有关理论应用于动力学有限元模型的评估,提出了一种动力学有限元模型的一致性模糊综合评估方法。评估中将动力学模型计算振型、频率与试验结果相比较,通过建立模型的评判对象因素集、评价集和权重集,寻找隶属函数,构造模糊关系矩阵,完成有限元模型的模糊综合评估。该方法不仅能界定有限元模型是否可用,还能对多个模型进行排队选优。文中算例表明了该方法对单个模型评估准确,并能从多个模型中选出最优者。关键词:结构动力学;综合评估;模糊数学;模态;有限元

中图分类号:TB12　　　文献标识码:A　　　文章编号:1005-2615(2006)03-0367-06

FuzzyEvaluationofDynamicsFiniteElementModel

ZhangAnping,WangKe

(CollegeofAerospaceEngineering,NanjingUniversityofAeronautics&Astronautics,Nanjing,210016,China)

Abstract:Duetotheevaluationofstructuraldynamicsfiniteelementmodelhavingthefactorofsubjec-tivity,therelatedtheoryoffuzzymathematicsisusedtoevaluatethedynamicfiniteelementmodel.Akindofconsistencyfuzzycomprehensiveevaluationmethodforthedynamicfiniteelementmodelispre-sented.Calculatedshapesandfrequenciesofthedynamicsmodelarecomparedwiththatoftheexperi-mentalresultsduringtheevaluation.Bysettingupfactorsets,evaluationsetsandpowersets,identify-ingthemembershipfunctionandconstructingfuzzyrelationmatrix,thefuzzycomprehensiveevaluationisfulfilled.Themethodconfirmswhetherthefiniteelementmodelisusableornot,andselectthebestoneamongseveralmodels.Theexampleshowsthatthemethodisaccurateinevaluatingonemodelandcanselectthebestonefromseveralmodels.

Keywords:structuraldynamics;comprehensiveevaluation;fuzzymathematics;mode;finiteelement

引　　言

工程中所使用的有限元模型都是经结构简化得到的,通常检验建模准确性最好的方法是与试验结果相比较。本文作为检验基础的相关性分析就是用一个介于0和1之间的值来衡量计算与试验结果之间的关联程度,该方法已在建模中广为应用。动力学模型评估中常采用模态置信度准则(Modalassurancecriterion,MAC)

[1,2]

关性的好坏,一般认为相关性好的条件是MAC主对角元元素大于0.7,非对角元元素小于0.1。但该方法实际工程应用存在一些困难,一方面,判断模型的相关性好还是坏本身是个模糊概念,试验模型和计算模型相对应的各阶模态何种程度算相关性好,很大程度上依赖于长期积累的试验经验和人为主观判断;另一方面,不同模型的各阶相关系数常常是有的理想,有的较差,难以从整体上把握。

模糊数学中的模糊综合评估理论是一个比较

来判断单个模型相

　基金项目:航空科技预研基金(102010603.2)资助项目。　收稿日期:2005-04-01;修订日期:2005-05-11

　作者简介:张安平,男,硕士研究生,1979年9月生;王轲(联系人),男,副教授,硕士生导师,E-mail:Wangk@nuaa.edu.cn

368

南　京　航　空　航　天　大　学　学　报第38卷

成熟的理论,其方法已开始应用于动力学模型的评估,国内段世慧等人通过建立试验结果与计算结果之间的线性回归关系,应用模糊数学方法对模型进行评估;国外Ichihashi等人在模糊数学基础上应用迭代法对有限元模型进行评估[4]。

本文提出了一致性模糊综合评估方法,用模糊数学理论建立评判对象因素集、评价集和权重集以及寻找隶属函数和确定模糊关系矩阵对有限元模型进行综合评估,最终不仅能定性地评判出单个有限元模型好坏的程度从而确定有限元模型是否需要修正,还能通过等级参数评判法得到综合评价值实现对相同结构的不同有限元模型的优劣排序。本方法应用于几个实际工程,效果较好。

[3]

MD=TDMATD

T

KD=TDKATD

T

(2)(3)(4)

HA=TDHa

　　在保证缩聚后计算模型的正交性满足要求的基

础上,第i阶计算模态振型与第j阶测量模态振型之间的相关程度用模态置信度准则MAC[1,2]来分析

T2[φiAφjT]

