目 录
第一讲 三角形 ................................................................................................................. 2
1.1与三角形有关的线段 ......................................................................................... 2 1.2与三角形有关的角 ............................................................................................. 8 第二讲 全等三角形的性质与判定 .............................................................................. 22
2.1全等三角形的性质 ........................................................................................... 22 2.2全等三角形的判定 ........................................................................................... 23 2.3全等模型 ........................................................................................................... 27 第三讲 全等三角形常见的辅助线（一） ................................................................. 39
3.1角平分线 ........................................................................................................... 39 3.2截长补短 ........................................................................................................... 46 第四讲 全等三角形常见的辅助线（二） ................................................................. 56
4.1倍长中线 ........................................................................................................... 56 4.2全等其他辅助线 ............................................................................................... 58 第五讲 轴对称 ............................................................................................................... 72
5.1轴对称图形 ....................................................................................................... 72 5.2垂直平分线 ....................................................................................................... 75 5.3作轴对称图形 ................................................................................................... 77 5.4轴对称的坐标表示 ........................................................................................... 83
优能一对一部初二数学暑假标准课讲义
第六讲 等腰三角形 ....................................................................................................... 94
6.1等腰三角形的性质 ........................................................................................... 94 6.2等腰三角形的判定 ........................................................................................... 98 6.3等边三角形 ....................................................................................................... 99 第七讲 几何综合（一）............................................................................................ 112
7.1倍长模型 ........................................................................................................ 112 7.2截长补短 ........................................................................................................ 118 7.3其他构造全等的方法 .................................................................................... 122 第八讲 几何综合（二）............................................................................................ 131
8.1利用轴对称求最值——将军饮马问题 ...................................................... 131 8.2翻折问题 ........................................................................................................ 138 8.3垂直平分线 .................................................................................................... 140 8.4三角形问题 .................................................................................................... 142
初二数学暑假标准课讲义
入门检测:
1.如图所示,已知△ABC,试说明∠A+∠B+∠C=180°.
ABC
【答案】 略
2.已知直线AB和CD相交于O点,射线OE⊥AB于O,射线OF⊥CD于O,且∠BOF=25°,求∠AOC与∠EOD的度数.
【答案】∠AOC=115°,∠DOE=155°(或∠AOC=65°,∠DOE=25°) 3.如图所示,已知AB∥CD,试说明∠B+∥D+∥E=360°.
ABECD
【答案】略
4.如图所示,已知AB,CD,EF相交于O点,AB∥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°,求∠AOG的度数.
GCEAOBFD
【答案】 59°
5.如图所示,A,O,B在一条直线上,OE平分∠COB,OD∥OE于O,试说明OD平分∠AOC.
CDEA432O1B
【答案】 略
1
优能一对一部初二数学暑假标准课讲义
第一讲 三角形
线段 三角形 角度 多边形
1.1与三角形有关的线段
三角形的三边关系
①三角形两边之和大于第三边 ②三角形两边之差小于第三边 【例1】（1）下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是( )．
A．1,2,3.5 C．5,8,15
【答案】D
【练习1.1】现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度,要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取( )
A.10cm的木棒 B.20cm的木棒
C.50cm的木棒 D.60cm的木棒 【答案】B
2
B．4,5,9 D．6,8, 9
初二数学暑假标准课讲义
（2）已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长x的取值范围是__________．
