一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称指定义域的几何表示是对称于原点的点第二在新授函数奇偶性之前课本上已出现过分段函数故可补充如集从正并出现了 妒‘任一之类定义域不二,劣对称于原点的函数的奇偶性判别的习题有利于学生恤,等函数的奇偶性问题反两个方面去理解奇函数偶函数的定义丫凡一垂足坐标、距离公式和对称点重庆江北师范学校戴锡恩在解析几何中点到真线的距离公式是大家熟知的现行初中课本中既肴琢补钩容各种课本及杂志刊物上对这个公式有不同征法但大都是孤立地证明一氏,。一象由点尸、、引,的垂线垂足坐这个公式其实下面三个问题是密切相关的由巳知点到已知直线引垂线的垂足坐标已知点到褪二然是、一一但另一方面由垂足坐标公会已知直线的距离求已知点关于已知直线的对称式可得点这三个问题中只有第二个问题有公式可用其余两个问题用通常的方法计算较繁本文的目的在于沟通这三者的关系简明地得出易于记忆的公式再一。业粤业一、。。一。一旦乒』互会旦一导句十月举例说明其应用一公式推导。,定理由点至‘直线二,可见二时公式也适用垂足坐标公式成立不同时为弓垂线劣则垂足坐标为特别有由原点引直线,劣”殉一丝口一粤捻烨旦粤栅鱼乏认不同时为的垂线垂足为气矛汤一召、称垂足坐标公式证明若专。由直线二。拘脚到直线月二场设点尸不同时为。的距离为则有距离公式推论“一不同时为得它的垂线的斜率为…贡则过一杂耀证明距离即点尸劣。黔一‘。。。。的直线为”一”垂直于了育,一。即离由两点间的距离公式‘一、的的距将 式代入化简即得与垂足恤一把之写成。夕一夕‘一二一”“一二。一夕。月二二一。。这个方程组的系数行列式同时为二十产叭不故有唯一解设点尸伪功为协关于直线刀十句十不同时为对称则有对称推论卜一些气携。一二。一旦塑等傀且烨点坐标公式一劣。二粤鼎黔三。以月名由此即得垂足坐标公式若二则沪直线的方程为脚证明劣之二劣一乏月‘月,十忍句,留口、一,句干二尸,关于直线梦二通刀不同时为。,若尸对称尸,原点。关于直线的对称点熟二在上重合为点则月场一了一迢丝里公式显然成立者几几为不同点它们都不在十二句二刀口夔几少滩召上由尸、刹一沙尽到王分别引垂线垂足应为同一点由垂足十邢二丝丝一、丫 !点尸为一关于直饯的对称点坐标为之刀厂月为才城劣五、夕吃句、‘了火二久‘一十,。月十一少土立旦理十月之一艺一之又因九几到的距离相等月凡句,由距离公式有夕夕一。旦里旦坦遍士鱼土刀月二卜士, 启沪沪即为月劣」拘,,十二十夕十二:~名一一若劣口,句协=二沙尸:尸2由式可得这与为不同点相矛盾十B封1十C=故这种二:十B情况不可能十C)笋0一(A故只能是A代入(2)式即得对称点坐标公式二1协:求证直线g二k劣+b3切的条件是kZ+l产例.匀—丁几乙厂石石一—一一了,bZ与圆x+r.相证明公式:已知直线即k二一夕十b二00.根据垂足坐标垂足坐标为…对称点坐标公式成立特别有O,原点(0,L~0:关于直线l月二+、、_/Bg+CZAC二一-.扭。D~二一O的不时为对称点为二“)””二同、J品月Y,“((一专井2十去、少击命)由圆心(O到这直线引垂线直线”圆‘’十’,一r‘砌的条’_2月二+理._件是这垂足在圆上即化简即得一少/、.(二应用举例.:2已知直线IZx+3夕一3二0例求由原点(0线的垂足;0例3.击一r.;击)’十(不针)一r.由点P(7到圆劣2+夕2=25引切线求和点尸(。分别到l所引垂切线方程::解设切线为l十1一7晚二。