向量的线性运算知识点总复习附答案解析

一、选择题

1．下列命题正确的是（ ）

rrrrA．如果|a|＝|b|，那么a＝b

rrrrB．如果a、b都是单位向量，那么a＝b

rrrrC．如果a＝kb（k≠0），那么a∥b

rrrD．如果m＝0或a＝0，那么ma＝0

【答案】C 【解析】 【分析】

根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】

解：A．向量是既有大小又有方向，|a|＝|b|表示有向线段的长度，a＝b表示长度相等，方向相同，所以A选项不正确；

B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；

rrrrrrrrC. a＝kb（k≠0）⇔a∥b，所以C选项正确；

rrrrD．如果m＝0或a＝0，那么ma＝0，不正确．

故选：C． 【点睛】

本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.

2．已知平行四边形ABCD，O为平面上任意一点.设（ ） A．+++= C．+--= 【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】

根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D错误；

；

而∴B正确. 故选B. 【点睛】

；

B．-+-= D．--+=

=，

=，

=，

=，则

此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.

A．a 【答案】B 【解析】 【分析】

3．计算4a5a的结果是（ ）

B．a

rrrC．a

D．a

r

按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】

vvv-4a+5a=a,

所以答案为B选项 【点睛】

本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键

4．下列判断不正确的是（ ）

uuuruuuruuuruuurA．如果AB=CD，那么AB=CD

B．+＝+

rrC．如果非零向量a=k坠b(kuuuruuurD．AB+BA=0

【答案】D 【解析】 【分析】

rr0)，那么a与b平行或共线

根据模的定义，可判断A正确；根据平面向量的交换律，可判断B正确；根据非零向量的知识，可确定C正确；又由AB+BA=0可判断D错误 【详解】

uuuruuurruuuvuuuvuuuruuurA、如果AB=CD，那么ABCD，故此选项正确；

rrrrB、abba，故本选项正确；

rrrrC、如果非零向量a=k坠b(k0)，那么a与b平行或共线，故此选项正确；

uuuruuurrD、AB+BA=0，故此选项错误；

故选：D． 【点睛】

此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键

5．已知a、b为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A．aabb

B．0a0

C．如果a【答案】C 【解析】 【分析】

1b，那么a//b 2D．如果a2b，那么a2b或a2b

根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】

rrrr解：A、aabb，正确；

rrB、0a0，正确；

1b，那么a//b，错误，可能共线； 2rD、如果a2b，那么a2b或a2b，正确；

C、如果a故选C． 【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

6．下列说法正确的是（ ）． A．一个向量与零相乘，乘积为零 B．向量不能与无理数相乘

C．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短 D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【答案】D 【解析】 【分析】

根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】

解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；

C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误； D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】

考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．

uuur3uuuruuuruuur7．点C在线段AB上，且ACAB，若ACmBC，则m的值等于（ ）．

5A．

2 3B．

3 2C．2 3D．3 2【答案】D 【解析】 【分析】

uuuruuuruuur2uuuruuurr5uuu根据已知条件即可得：CBABACAB，从而得出：ABBC，再代入

52uuur3uuurACAB中，即可求出m的值.

5【详解】

uuur3uuur解：∵点C在线段AB上，且ACAB

5uuuruuuruuur2uuur∴CBABACAB

5uuur5uuurr5uuu∴ABCBBC

22uuur3uuur35uuurr3uuu∴ACABBCBC

5522故选D.

【点睛】

此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.

uuurruuurr8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，若设ABa，ADb，则下列选项

1r1r与ab相等的向量是（ ）．

22uuuruuurA．MA B．MB

【答案】D 【解析】 【分析】

uuuurC．MC

uuuurD．MD

根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】

uuurruuurr解:∵在平行四边形ABCD中, ABa，ADb， uuuruuuruuurrruuuruuuruuurrr∴ACABADab,BDADABba,M分别为AC、BD的中点,

uuurr1uuu1rr1r1r∴MAACabab，故A不符合题意；

2222uuurr1uuu1rr1r1rMBBDbaab，故B不符合题意；

2222uuuur1uuru1rr1r1rMCACabab，故C不符合题意；

2222uuuur1uuur1rr1r1rMDBDbaab，故D符合题意.

2222故选D.



【点睛】

此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.

9．四边形ABCD中，若向量A．是平行四边形 C．是平行四边形或梯形 【答案】C 【解析】 【分析】

根据题目中给的已知条件【详解】

根据题意可得AB与CD是平行的，且不确定形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】

此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.

与

的大小，所以有一组对边平行的四边

与

是平行向量，可得AB与CD是平行的，且不确定

与

的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.

与

是平行向量，则四边形ABCD ( )

B．是梯形

D．不是平行四边形，也不是梯形

10．下列式子中错误的是（ ）．

rrrA．aa2a

rrrrC．abab

rrrB．aa0

rrrrD．abba

【答案】D 【解析】 【分析】

根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】

A. a与a大小、方向都相同，∴aa2a，故本选项正确；

rrrrrrrrrrB. a与a大小相同，方向相反，∴aa0，故本选项正确；

rrrrC.根据实数对于向量的分配律，可知abab，故本选项正确；

D.根据向量的交换律，可知abba，故本选项错误. 故选D. 【点睛】

本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.