【答案】3 cm 【答案】B． （3）若a、b、c表示ABC的三边长,化简abcbcacab. 【答案】a+b+c 【练习1.3】已知a、b、c为ABC的三边长,b、c满足(b2)2c30,且a为方程 x42的解,求ABC的周长,并判断ABC的形状. 【答案】ABC的周长为7,且ABC是等腰三角形. 【例2】（1）如图，P是△ABC内一点，请想一个办法说明AB＋AC＞PB＋PC． 【答案】延长BP交AC于D 【练习2.1】如图所示,已知P是△ABC内一点,试说明 PAPBPC12(ABBCAC) A3 PBC 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】略 【练习2.2】如图，D，E是△ABC内的两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋EC． 【答案】 三角形的三线 ① 三角形从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ② 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 ③ 三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 【例3】（1）如图，AE是△ABC的中线，EC＝6，DE＝2，则BD的长为( )． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【练习2.1】在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm, 求AD的长. 4 初二数学暑假标准课讲义 【答案】AD=13cm （2）如图，BM是△ABC的中线，若AB=5 cm，BC=13cm，那么△BCM的周长与△ABM的周长差是多少? 【答案】8cm 【练习3.2】如图，BD是△ABC的中线，若AB=8 cm，AC=6 cm，BC=6cm 则△ABD与△BCD的周长之差为__________. 【答案】2 cm. （3）如图，△ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AC，已知AF=6，BC=10,BG=5. (1)求△ABC的面积；(2)求AC的长；(3)说明△ABC和△ACD的面积的关系. 【答案】 (1) 30. (2) 12； (3)略 【练习3.3】如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC的关系． 【答案】略 5 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 （4）如图,(1)(2)和(3)中的三个三角形有什么不同？画出这三个ABC三边上的高AD、BE、, CF并指出三条高线在各自三角形的什么位置？ BBAAAC(1) C(2)BC(3)【答案】 图(1)(2)(3)中的三角形分别是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； 当ABC是锐角三角形时,三边上的高都在三角形内； 当ABC是直角三角形时,三边上的高有两条是它的直角边,有一条在三角形内； 当ABC是钝角三角形时,三边上的高有两条在三角形外,有一条在三角形内 【练习3.4】画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是（ ） A B C D 【答案】C （5）如图,在ABC中,AC2cm,BC3cm,ABC的高AD与BE的比是多少? 【答案】AD:BE2:3 【练习3.5】如图，AD、CE是△ABC的两条高，AB＝3cm，BC＝6cm，CE＝8cm，则 AD 6 BDAEC初二数学暑假标准课讲义 的长（ ）． A.3 cm B.4 cm C.5 cm D. 6 cm AEBDC 【答案】B （6）如图,AD是ABC的角平分线,DE∥AC,DE交AB于E,DF∥AB,DF交AC于F,图中∠1与∠2有什么关系?为什么? AE43F12BDC 【答案】相等 【练习3.6】如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作直线DF∥BA，交△ABC的外角平分线AF于点F，DF与AC交于点E． 求证：DE=EF． 【答案】略 7 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 1.2与三角形有关的角 三角形内角和定理 三角形的内角和是180° 【例4】(1)在△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； 【答案】80° 【练习4.1】若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； 【答案】50° (2)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°. 【答案】∠B＝°，∠C＝90°. 【练习4.2】如果三角形三个外角度数之比为3:4:5，那么这个三角形一定是（） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 【答案】A (3)已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝__________，∠C＝__________. 【答案】∠B＝90°，∠C＝50° 【练习4.3】在ABC中， （1）A80,BC，则B_____________； （2）AC35,BA20，则B_____________； （3）C90，A30，则B_____________. 【答案】（1）50 （2）85 （3）60 8 初二数学暑假标准课讲义 (4)如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C ＝60°，求∠DAC及∠BOA． 【答案】 ∠DAC＝30°；∠BOA＝120°． 【练习4.4】如图，已知ABBD，ACCD，A40，则D______. 【答案】40° 三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【例5】(1)填空：(1)如图(1)，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝________°. (2)如图(2)所示，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝__________°，∠ABC＝__________°. (3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°. 9 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】 (1)120 (2)70 38 (3)60 【练习5.1】一个三角形的一个外角是它相邻内角的1.5倍，是不相邻内角的3倍，求这个三角形的各内角. 【答案】这个三角形的三个内角为36，72，72. (2)如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________. 【答案】270°. 【练习5.2】如图，已知A27，CBE96，C30. 求ADE的大小. 【答案】DDECA2727. 10 初二数学暑假标准课讲义 (3)如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°， 试用含n的代数式表示∠BOC． 【答案】90o12no. 【练习5.3】如图，已知线段AD，BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且 ∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数． 【答案】39°． 1.3多边形及其内角和 多边形定义 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．一个n边形一共有n(n－3)2条对角线 【例6】(1)三角形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线． (2)四边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可 11 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 画________条对角线，它共有________条对角线． (3)五边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线． (4)n边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线． 【答案】 一个三角形有3个顶点，3个角，6个外角，从一个顶点能画出0条对角线，共有0条对角线； 一个四边形有4个顶点，4个角，8个外角，从一个顶点能画出1条对角线，共有2条对角线； 一个五边形有5个顶点，5个角，10个外角，从一个顶点能画出2条对角线，共有5条对角线； n(n－3) 一个n边形有n个顶点，n个角，2n个外角，从一个顶点能画出(n－3)条对角线，共有 2条对角线； 【练习6.1】(1)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形． 【答案】六边形． (2) 十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线 【答案】10个顶点，10个内角，20个外角，从一个顶点能画出7条对角线，共有35条对角线； 多边形内角和与外角和 n边形内角和等于(n－2)×180° n边形外角和等于360° 12 初二数学暑假标准课讲义 【例7】（1）四边形的四个内角的度数的比是1：2：4：3，则最小的内角为_______度． 【答案】36° 【练习7.1】一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，该内角多少度？ 【答案】130° （2）已知一个多边形的每个内角都等于168°，求它的边数． 【答案】30 【练习7.2】一个多边形的内角和等于其外角和，这个多边形是________边形； 【答案】四 （3）证明：多边形外角和为360° 【答案】略 【练习7.3】一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数. 【答案】15 （4）如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________° 【答案】360° 13 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【练习7.4】(1)已知：如图A，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝______． (2)已知：如图B，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝______． 