,一1=k(劣一7):劣,一即I‘贝“垂足在圆(2)求原点(0点0和点P(5关于直线j的对称妊二2由圆心(O叮到l引垂线的垂足坐标:解已知直线:了2%+3u一3~O刀.3一了吞)为-k(1a+1秃(l一7掩‘为切线一3蕊名+(一r箭暴瑞装锐决矗箭0由原点(0引l的垂线「)垂足为一.:飞!.,月。25上言一一一一(一瓷笋李告碧卜[+T.奋3,”:=一子.分别j.代人或八月丫.斜了一.521“之得“-*。一l的方程即得所求切线方程“”一“一,。,。~一一~一月(为垂足坐标为由点尸(5.一.‘.劣.1/卜t夕!引l的垂线.招一39一25,例4十l二O.0和.留+0g一25二0理勒一二三鱼兴贫且书韶,:有一光线从月(一2幻射到直线才劣一2,求这光线从A到刀的长再反射到B(丘度一3一卜业性一。。一丛少J件黛必立;:解如图J一点才(一2关于直线l‘J的对称点A的坐标为J一夕一Z夕:(十DlX二一召一0l盆+(一2)3二一2夕+1一卜迎货云黔卫一‘2{夕留2一,力(一2一2JZ+(一2)“含+)1=一2l1二,o改t一二,肥气一_。心年:拟岁分二2沪夕z爹之。一_一丝伞慕窖华狂亘一x,+2l1。、3一全州消去xl即得九:2=(,一)112翌土工鱼冬子望洁架研旦.一飞一川、二一2一几,-也是抛物线如图3仁r布J彬!p图.已知点A(3分.,0上分别求一点M和N;轴和直线窝一切+2AMN的周长最小...g5A解如图2点(A尔)关于轴的对称点是一3一2。一,的对称点用线‘点众关于寡2+例5.阂CB,二IA光线长度}AC}+!,2斌(6一0)+(10+含)l=△在使次务火,、、!夺一/\\A二}沙”坐标公式求得月(5于是得直线A通甲:赫料:例卜过抛物线川兰8万钓顶点引它的切线的垂线.求垂足的轨迹方程t。解设尸伽材心为抛物线沪~sx上任一点‘十3一3一5劣即月“:二+2,一7=0.分别解方程组“则过尸的切线方程为枷,“吐(+勒).即4劣一;,十Ax。=0由抛物线的顶点(00引切线的垂线二一__,卫丝2+殉0垂足十29一7=0O劣+29一7“0为M(二的t劣=得M(。{x一2夕+2=0万口一一_4如图卜由垂足坐标公式得戈。_二_16xo16+8x0。。4劣封_(证明从略).l:,=砂+3关于直线l:x一例6求抛物线P.:g+1一0对称的曲线P的方程:,12i:,=二2+3解设。二+3)是P上的任意晋).。.4JS厂一这时△ABC的周长最小!42+902一夕。吐0x0242+夕劣。94+216+sxo殉两式相除得-4音厉一021016.~~=沪刃百石瓦劣2一点这点关于直线几二一夕+1=0的对称点为(二妒墨戈3+戈92+229=代入坐标二的表示式中化简即得为所求轨迹方程的由对称点坐标公式用导数证明不等式的方法(江苏省江阴县中学)用导数证明不等式法王淦生.则至少存在一点占使是证明不等式的一种主要方满足微分中值定理的条件它既不能完全代替其他方法但对证明不等式具arcsinb一arcsin。~又jI约(b一.)a有独特的作用有些不等式的证明题用初等数学方.法很难证明用导数证明却很容易而且用导数证明不等式的规律性较强一般要先设辅助函数并求此.函数的导数但用导数证明不等式设辅助函数要有幻二,毕芍以l一劣,’(约.别盆以1一省一“十攀吃·’一·“‘一定的技巧证明方法也常因题而晃本文分类举例.说明用导数证明不等式的方法(一)用微分中值定理证明:证此类题目的一般步骤是(l)设辅助函数I(幻《二‘b)(2)根据微分中值定理得一=n·一‘,刀事,卜了会,,,卜·,ae求证}aresin6一rsina}>!b一al..证明若a二b显然成立若。斗6则设了(劝=arcsin‘.不妨设一1《a
