平方根知识点总结归纳讲义

平方根 知识点总结

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义

如果一个正数x的平方等于a，即x2a,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a，读作“a的算术平方根”，a叫做被开方数. 要点诠释：当式子a有意义时，a一定表示一个非负数，即a≥0，a≥0. 2.平方根的定义 如果xa，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.

2a(a≥0)的平方根的符号表达为a(a0)，其中a是a的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a和a 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，

我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：

62500250，62525，6.252.5，0.06250.25. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念

1、若2m－4与3m－1是同一个正数的两个平方根，求m的值．

【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m－4＝－（3m－1），解方程即可求解．

【答案与解析】

解：依题意得 2m－4＝－（3m－1），

解得m＝1； ∴m的值为1．

【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：

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【变式】已知2a－1与－a＋2是m的平方根，求m的值.

【答案】2a－1与－a＋2是m的平方根，所以2a－1与－a＋2相等或互为相反数. 解：①当2a－1＝－a＋2时，a＝1，所以m＝2a12111

②当2a－1＋（－a＋2）＝0时，a＝－1， 所以m＝2a1[2(1)1]39

222222、x为何值时，下列各式有意义？

(1)x2； (2)x4； (3)x11x； (4)【答案与解析】 解：(1)因为x0，所以当x取任何值时，x2都有意义． 2x1． x3(2)由题意可知：x40，所以x4时，(3)由题意可知：x4有意义． x10解得：1x1．所以1x1时x11x有意义． 1x0x10，解得x1且x3． x30x1有意义． x3(4)由题意可知：所以当x1且x3时，【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三： 【变式】已知b43a2223a2，求【答案】 解：根据题意，得11的算术平方根． ab3a20,21131则a，所以b＝2，∴2， 3ab2223a0.∴

11112． 的算术平方根为abab类型二、平方根的运算

3、求下列各式的值． (1)2522423242；(2)201110.36900． 435【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.

【答案与解析】 页脚内容

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解：(1)252242(2)20324249257535；

111811190.369000.6300.261.7． 43352【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据a2a(a0)来解． 类型三、利用平方根解方程

4、求下列各式中的x.

（1）x3610; （2）x12； 22（3）93x20 【答案与解析】 解：（1）∵x3610 ∴x361 ∴x36119 （2）∵x12 ∴x12 ∴x＋1＝±17 x＝16或x＝－18. （3）∵93x20 22222 98 ∴3x2 3214 ∴x或x

99 ∴3x22【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整

体思想分散了难度. 举一反三：

【变式】求下列等式中的x：

（1）若x21.21，则x＝______； （2）x2169，则x＝______；

92（3）若x2,则x＝______； （4）若x22，则x＝______．

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【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）类型四、平方根的综合应用

25、已知a、b是实数，且2a6|b2|0，解关于x的方程(a2)xba1．

3；（4）±2. 2【答案与解析】

解：∵a、b是实数，2a6|b2|0，2a60，|b2|0，

∴2a60，b20． ∴a－3，b把a－3，b2． 2代入(a2)xb2a1，得－x＋2＝－4，∴x＝6． 【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a、b的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可． 举一反三： 【变式】若x21【答案】 解：由x21y10，求x2011y2012的值． y10，得x210，y10，即x1，y1． 2011①当x＝1，y＝－1时，xy201212011(1)20122． y2012(1)2011(1)20120． 22②当x＝－1，y＝－1时，x20116、小丽想用一块面积为400cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm 的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【答案与解析】 解：设长方形纸片的长为3x (x＞0) cm，则宽为2xcm，依题意得 3x2x300. 6x300. x50.

∵ x＞0， ∴ x2250. ∴ 长方形纸片的长为350cm. ∵ 50＞49,

∴507.

∴ 35021, 即长方形纸片的长大于20cm. 页脚内容

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由正方形纸片的面积为400 cm, 可知其边长为20cm,

∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.

答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.

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