图A 图B 【答案】(1)360°；(2)360° （5）如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【答案】360° 【练习7.5】如图，在图A中，猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______°． 请说明你猜想的理由． 图A 图B 如果把图A称为2环三角形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F；图B称为2环四边形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H，则2 14 初二数学暑假标准课讲义 环四边形的内角和为______°；2环五边形的内角和为______°；2环n边形的内角和为______° 【答案】360；720；1080；2(n－2)×180． 15 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 课后作业: 1. 如图，已知在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=42°，∠C=84°，试求∠AEC，∠DAE． 【答案】 69°，21° 2．如图所示，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线．分别交于D，P． （1）若∠A=30°，求∠BDC，∠BPC． （2）不论∠A为多少时，探索∠D+∠P的值是变化还是不变化？为什么？ 【答案】（1）∠BDC=105°，∠BPC=75°；（2）不变，∠D+∠P=180° 3．（1）如图①所示，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？ （2）如图②若把△ABC纸片沿DE点折叠当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与∠+∠之间有一种数量关系始终保持不变，请写出这个规律？并说明理由？ 【答案】（1）∠1+∠2=∠B+∠C 16 初二数学暑假标准课讲义 （2）+=2∠A 4．请完成下面的说明: （1）如图①所示，△ABC的外角平分线交于G，试说明∠BGC=90°- 12∠A． 说明：根据三角形内角和等于180°，可知∠ABC+∠ACB=180°-∠_____． 根据平角是180°，可知∠ABE+∠ACF=180°×2=360°， 所以∠EBC+∠FCB=360°（-∠ABC+∠ACB）=360°（-180°-∠_____）=180°+∠______．根据角平分线的意义，可知∠2+∠3= 12（∠EBC+∠FCB）=12（180°+∠_____）=90°+12∠_______．所以∠BGC=180°-（∠2+∠3）=90°-∠____． （2）如图②所示，若△ABC的内角平分线交于点I，试说明∠BIC=90°+12∠A． （3）用（1），（2）的结论，你能说出∠BGC和∠BIC的关系吗？ ① ② 【答案】 （1）A A A A A A （2）略 （3）互补． 5. 如图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪（图中阴影部分）． （1）图①中草坪的面积为_____;（2）图②中草坪的面积为_____; （3）图③中草坪的面积为_____; （4）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为_____． 17 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】（1） 13n2R2 （2）R2 （3）R2 （4）R2 2226.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm和15 cm两部分，求三角形的底边长． 【答案】7 cm或11 cm. 7.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长． 【答案】5或4． 8.若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和． 【答案】这个多边形的边数是5，内角和是0°. 9.如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________. 【答案】125° 10.一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小． 【答案】边数是17.少加的内角是30°. 18 初二数学暑假标准课讲义 11.如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC＝140°才合格，小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？ 【答案】∠BDC≠140°，故此零件不合格． 12.已知△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于G1，G2，G3，…， Gn1，试猜想：BGn1C与∠A的关系．(其中n≥2且n为整数) 首先得到：当n＝2时，如图1，BG1C＝________； 当n＝3时，如图2，BG2C＝________； …… 猜想BGn1C＝________． …… 图1 图2 图n－1 【答案】 当n＝2时，BG11C902A; 当n＝3时，BG22C603A; 猜想BG180on1n1CnnA. 13.一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数． 【答案】9 19 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 入门检测： 1.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】1. B 2.三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是 ． 【答案】2. 1 【答案】3. 在△ABD中，∵∠A=90°，∠1=60°， ∴∠ABD=90°-∠1=30°． ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=30°． 在△BDC中，∠C=180°-（∠BDC+∠CBD）=70°． 4.如下图，ABC中，点P是CBD与BCE平分线的交点，说明P与A有怎样大小关系？ 【答案】4. P90 5.如图①，△ABC为等边三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且 A 2AD1BE1CF11AB，连结D1E1，E1F1，F1D1，可得△D1E1F1． 2'（1）用S表示△AD1F1的面积S1=，△D1E1F1的面积S1=； 20 初二数学暑假标准课讲义 （2）当D2，E2，F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2BE2CF213AB时，如图②，按照上述思路探索下去，当Dn，En，Fn分别是等边△ABC三边上的点，且 AD1nBEnCFnn1AB时（n为正整数） ，△ADnFn的面积Sn=，△DnEnFn的面积Sn= ． AAD2D1F1F2BECBEC2图①1图② 【答案】 5.根据同高的三角形的面积比是底的比求△ADnFn的面积，用△ABC的面积减去△ADnFn的面积的三倍求△DnEnFn的面积Sn 2(1)S11nnn14S，S14S (2) Sn(n1)2S，Sn1n22n1S 21 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 第二讲 全等三角形的性质与判定 性质 全等三角形 判定 模型 2.1全等三角形的性质 全等三角形的性质 ①全等三角形对应边相等 ②全等三角形对应角相等 【例1】如图1，折叠长方形ABCD，使顶点D与BC边上的N点重合，如果，则AN cm，NM cm，AD7cm,DM5cm,DAM39，NAB . A D M B N C 【答案】 ADMANM得，ANAD7cm,NMDM5cm,NAMDAM39，BAN12 22 初二数学暑假标准课讲义 【练习1.1】 如图，在长方形ABCD中，将BCD沿其对角线BD翻折得到BED，若 135，则2 . 【答案】35 2.2全等三角形的判定 全等三角形判定方法1—“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 【例2】已知：如图，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC. 【答案】利用SSS证ADBBCA,得出CD,由三角形内角和得出结论. 【练习2.1】.“三月三，放风筝”．如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不 用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明． 23 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】利用SSS证全等，得出角等. 全等三角形判定方法2—“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 【例3】△ABC是一个等边三角形，点D，E分别在AB，AC上，且AD=CE，BE和CD相交于P，求∠BPD的度数． 【答案】根据题干条件：AC=BC，∠A=∠ACB=60°，AD=CE，可以判定△ABD≌△BCE，即可得到∠ACD=∠CBE，又知∠BPD=∠EBC+∠DCB求出即可． 【练习3.1】如图所示，已知ABDC，AEDF，CEBF，证明：AFDE． ADCEFB 24 初二数学暑假标准课讲义 【答案】由SSS得ABEDCF,CB,再由SAS得AFBDEC 全等三角形判定方法3—“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”） 【例4】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ． 