MACij=TTiAφiA]×[φjTφjT][φ

(5)

i,j=1,2,…,M

iA为第i阶计算模态振型向量;φjT为第j阶测式中φ

量模态振型向量。

第i阶计算频率与第i阶测量频率之间的相关程度用频率相对误差来表示

Δki%=(kiT-kiA)k/iA*100%

[5]

1　模型一致性模糊综合评估方法

一致性模糊综合评估的过程如图1所示,首先对计算模型自由度进行缩聚,实现自由度的规模匹配;再经过相关性分析,而后通过一致性模糊综合

评判用单一量值来度量试验模态和计算模态关联的程度。

(6)

i=1,2,…,M

式中:kiT为第i阶测量频率;kiA为第i阶计算频率。

对动力学模型采用模态振型和固有频率两类因素作为影响最终评估结果的因素,即设影响因素阵为

U={U1,U2}

其中U1为振型类影响因素;U2为频率类影响因素。

由于模态相关性分析是对M阶模态同时进行,因此每类影响因素中又有M个影响因素,Ui={ui1,ui2,…,uiM}(i=1,2;j=1,2,…,M)。uij表示第i类影响因素中的第j个影响因素。

从总体上来说,各影响因素的作用是不相等的,不同的权重集将造成不同的评判结果,因此分析中有必要设计权重矩阵。应用层次分析法中的判

[6]

断矩阵分析法,经验认为固有频率的影响对评估结果起的重要程度大于模态振型的影响,确定振型类影响因素U1权系数和频率类影响因素U2权系数构成的二级评判权重集AⅡ。

本文根据振型最大分量确定模态振型类影响因素中各个影响因素权系数构成的单因素评判权重集AⅠ1。具体实施中先假设U1中所有M个影响因素具有同样的权数Q,随后,可求出MAC矩阵的范数

‖MAC‖=1≤max　∑MACij

j≤M

1≤i≤M

图1　一致性模糊综合评估流程图

实现模型动力学缩聚的有效方法之一是模态缩聚法,它将N个自由度的有限元模型的前M

阶模态HA分成m个测量自由度模态Ha和n个非测量自由度模态Hd两部分,并通过坐标变换得到转换矩阵

(1)

I

　　再利用转换矩阵TD将N个自由度的质量阵MA和刚度阵KA缩聚成m个测量自由度的MD和KD

TD=

T-1THd[HaHa]Ha

[5]

(7)

　　MAC矩阵中第k列向量的范数‖MACk‖=素的权系数

A1k=Q‖MACk‖/‖MAC‖　k=1,2,…,M(9)　　通过分析频响函数图,根据频响幅值大小确定Ⅰ

1≤i≤M

∑

MACik　k=1,2,…,M　(8)

　　最后得到振型类影响因素U1中第k个影响因

第3期张安平,等:动力学有限元模型的模糊评估

369　

固有频率类影响因素U2中各个影响因素权系数构成的单因素评判权重集AⅠ2。

模糊评估中要给出评价集或称备择集,它是评判者对评判对象可能做出的各种总的评判结果组成的集合,用V表示

V={v1,v2,…,vn}

其中:vi代表第i个评判结果,n为总的评判结果数。模糊综合评判的目的就是在综合考虑所有因素的基础上,从评价集中选出一个最合适的评价结果。

对要分析的动力学有限元模型,取5级评判结果:

{很好,好,一般,较差,很差}

为进行模糊评估必须确定隶属度函数。隶属度是各个影响因素从属于各种不同评估结果的程度。由于梯形隶属函数[7]适合于将标准边界模糊化的问题,因此根据本文研究的对象,将梯形函数确定为隶属函数r(x),见下式:

0

1(x-a)

(b-a)

r(x)=

-11(x-c)

(d-c)

0

x≤aa(10)

　　为了直观起见,将式(10)内容用图2表示。

1

振型类模糊关系矩阵RⅠ1中的rij是MAC阵中

的第i个对角元消除第i列的其余元素的影响后的值在第j种评价结果隶属区间的隶属度。

频率类模糊关系矩阵R2中的rij是由频率准则

i%得到第i个频率影响因素在第j种评价中的Δk

Ⅰ

2

结果隶属区间的隶属度。

Ⅰ第K类影响因素经过模糊变换得到AⅠK RK

能得到有5个评判指标的第K类评判指标行向量BK,“ ”为模糊关系运算符。

有限元模型总的综合评估结果BⅡ最终是由模态振型和固有频率两类因素决定的,即

B=A R

Ⅱ

Ⅰ

Ⅱ

Ⅱ

Ⅱ

Ⅰ

(12)