rrrr

vvuuuvvuuu11．如图，在VABC中，点D是在边BC上，且BD2CD，ABa,BCb，那么uuuvAD等于（ ）

vvA．ab

【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：∵BD2CD

2v2vB．ab

33v2vC．ab

3v2vD．ab

3根据BD2CD，即可求出BD，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．

uuuvuuuv2uuuv2v∴BDBCb

33uuuvuuuvuuuvv2v∴ADABBDab

3故选D． 【点睛】

此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．

12．下列条件中，不能判定a∥b的是（ ）．

rrrrA． a//c,b//c

【答案】B 【解析】 【分析】

rrB．|a|3|b|

C． a5b

rrD．a2b

rr根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】

rrrrrrrrr解：A、由a//c,b//c推知非零向量a、b、c的方向相同，则a//b，故本选项不符合题

意．

B、由|a|3|b|只能判定向量a、b的模之间的关系，不能判定向量a、b的方向是否相

rrrrrr同，故本选项符合题意．

rrrrrrC、由a5b可以判定向量a、b的方向相反，则a//b，故本选项不符合题意．

rrrrrrD、由a2b可以判定向量a、b的方向相同，则a//b，故本选项不符合题意．

故选：B． 【点睛】

本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量．

rr

uuurruuurrrr13．如图，在平行四边形ABCD中，如果ABa，ADb，那么ab等于（ ）

uuurA．BD

uuurB．AC

uuurC．DB

D．CA

uuur【答案】B 【解析】 【分析】

由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，则可得BCb，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，

uuurr∵ADb，

uuurruuurr∴BCb， uuurr∵ABa，

故选B．

ruuurruuurruuu∴ab=AB+BC=AC．

14．如图，点C、D在线段AB上，ACBD，那么下列结论中，正确的是（ ） A．AC与BD是相等向量 C．AD与BD是相反向量 【答案】B 【解析】 【分析】

由AC=BD，可得AD=BD，即可得AD与BD是平行向量，ADBC，ACBD，继而证得结论．

uuuruuur

uuuruuurB．AD与BD是平行向量 D．AD与BC是相等向量

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【详解】 A、∵AC=BD，

∴ACBD，该选项错误； B、∵点C、D是线段AB上的两个点， ∴AD与BD是平行向量，该选项正确； C、∵AC=BC， ∴AD≠BD，

uuuruuuruuuruuuruuuruuur∴AD与BD不是相反向量，该选项错误； D、∵AC=BD， ∴AD=BC， uuuruuur∴ADBC，，该选项错误；

故选：B． 【点睛】

本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．

15．已知c为非零向量， a3c， b2c，那么下列结论中错误的是（ ）

rrrrrrrA．a//b

【答案】C 【解析】 【分析】

r3rB．|a||b|

2rrC．a与b方向相同 rrD．a与b方向相反

根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】

rrrr∵ a3c， b2c

r3r∴ab，

2rrr3r∴a∥b，ab

2rra与b方向相反，

∴A，B，D正确，C错误； 故选：C． 【点睛】

本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

ruuuuuuruuurruuurv16．如图，向量OA与OB均为单位向量，且OA⊥OB，令n=OA+OB，则|n|=（ ）

A．1 【答案】B 【解析】

B．2 C．3 D．2

vn=根据向量的运算法则可得:

uuuv2uuuv2OAOB2,故选B.

17．规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量OP可以用点P的坐标表示为：OP＝（m，n）．已知OA＝（x1，y1），OB＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么OA与OB互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A．OC＝（3，20190），OD＝（﹣3﹣1，1） B．OE＝（2﹣1，1），OF＝（2+1，1）

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur13C．OG＝（8,），OH＝（（﹣2）2，8）

2uuuuruuurD．OM＝（5+2，2），ON＝（5﹣2，【答案】A 【解析】 【分析】

根据向量互相垂直的定义作答． 【详解】

2） 2A、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC与OD互相垂直，故本选项符合题意． B、由于（2﹣1）（2+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE与OF不垂直，故本选项不符合题意．

C、由于38×（﹣2）2+

uuuruuuruuuruuuruuuruuur1×8＝4+4＝8≠0，则OG与OH不垂直，故本选项不符合题意． 2uuuuruuur2＝5﹣4+1＝2≠0，则OM与ON不垂直，故本选2D、由于（5+2）（5﹣2）+2×项不符合题意． 故选：A． 【点睛】

本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.

18．已知e是一个单位向量，a、b是非零向量，那么下列等式正确的是（ ）

rrrvvvA．aea

【答案】B 【解析】 【分析】

vvvB．ebb

1vvC．vae

a1v1vD．vavb ab长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】

A. 由于单位向量只长度，不确定方向，故错误； B. 符合向量的长度及方向，正确；

C. 得出的是a的方向不是单位向量，故错误；

D. 左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

vvvvvv19．若a＝2e，向量b和向量a方向相反，且|b|＝2|a|，则下列结论中不正确的是

（ ）

vA．|a|＝2

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

vB．|b|＝4 vvC．b＝4e

1vvb D．a＝2vv根据已知条件可以得到：b＝﹣4e，由此对选项进行判断．

vvvvvvB、由b＝-4e推知|b|＝4，故本选项不符合题意．

vvC、依题意得：b＝﹣4e，故本选项符合题意．

A、由a＝2e推知|a|＝2，故本选项不符合题意． D、依题意得：a＝-故选C． 【点睛】

考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．

v1vb，故本选项不符合题意． 2

20．下列各式正确的是（ ）．

rrrrrrA．2abc2abc

rrrrB．3ab3ba0

C．ABBA2AB 【答案】D 【解析】 【分析】

根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】

uuuruuuruuurD．ab3a5b4a4b

rrrrrrrrrrrrA、2abc2a2bc，故A选项错误；

rrrrrrrrrB、3ab3ba3a3b+3b3a=6b，故B选项错误；

uuuruurrC、ABBA0，故C选项错误；

rrrrrrD、ab3a5b4a4b，故D选项正确；

故选D. 【点睛】

本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.