求证：HN＝PM. 【答案】由“8”字型得出PMQHNQ,根据ASA得出PMQHNQ,进而得出结论. 【练习4.1】已知如图，B是CE的中点，AD=BC，AB=DC．DE交AB于点F， 求证：（1）AD∥BC （2）AF=BF． 【答案】由SSS得出ABDCDB,ADBCBD,由平行线判定得出结论（1），再由ASA得出ADFBEF,对应边相等. 全等三角形判定方法4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 【例5】如图，已知AC=CE，∠1=∠2=∠3． （1）说明∠B=∠D的理由；（2）说明AB=DE的理由． 25 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】全等三角形的判定与性质｡ （1）由8字模型可得，△ADF和△BCF中∠B=∠D； （2）由（1）知：∠B=∠D， ∵∠2=∠3，∴∠DCE=∠ACB， ∴△ABC≌△EDC， ∴AB=DE（全等三角形的对应边相等）． 【练习5.1】求证：两个角及第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等． 【答案】已知∠B=B，∠C=∠C，AD，AD分别平分∠BAC，ABC≌BAC.求证： ABC 证明： ∵∠B=B，∠C=∠C， ∴∠BAC=BAC， ∵AD，AD分别平分∠BAC，BAC， ∴∠BAD=BAD∵AD=AD，∠B=B， ∴△ABD≌ABD（AAS）， ∴AB=AB， ∵∠B=B，AB=AB，∠BAC=BAC， ∴ABC≌ABC（ASA）． 全等三角形判定方法5——“斜边、直角边” 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 【例6】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC. 26 初二数学暑假标准课讲义 【答案】用HL求证Rt△ADE≌Rt△BCF，利用全等三角形的性质，可证△ABF≌△CDE或△ABC≌△CDA,再由内错角相等两直线平行推出AB∥CD． 【练习6.1】如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE． 【答案】证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD=AF，AC=AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）． ∴CD=EF． ∵AD=AF，AB=AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）． ∴BD=BF． ∴BD-CD=BF-EF． 即BC=BE． 2.3全等模型 手拉手模型 手拉手模型是比较形象的模型,指的是两个图形有一个公共点，这两个图形围绕着这个公共点运动过程中产生的全等关系 【例7】如图，在直线AB的同一侧作两个等边三角形ABD与BCE，连接AE与CD，证明： 27 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 （1）△ABC≌△DBC （2）AE=CD （3）AE与CD之间的夹角为60 （4）△AGB≌△DFB （5）△EGB≌△FBC （6）GF∥AC DEHGFABC 【答案】（1）AB=BD，∠ABE=∠CBD,BC=BE，可得全等.（2）由（1）中全等可得.（3）由（1）中全等可得∠CAE=∠CDB，在△ADH中，∠DAH+∠ADH=120°，所以∠AHD=60°，问题得证.（4）由（1）中全等可得∠CAE=∠CDB，因为AB=BD，∠ABG=∠DBF=60°，可得全等.（5）证明方法同上一题.（6）连GF，GBF为等边，所以平行. 【练习7.1】复习全等三角形的知识时，老师布置了一道作业题: “如图①,已知在ABC中, ABAC,P是ABC内任意一点,将AP绕点A顺时针旋转至AQ,使QAPBAC，连接BQ、CP,则BQ=CP.” 小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图形①的分析,证明了ABQACP,从而证得 BQ=CP.之后,他将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中其它条件不变,发现BQ=CP仍然成立,请你就图②给出自己的证明. AQAQPPBCBC 28 图1 图2 初二数学暑假标准课讲义 【答案】AQ=AP，∠QAB=∠PAC，AB=AC，可证△QAB≌△PAC，问题可证 【练习7.1】如图,A、B、C在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点G，连接CD交BE于点F，连接GF得△BGF. （1）求证：△ABE≌△DBC; （2）试判断△BGF的形状，并说明理由. 【答案】（1）证明：∵等边△ABD和等边△BCE， ∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°， ∴∠ABE=∠DBC=120°， 在△ABE和△DBC中， ∵ AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC ∴△ABE≌△DBC（SAS） （2）△BMN为等边三角形，理由为： 证明：∵△ABE≌△DBC， ∴∠AEB=∠DCB 又∠ABD=∠EBC=60°， ∴∠MBE=60° 即∠MBE=∠NBC=60° 在△MBE和△NBC中， ∵ ∠AEB=∠DCB EB=CB ∠MBE=∠NBC ∴△MBE≌△NBC（ASA） DEHGFABC 29 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 ∴BM=BN，∠MBE=60° 则△BMN为等边三角形 一线三等角模型 一线三等角模型是一条线上有三个相等的角，就可以利用等角余角或等角补角进行角的转化,从而构造全等三角形. 【例8】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B 两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F. 如图，当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF. ECFAB 【答案】（1）∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3. ∵在△ACE和△CBF中， AECCFB13ACBC ∴△ACE≌△CBF（AAS） ∴AE＝CF，CE＝BF ∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF. 【练习8.1】已知：如图,已知在△ABC中,∠B=∠C=∠EDF,D为BC上一点,BF=CD,求证：DF=DE 30 初二数学暑假标准课讲义 【答案】证明：∠BDF=∠CED，∠B=∠C，BF=CD，∴△BDF≌△CED∴DF=DE 31 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 课后作业： 1．如图，在△ABC和△ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，点C在DE上．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）BDAADC． EABCD 【答案】证明：（1）BACDAE，BACDACDAEDAC. BADCAE. ABAC在△ABD和△ACE中，BADEACABD≌ACE. ADAE（2） ABD≌ACE.ADBAEC. ADAEADCAEC.BDAADC. 2．已知：如图，正方形ABCD，E，F分别为DC，BC中点． 求证：AE=AF． 【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴ AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB． ∵E、F为DC、BC中点，∴DE=2DC，BF=2BC．∴DE=BF． ∵在△ADE和△ABF中， 1 1 32 初二数学暑假标准课讲义 ADAB,DB,∴△ADE≌△ABF（SAS） ．∴AE=AF． DEBF, 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，高线AD和BE交于点F.求证：CD＝DF. AFEBDC 【答案】证明：AD、BE是△ABC的高线ADBC，BEAC ADBADC90,AEB90 ∠ABC＝45°△ADB是等腰直角三角形ADBD 2390, 1490,3412 △BDF≌△ADC(ASA) CD＝DF A1F4E3B2DC 4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D． (1)求证：AE=CD；(2)若AC=12cm，求BD的长． 【答案】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE， 33 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 ∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC． 又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA， ∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE=CD． （2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，∴△CDB≌△AEC（HL）， ∴BD=CE，∵AE是BC边上的中线，∴BD=EC= 5．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE． 求证：BD=EC+ED． 11BC=AC，且AC=12cm．∴BD=6cm． 