Ⅰ

　　二级评价矩阵R由振型类评判指标行向量B1和频率类评判指标行向量B2组成

RⅡ=

B1BⅠ2

Ⅰ

=

A1 R1

ⅠⅠ

Ⅰ

AⅠ2 R2

(13)

　　在获取评判指标以及评判指标处理方面应根据模型的具体情况选择适合的算法和处理方法。本文两类影响因素单因素评估采用主因素决定型算法,见式(14);而二级评估采用加权平均型算法,见式(15)。

ⅠK

b=∨(aKi∧rij)i=1ⅠKj

M

j=1,2,…,5;K=1,2(14)

Ⅰ

式中:bⅠKj为第K类评判指标行向量BK的第j个评Ⅰ判指标,aⅠKi为单因素评判权重集AK中的第i个权

M

系数,且∑aⅠKi=1。

i=1Ⅱ

j

b=

∑a

i=1

2

Ⅱi

rⅡij　j=1,2,…,5

(15)

Ⅱ

式中:bⅡj为有限元模型总的综合评估结果B的第jⅡ个评判指标;rⅡij为二级评价矩阵R的第i行第j列Ⅱ元素,aⅡi为二级评判权重集A中的第i个权系数,

图2　5种评价结果隶属区间图

且∑ai=1。

Ⅱ

i=1

2

根据以上梯形隶属函数r(x)可以分别确定振

Ⅰ

型类模糊关系矩阵RⅠ1和频率类模糊关系矩阵R2,它们有相同表达式

rK11

R=

Ⅰ

K

在评判指标的处理中,根据最大隶属度原则取评价集V中与maxbⅡj对应的元素作为最终评判结果。之后的等级参数评判则是将各评价等级vi量化为ci得到一列向量C=[c1,c2,c3,c4,c5]T,最后得到

rK12r22

KK

……

rK15r25 rM5KK

r21 rM1

K5

K

(11)

等级参数综合评价值为

p=B C

式中“ ”为向量运算符。

将不同有限元模型的等级参数综合评价值从小到大排序,即能得出最优模型。

Ⅱ

(16)

rM2…

式中:K=1,2;

∑

j=1rKij=1;i=1,2,…,M。

370

南　京　航　空　航　天　大　学　学　报

表1　机翼复合材料盒段模态试验结果

模态阶数

1

234

模态频率/Hz

178.80

244.88255.17297.59

第38卷

2　实例分析

本文以某机翼复合材料盒段为例对动力学有限元模型进行综合评估。

机翼复合材料盒段基本几何尺寸如下:底板宽为1020mm,长为1900mm;总厚度为237mm。盒段使用的材料为铝合金和碳纤维层合板。根据该盒段的使用要求,其边界条件为自由-自由状态,在试验时用橡皮绳悬挂实现,试验模型见图3。

模态阻尼比/%

0.311

0.8211.9720.838

从图3可见,该盒段结构中绝大多数构件都是由薄壁平板结构构成,结构中还密布着一些螺栓和螺钉,且盒段的纵墙和两肋由角材连接,因此如何对薄壁结构划分网格、如何处理结构中的螺栓、螺钉以及角材是建立盒段有限元模型的难点。模型1考虑了结构中密布的螺栓、螺钉,把它们近似为一个个集中质量点,即只考虑它们的惯性效应而不考虑它们的几何形状、刚度效应。且考虑到角材在盒段中只是起到连接件的作用而不是承力构件,去掉了角材,让纵墙直接连接在两肋上。模型采用QUAD4单元的平面四边形板单元来划分网格,节点数较多。有限元模型网格见图5。

图3　机翼复合材料盒段试验模型图

试验中设置了198个测点,每个测点测量出X,Y,Z三个方向的响应,总的测量自由度为594个。

激励点如图4所示的A点。

图5　机翼复合材料盒段有限元模型1网格

模型2忽略了结构中密布的螺栓、螺钉,仅用平面四边形板单元直接来划分网格。由于连接件角

图4　机翼复合材料盒段测试网格模型

材的宽度和纵墙以及肋的宽度不一样,这使在几何建模时不得不产生许多小面来描述这种差异,而这些小面直接导致了网格的划分不如模型1规范,但使用单元数较少。有限元模型2网格见图6。

模型3忽略了结构中密布的螺栓、螺钉,但去掉了角材,让纵墙直接连接在两肋上。用平面四边形板单元来划分网格,有限元模型3网格见图7。模型4与模型1相似,但用TRIA3单元的平面三角单元来划分网格,单元数较多,有限元模型4网格见图8。