22 【答案】证明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE， ∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°． ABDEAC∴∠ABD=∠DAC．∵在△ABD和△CAE中BDAE ABAC∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD=AE，EC=AD． ∵AE=AD+DE，∴BD=EC+ED． 6．已知：如图，ABC、CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD,BE的中点． 34 初二数学暑假标准课讲义 (1)求证：ADBE； (2)求证：MNC是等边三角形． 【答案】 （1）证明全等 （2）根据全等和中线得出MCNC,且ACMBCN，则MCN60， 从而证明MNC是等边三角形 7．已知：ABC中,ABAC8，BDEC,DEFB, BE5 ,求AF的长． AFDBEC ABACBC又DEFBBDECEF【答案】证明： BC,BDECEF,BDEC BDE≌CEFBECF5AC8,AF3 35 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 入门检测： 1．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为 ． 【答案】1. 80° 2．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由． 【答案】2.提示：根据HL证明△ABF≌△CDE，得到DE=BF，然后根据AAS证明△DEG≌△BFG即可 3．如图，已知△ABE和△ACF，AB=AE，AF=AC，∠EAB=∠FAC=90°．CE和BF相交于O． 求证：CEBF． 36 初二数学暑假标准课讲义 【答案】3.提示：拉手模型：根据SAS证明△AEC≌△ABF，得到∠ABF=∠AEC，从而得证∠BEO+∠OBE=∠BEO+∠AEO+∠EBA=∠AEB=∠ABE=90°，可得∠EOB=90°，从而得到CEBF.（推导∠EOB=90°可有多种证法） 4．已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，求线段BH的长度. 【答案】4.提示：∠ABC=45°可得AD=BD，由三角形内角和可得∠DBH=∠DAC，从而可证△BDH≌△ADC，可得BH=AC=4. 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为 . 37 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】5.提示：根据条件可证得△ACF≌△BAE，故△ACF与△BDE的面积之和为△ABD的面积，根据“等高的三角形面积比等于底的比”可得△ABD的面积=5 38 初二数学暑假标准课讲义 第三讲 全等三角形常见的辅助线（一） 双垂型 单垂型 角平分线 全等型 全等三角形常见平行型 的辅助线（一） 截长 截长补短 补短 3.1角平分线 辅助线（1）--双垂型 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 双垂型的几何模型： 39 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【例1】△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=，BD∶DC=9∶7,求D到AB的距离. AC DB. 【练习1.1】已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F． 求证：BP为∠MBN的平分线． MDAPBCAN 【答案】过P作PE⊥AC于E． ∵PA，PC分别为∠MAC与∠NCA的平分线．且PD⊥BM，PF⊥BN ∴PD=PE，PF=PE,∴PD=PF 又∵PD⊥BM，PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线上， 即BP是∠MBN的平分线． 40 初二数学暑假标准课讲义 【例2】已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD．求证:∠B+∠D=180°． DCAB 【答案】因为C在角平分线上，所以可以根据辅助线一作角两边的垂线，证明全等，然后利用邻补角的性质证明结论. 【练习2.1】．已知：△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等． APBC 【答案】作PDAB，PEBC，PFAC，垂足分别为D，E，F． ∵BM，CN是△ABC的角平分线(如图)， ∴PDPE，PEPF． ∴PDPEPF，即点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等． A N D P F M B E C 图 41 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 辅助线（2）——单垂型 通过角平分线上一点作角平分线的垂线，与角的两边相交于两点，从而在角平线两侧出现全等三角形. 单垂型的几何模型图： 【例3】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过点C的直线于E. 求证：BD=2CE. 【答案】延长CE、BA交于点F,这样就在BD两侧出现全等三角形，从而得到CF=BD，再证明CF=BD即可. 【练习3.1】如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED= . 【答案】126° 42 初二数学暑假标准课讲义 【练习3.2】已知：A90，ABAC，CEBD交BD的延长线于E，BD2CE. 求证：BD平分ABC. 【答案】提示：延长CE、BA交于点F,可证△ABD≌△FCA，得到CE=EF，再根据SAS证明△FBE≌△CBE即可 辅助线（3）——全等型 根据角平分线的尺规作图可知，角两边上有以角的顶点为端点的两条相等的线段时，则连接这两条线段的另一个端点与角平分线上的任何一点，可在角平线两侧出现全等三角形. 全等型的几何模型： 【例4】如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形. 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系并证明； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. B M B 【答案】（1）猜想FE=FD；在AC上截取AG=AE，连接E FG，可证△AEF≌EAGF ，从而得O P F D F D 43 C 图① N A A 图② 图③ C 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 到EF=GF且∠AEF=∠AGF=105°，从而得∠FGC=75°，又因为∠FDC=75°，得∠FGC=∠FDC，然后根据AAS得证△GCF≌DCF,∴FE=FD． （2）在AC上截取AG=AE，连接FG，可证△AEF≌AGF，从而得到EF=GF，根据三角形的内角和定理求出∠AFC=120°，则∠AFE=∠AFG=∠DFC=60° 然后根据AAS得证△GCF≌DCF,即FE=FD． 【练习4.1】如图所示：AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点．过点E的直线分别交AM、DN于B、C． （1）如图，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想BE、CE之间的数量关系并证明． （2）若点B、C分别位于点AD的两侧时，（1）中的结论还成立吗？画图并写出证明过程． 【答案】 （1）BE=CE 在AD上作AF=AB，连接EF 根据SAS可证△ABE≌△AFE， 从而得到BE=EF，∠ABE=∠AFE,由平行线的同旁内角互补及邻补角可知∠EFD=∠ECD,根据AAS可证△EFD≌△ECD，可得CE=EF，等量代换得证BE=CE. （2）成立.提示：如图在AB上作AF=AD,根据SAS可证△AFE≌△ADE，从而得到EF=ED，根据平行线内错角相等及对顶角相等，可根据AAS可证△BEF≌△CED,得到BE=CE. 【练习4.2】P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB 初二数学暑假标准课讲义 C A P D B 【答案】在AC上作AE=AB，连接PE，可证得PE=BP，则在△EPC中利用三边关系即可. 辅助线（4）--平行型 等腰三角形知识先知：等边对等角，等角对等边. 平行型的几何模型： 【例题5】已知：△ABC的角平分线BM，CN相交于P，连结AP， 求证：AB+AC>2AP. APBC 【答案】过P作BC的平行线，交AB、AC于D,E两点，根据等角对等边得到边的关系，然后再利用三角形三边关系及不等式的性质得出题证结论. 【练习5.1】已知：在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E． 求证：CD12BE． 45 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 ADBEC DF=DC,再根据∠BDF+∠EDF=90°，【答案】过点D作DF∥AB，交BC于F，可证得DF=BF，∠DBF+∠BED=90°，可得DF=EF，从而得到CD 1BE. 23.2截长补短 截长补短 要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法. 1．可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等.（截长） 2．把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等.（补短） 【例6】如图，ABC中，ABAC，A108，BD平分ABC交AC于D点． 求证：BC=AC+CD． ADBC 【答案】方法一：延长BA，并取BM=BC,连接MD. 证明△BDC≌△BDM，推得 BCDBMD36,CDDM 根据三角形的内角和可得：MADDMA72， ∴MA=MD ∴BC=AC+CD． 方法二：在BC上截取BM=BA,连接MD. 证明△BDA≌△BDM，推得 根据三角形的内角和可得：CMDCDM72， 46 初二数学暑假标准课讲义 ∴CD=CM ∴BC=AC+CD． 【练习6.1】△ABC中，AB=AC=BC=1，△BDC中，∠BDC=120°，且BD=CD.以D为顶点作∠MDN=60°，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长. 【答案】延长AC到E，使CE=BM，连接DE，求证△BMD≌△CDE可得∠BDM=∠CDE，进而求证△MDN≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可计算△AMN周长，即可解题． 【练习6.2】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC． 求证：BC=BD+AD． 【答案】在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连接DE、CF． 易证：△ABD≌△EBD ∴∠DEB=∠A=100°，则得∠DEC=80° ∵AB=AC，BD平分∠ABC， ∴∠ABC=∠CDE= ∠CED =40°， ∴∠ABD=∠2=ABC2=20° ∵BC=BF，∠2=20°， ∴∠F=∠FCB=12（180°-∠2）=80°则∠F=∠DEC 可证：△DCE≌△DCF∴DF=DE=AD 47 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 ∴BC=BF=BD+DF=BD+AD 【例7】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且∠ABC+∠ADC=180°． 求证：AE1(ABAD)． 2 【答案】可以在AB上截长，也在AD上可以补短，也可以过C作AD的垂线. 详析方法一：在AB上截取AM=AD，连接CM．利用SAS证ADCAMC,得出 ADCAMC,利用AAS可得CEMCEB，根据线段之间的关系即可. 【练习7.1】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且 AE1(ABAD)． 2求∠ABC+∠ADC的度数． 【答案】可以在AB上截长，也在AD上可以补短，也可以过C作AD的垂线.详析方法一：在AB上截取AM=AD，连接CM．利用SAS证ADCAMC,得出 ADCAMC,利用SAS可得CEMCEB，得出CMECBE即可. 【例8】已知，AB=AC，底边BC上任一点P，过点P向AB,AC分别作垂线，交AB于M，AC于N． 求证：PM+PN=CG． 48 初二数学暑假标准课讲义 【答案】过点P作PQ⊥AB，交CG于点Q，可得MG=PQ，由AAS得CPQPCN,可得PQ=CN,即可. 【练习8.1】 如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，重合部分是△FBD，AB=2，点P是对角线BD上任意一点，PM⊥AD于点M，PN⊥BE于点N． 求证：PM+PN=AB． 【答案】过点P作PQ⊥AB，交AB于点Q，可得AQ=MP，由AAS得BPQPBN,可得BQ=PN,即可. 49 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 课后作业： 1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长． AEBGCFD 【答案】（1）连接DB、DC，根据SAS证明△BGD≌△CGD,得到BD=CD；再根据HL证明Rt△BED≌Rt△CFD即可证得BE=CF （2）设BE=x，则AE=AF=a-x,CF=x，且CF=AF-AC，故x=a-x-b，解得：x= ab，∴BE=2aba+b，AE= 22 2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于G，交AB于E，EF∥BC交AB于M，交AC于F． 求证：∠DEC=∠FEC． CE⊥AD于G可得∴AEG≌△ACG，∴AED≌△ACD,可得∠AEG=【答案】由AD平分∠BAC，∠ACG，∠AED =∠ACD，从而∠GED=∠GCD，由于平行，所以∠FEC=∠GCD，故∠DEC= 50 初二数学暑假标准课讲义 ∠FEC得证． 3．如图，已知四边形ABCD中，BA＞BC，DA=DC，BD平分∠ABC，请你猜想∠A与∠C的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】∠A+∠C=180°． 过D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，求出DM=DN，根据HL证Rt△AMD≌Rt△CND，推出∠DCN=∠A，根据∠BCD+∠DCN=180°推出即可． 4．已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，AD=BD． 求证：CDAC． A 1 2 C B D 【答案】在AB上截取AE=AC，连接DC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED，又因为AB=2AC，得到AE=BE，根据SSS证△DEA≌△DEB，推出∠AED=∠BED=90°，所以∠ACD=90°，故CDAC得证． 51 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 5．已知AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A，点E为MN上异于A的任一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB． 求证：PB＞PA． 【答案】延长AC到F，使AF=AB,连接EF，∠MAB=∠CAE,由对顶角相等得∠MAB=∠MAF,根据SAS可证△EFA≌△EBA,从而EF=EB,在△CEF中利用三边关系可知EF+EC＞CF，即 EB+EC＞AB+AC，故PB＞PA得证. 6．如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由． 【答案】可以截长，也可以补短. 证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF． CED1A25634F(1)B △ACE≌△AFE（SAS）又 因为, ,∴∠6=∠D∴△EFB≌△EDB（AAS） 得证AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F 52 初二数学暑假标准课讲义 FC5E6D1A234(2)B 7．已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明． AEODBC【答案】在BC上截取BM=BE，可证△BOE≌BOM，得∠BOE=∠BOM=∠COM=∠COD=60°，从而证得△COD≌COM，得BC=BE+CD. 53 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 入门检测: 1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，那么 ①BD=FC；②∠ABD=∠FCA；③BC=2CE；④CE=FE．其中正确的结论的个数（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】1.B 2．已知：如图，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△PAB的面积与△PCD的面积． 【答案】2.相等 3．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，求证：PM+PN= 1AC． 2 【答案】3. 提示：过B作BQ⊥AC，交AC于点Q，过P作PH⊥BQ，交BQ于点H. 易证MP=QH.利用ASA证明BPNPBH,BNPH即可 初二数学暑假标准课讲义 4.已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC 上一点,并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理 由． 【答案】4.在线段AC上截取AG=AE，根据SAS证明AEDAGD,通过倒角得 FGDGFD,DFDGDE 5.四边形ABCD是正方形，P为BC上任意一点，PAD的平分线交CD于Q 求证：DQAPBP 【答案】5.延长CB到E，使得BE=DQ,根据SAS得出DABE@DADQ,则EP=BP+DQ,再根据倒角，得出AP=EP. 55 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 第四讲 全等三角形常见的辅助线（二） 截取 平移 构造全等 全等三角形常见的辅助线（二） 全等 条件 倍长中线 倍长中线 倍长类中线 4.1倍长中线 倍长中线 倍长中线：把过中点的线段延长一倍，从而出现等量线段，连接已知端点和倍长之后的端点，构造8字形，从而得出全等三角形. 倍长中线结论：“8”字形两个对边位置关系为平行，数量关系为相等. AC=4，则AD的取值范围【例1】 AD是ABC中BC边上的中线，若AB2，是 . 【答案】延长AD到E，使得DE=AD.根据SAS证明,在AEC中，根据三角形三边关系 56 初二数学暑假标准课讲义 得出结论 【练习1.1】如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 【答案】倍长ED到G,使得DG=ED,根据SAS证明BDECDG,BECG.再根据三角形三边关系，得出结论. 【练习1.2】以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE， BADCAE90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位 置关系及数量关系. （1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是； （2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．. 