试验选用HP35670A测试系统作为主要测试

设备,用I-DEAS软件进行模态参数识别。识别得到机翼复合材料盒段前若干阶模态,表1为前4阶频率以及阻尼比。

应用MSC.PATRAN软件建立机翼复合材料盒段的有限元模型。在仿真建模中,依据不同建模,采用不同种类和数量的元素分别建立了4种不同的有限元模型。第3期张安平,等:动力学有限元模型的模糊评估

表2　模型1的MAC矩阵表

测试频率/Hz

178.80244.88255.17297.59

178.650.75800.00000.00000.0000

计算频率/Hz237.28241.180.00100.00000.56300.09500.0470

0.10800.80000.0270

371　

314.490.00000.06300.02000.6620

表3　模型2的MAC矩阵表

测试频率/Hz

178.80244.88

图6　机翼复合材料盒段有限元模型2网格

255.17

297.59

177.250.81500.00100.00200.0060

计算频率/Hz231.16239.080.00500.56900.22300.0070

0.00200.02300.83200.0430

310.220.00000.000.06800.6170

表4　模型3的MAC矩阵表

测试频率/Hz

178.80244.88255.17297.59

计算频率/Hz

178.150.800.16100.01900.2150

235.240.02600.53500.48400.4240

240.270.00400.41300.000.50

312.590.10400.28300.400.9680

表5　模型4的MAC矩阵表

测试频率/Hz

178.80

图7　机翼复合材料盒段有限元模型3网格

244.88

255.17297.59

178.600.88300.13500.07900.0440

计算频率/Hz237.12241.090.01400.74800.31700.1560

0.03200.34400.500.3220

314.120.04500.29000.30500.9850

根据文献[1,2]采用模态置信度准则MAC来评估模型,4个模型都不好,这与实际应用情况不符合。模型1,2,3对角元元素都有小于0.7的元素;模型4对角元元素都大于0.7,但是非对角元元素一半以上大于0.1,且不易区分4个模型之间的差异选取最优。

以下为通过本文提出的一致性模糊综合评估方法对4个模型进行评估。

应用文献[6]中的判断矩阵分析法计算得到振型类影响因素系数和频率类影响因素权系数构成

图8　机翼复合材料盒段有限元模型4网格

的二级评判权重集A。

根据式(7～9)可以计算得到各模型的振型类影响因素单因素评判权重集AⅠ1;通过分析机翼复合材料盒段所有自由度频响函数图(图5),根据频响幅值大小确定固有频率类影响因素中各个影响因素权系数构成的单因素评判权重集A2。Ⅰ

Ⅱ

经有限元后处理软件MSC.NASTRAN软件计算得到图5～8所示的4个有限元模型与试验模型相对应的各自前4阶模态,再根据式(5)计算得到4个模型的MAC值。MAC矩阵分别见表2～5。372

南　京　航　空　航　天　大　学　学　报第38卷

本文在确定图2的隶属函数区间取值时,参考了文献[3]。

振型类影响因素隶属函数区间取值定为:a1=0.60;a2=0.625;a3=0.75;a4=0.775;a5=0.85;a6=0.875;a7=0.95;a8=0.975;　　频率类影响因素隶属函数区间取值定为:a1=0.70;a2=0.75;a3=0.80;a4=0.85;a5=0.95;a6=0.96;a7=0.99;a8=0.995;　　将各个评判等级量化为{5,4,3,2,1}的集合,通过等级参数评判法计算得到综合评价值。表6列出了机翼复合材料盒段4种不同有限元模型的评估结果和综合评价值。

表6　4种模型的评估结果和综合评价值有限元模型评估结果综合评价值

1很好11.3

2好4.62

3很好8.40

4很好8.42

建立影响因素集、隶属度函数、权重集和评判集等,通过综合评估方法得到动力学有限元模型的定性评价与多个模型的排队选优,应用于具体工程实例取得了满意的结果。参考文献:

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Japan:IEEE,1995:2335-2342

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型及其应用[M].北京:机械工业出版社,1998:6-8

从表6得到该机翼复合材料盒段4种不同有限

元模型的计算与试验模型的相关性分析定性结果都是“很好”或“好”,但模型1综合评价值最高,即模型最优。

3　结束语

本文将模糊数学理论引入有限元模型的评估,