【答案】（1）AMDE，AM12DE.（2）延长AM至F使得MF=MA，连接CF，由SAS得出ABMFCM,AB=CF，再由ADECFA,进而得出AMDE, AM12DE. 57 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 4.2全等其他辅助线 截取构造全等 线段相等的证明方法：将其构造在两个三角形中，使其全等. 【例2】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作 DMN60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? DNAMBE 【答案】在DA上截取DF=MB,由三等模型倒角得出FDMBMN,再由AAS 证明FDMBMN，得出结论. 【练习2.1】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与∠ABC 外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？ DC NAMBE 【答案】在DA上截取DF=MB,由三等模型倒角得出FDMBMN,再由AAS证明 FDMBMN，得出结论. 平移构造全等 集散思想：出现分散的相等线段，可选择平移来构造全等三角形. 【例3】如图，已知△ABC． （1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连结AD，AE，写出使此图 58 初二数学暑假标准课讲义 中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； （2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明ABACADAE． 【答案】解：（1）如图1，BDCEDE； △ABD和△ACE，△ABE和△ACD （2）证法一：如图2，分别过点D，B作CA，EA的平行线，两线交于F点，DF与AB交于G点． 所以ACEFDB，AECFBD． 在△AEC和△FBD中，又CEBD， 可证△AEC≌△FBD． 所以ACFD，AEFB． 图2 在△AGD中，AGDGAD， 在△BFG中，BGFGFB， 所以AGDGAD0，BGFGFB0． 所以AGDGBGFGADFB0． 即ABFDADFB． 所以ABACADAE． 【练习3.1】在凸四边形ABCD中，∠BAD+∠CBA≤180°，点E、F为边CD上的两点，且DE=FC． 求证：AD+BC≤AE+BF． 59 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】平移△ADE，使DE与CF重合，如图． 巧作等边构全等 巧做等边，将分散的等线段结合等边构造全等. 【例4】如图，ABC中，AB=AC，AD=BC,A20，求：DCA的度数. 【答案】以AC为边构造等边三角形AEC ,连接BE,由SAS得“8”字型得出 ADC≌CBE,通过倒角，得出ACD=10? 【练习4.1】任意ABC，试在ABC内找一点P，使得PA+PB+PC的值最小.（费马点） 60 初二数学暑假标准课讲义 【答案】以AB为边向外做等边三角形ABE，根据两点间线段最短，得PA+PB+PC的最小值为CE的长.同理可以以AC、BC为边做等边三角形. 【练习4.2】在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段 CD，旋转角为，且0180，连接AD、BD． （1）如图1，当∠BAC=100°，60时，∠CBD 的大小为_________； （2）如图2，当∠BAC=100°，20时，求∠CBD的大小； AA D BCBC D 图1 图2 【答案】（1）30°； （2）如图作等边△AFC，连结DF、BF． ∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°. ∵∠BAC=100°，AB=AC， ∴∠ABC=∠BCA =40°. A∵∠ACD=20°， ∴∠DCB=20°. D∴∠DCB=∠FCB=20°.① BC∵AC=CD，AC=FC， ∴DC=FC.② F∵BC=BC，③ ∴由①②③，得△DCB≌△FCB， ∴DB=BF，∠DBC=∠FBC. ∵∠BAC=100°，∠FAC=60°， ∴∠BAF=40°. ∵∠ACD=20°，AC=CD， ∴∠CAD=80°. ∴∠DAF=20°. ∴∠BAD=∠FAD=20°.④ 61 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 ∵AB=AC， AC=AF， ∴AB= AF.⑤ ∵AD= AD，⑥ ∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF. ∴FD= BD. ∴FD= BD=FB. ∴∠DBF=60°. ∴∠CBD=30°. 借助已知构全等 题干已知条件比较多，且相对集中，则可以考虑构造相等线段及相等角所在的三角形全等. 【例5】已知：如图，D为线段AB上一点（不与点A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB， AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD． （1）如图1，当点D恰是AB的中点时，请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系； （2）如图2，当点D不是AB的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出 你的猜想并证明； 【答案】（1）猜想：∠ACE=∠BCF． 证明：∵D是AB中点， ∴AD=BD， 又∵AE=BD，BF=AD， ∴AE=BF． 62 CCADBADBEFEF图1 图2 CA13D24BEF初二数学暑假标准课讲义 ∵CD⊥AB，AD=BD， ∴CA=CB． ∴∠1 =∠2． ∵AE⊥AB，BF⊥AB， ∴∠3 =∠4=90°． ∴∠1+∠3 =∠2+∠4． 即∠CAE=∠CBF． C∴△CAE ≌△CBF． ∴∠ACE=∠BCF． （2）∠ACE=∠BCF仍然成立． 证明：连结BE、AF． ADB∵CD⊥AB，AE⊥AB， ∴∠CDB=∠BAE=90°． E又∵BD = AE，CD = AB ， F△CDB≌△BAE． ∴CB=BE，∠BCD=∠EBA． 在Rt△CDB中，∵∠CDB =90°， ∴∠BCD+∠CBD =90°． ∴∠EBA+∠CBD =90°． 即∠CBE =90°． ∴△BCE是等腰直角三角形． ∴∠BCE=45°． 同理可证：△ACF是等腰直角三角形． ∴∠ACF=45°．∴∠ACF=∠BCE． ∴∠ACF-∠ECF =∠BCE-∠ECF． 即∠ACE=∠BCF． 【练习5.1】如图，从等腰Rt△ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于F，交AB于E，连结DE. 求证：∠CDF=∠ADE 63 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】过A作AN⊥AC，交CE延长线于N， △ADE≌△ANE. 过A作AN⊥AC，交CE延长线于N. ∵∠ACN=∠CBD，AC=CB， ∴Rt△ACN≌Rt△CBD， ∴∠CDF=∠ANE，CD=AN=AD， 又∵∠CAE=∠EAN=，AE=AE， ∴△ADE≌△ANE， ∴∠ADE=∠ANE， ∴∠CDF=∠ADE， 初二数学暑假标准课讲义 课后作业： 1.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，计算图中实线所围成的图形的面积S是( ). A.50 B.62 C.65 D.68 【答案】A 2.如图D是AB的中点，∠ACB=90°,求证：CD=1 2AB. 【答案】延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE，先证明∴CDB∴∴EDA.再证∴BCA∴∴EAC 3.如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE 【答案】证明：延长CE到F，使EF=CE，连接FB． ∴CE是∴ABC的中线， ∴AE=EB， 65 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 又∴∴AEC=∴BEF， ∴∴AEC∴∴BEF，（SAS） ∴∴A=∴EBF，AC=FB． ∴AB=AC， ∴∴ABC=∴ACB， ∴∴CBD=∴A+∴ACB=∴EBF+∴ABC=∴CBF； ∴CB是∴ADC的中线， ∴AB=BD， 又∴AB=AC，AC=FB， ∴FB=BD， 又CB=CB， ∴∴CBF∴∴CBD（SAS）， ∴CD=CF=CE+EF=2CE 4.已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC． 【答案】证明：过E点作EG⊥AF，垂足为G， ∵∠BAE=∠EAF，∠B=∠AGE=90°， 又∠BAE=∠EAF，即AE为角平分线，EB⊥AB，EG⊥AG， ∴BE=EG， ∴可证Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴AG=AB， 同理可知CF=GF， ∴AF=BC+FC． 66 初二数学暑假标准课讲义 5.如图所示，∠AOB=90°，D为OA的中点，OE⊥BD于点F，交AB于点E，OA=4,OB=4求证∠BDO=∠EDA 【答案】过点A作AG⊥OA交OE的延长线于点G 6.在图1中，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．∠ABC=∠ADC=90°， （1）求证：△ABC≌△ADC； （2）求证：AD+AB=AC； （3）把题中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，且DC=BC，如图2，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN．∴∠DAC=∠BAC=60 DAC=BAC∵在△ACD和△ACB中，ABC=ADC，∴△ACD≌△ACB （AAS） AC=AC（2）在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30° ∴AC=2AD，AC=2AB，∴2AD=2AB∴AD=AB∴AD+AB=AC． （3）（1）中的结论AD+AB=AC成立， 理由如下：如图2，在AN上截取AE=AC，连接CE， DAC=∵在△ADC和△EBC中，BACADC=EBC，∴△ADC≌△EBC AE=AC∵∠BAC=60°，∴DA=BE∴△CAE为等边三角形，∴AD+AB=AB+BE=AE， 67 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 ∴AC=CE，∠AEC=60°，∴AD+AB=AC． 68 初二数学暑假标准课讲义 入门检测： 1．已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. ABDC 【答案】1. 1＜AD＜4 2.△ABC为等边三角形,∠BDA=∠ADC=60°，试说明AD=BD+DC A B C D 【答案】2.在DA上截取DE=BD，连接BE ∵∠BDA=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BD=BE，∠DBE=60° ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°，AB=BC，∴∠ABC=∠DBE ∴∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE，即∠ABE=∠CBD ∵BD=BE，BC=AB，∴△CBD≌△ABE﹙SAS﹚ 69 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 ∴CD=AE，∴AD=AE+DE=CD+BD 3．.如图所示，等边△ABC，D、E分别在AC、AB的延长线上，且CD=AE， 求证：DB=DE D C A B E 【答案】3.如图，延长AE到点F，使EF=AB，连接DF. 证明△ABD≌△FED C A 4．△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC． D B E F 【答案】4．证明：在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC， ìAE=ABï在△ABD和△AED中，íÐBAD=ÐDAC∴△ABD≌△AED（SAS）， ïAD=ADî∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C， 70 初二数学暑假标准课讲义 而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∴∠C=∠EDC， ∴DE=CE，∴AB+BD=AE+CE=AC． 5．如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC.求证：∠ADC+∠B=180° ADBC 【答案】5．证明：过点C分别做CE⊥AB交AB于点E，CF⊥AD交AD延长线于点F ∵∠BAC=∠FAC ∴CE=CF 在Rt△ACE和Rt△ACF中，ìíCE=CFîAC=AC∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）∴∠CDF=∠B ∵∠ ADC+∠CDF =180° ∴∠ADC+∠B=180° AEDFBC 71 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 第五讲 轴对称 5.1轴对称图形 轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 【例1】(1) 下列四个图形中，不是轴对称图形的是( ) A． B． C． D． (2)下列图形中对称轴最多的是( ) A．圆 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段 【答案】:轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，而这条直线就是对称轴，这两题是简单的概念应用.（1）D（2）A 【练习1.1】下列图形中，轴对称图形的个数是( ) 72 初二数学暑假标准课讲义 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【练习1.2】下列说法错误的是（ ） A．等边三角形有3条对称轴 B．正方形有4条对称轴 C．角的对称轴有两条 D．圆有无数条对称轴 【答案】C 图形关于直线对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 【例2】如图,它们都是对称图形,请观察并指出哪些是轴对称图形,哪些图形成轴对称？ 【答案】:轴对称图形指一个图形，而图形成轴对称是指两个图形，这是最大的区别，用这个就可以判断，从而选出正确的选项，对称的两部分都是全等的.答案轴对称图形:1,3,4,6,8,10 ；成轴对称的图形有:2,5,7,9 73 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【练习2.1】观察下图中各组图形，其中成轴对称的为 （只写序号①等） 【答案】①②④ 轴对称性质的应用 两个图形关于一条直线对称，则这两个图形一定是全等形.因此这两个图形的对应边相等，对应角相等. 【例3】如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个( ) 【答案】:通过嘴巴的放置形态以及眼睛的位置就可以选出正确答案.答案应选C. 【练习3.1】如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ） 74 初二数学暑假标准课讲义 A． B． C． D． 【答案】D 【例4】如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，求∠BEA′的度数. 【答案】:根据题意，∠A′=∠A=90°，∠ABE=∠A′BE，又∠CBA′=30°，则∠BEA′=180°-90°-30°=60° 【练习4.1】把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，求∠DFB的度数. 【答案】112.5° 5.2垂直平分线 垂直平分线的概念与性质 (1)经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. (2)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 75 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【例5】如图，三角形ABC中，AB=AC=10cm，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，△BDC的周长为17m，求BC的长度． 【答案】:∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴BD+CD=AC=AB=26cm． ∴BC=△BDC的周长-（BD+CD）=46-26=20cm． 【练习5.1】 如图，△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，BE=5cm，△BCE的周长是18cm，求BC的长度. AEBDC 【答案】8cm 垂直平分线的判定定理 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【例6】如图所示，AB=AC，BM=CM，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 【答案】:是．理由：∵AB=AC，BM=CM，∴点A、M都在线段BC的垂直平分线上． 根据“两点确定一条直线”知，直线AM是线段BC的垂直平分线． 76 初二数学暑假标准课讲义 【练习6.1】如图．AB=AC，MB=MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线． 【答案】证明：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上 ∵BM=CM，∴点M在BC的垂直平分线上，∴直线AM是BC的垂直平分线． 5.3作轴对称图形 垂直平分线的作图 (1) 分别以点A，B为圆心，以大于 12AB的长为半径作弧，两弧相交于C,D两点； (2) 作直线CD，CD即为所求的直线． 【例7】尺规作图：线段MN的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】:如图所示：AB即为所求． 77 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【练习7.1】已知△ABC，按下列要求作图：（保留作图痕迹，不写作法） (1) 作BC边上的高AD； (2) 作ÐABC的平分线BE．（尺规作图） (3) 作出线段AB的垂直平分线MN．（尺规作图） 【答案】 作轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要78 初二数学暑假标准课讲义 作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 【例8】如图所示，已知长方形纸片ABCD中，沿着直线EF折叠，求作四边形EFCD关于直线EF的对称图形．（不要求写作法） 【答案】：如图所示：四边形EFC′D′即为所求． 【练习8.1】作出四边形ABCD关于直线l的对称图形 【答案】如图所示：四边形A′B′C′D即为所求． 79 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 “将军饮马” “将军饮马”问题的实质就是“轴对称”的基本模型” 下面是常见的几种轴对称的基本模型： BAPA' PAPB最小 D'ACBDA' ABBCCD最小 80 ADCDBC最小 CAABBC最小 初二数学暑假标准课讲义 BAA'MN A'' PMMNNQQP最小 AMMNNB最小 BAP APBP最大 APBP最大 APB P' PAPB0 ABPB最小 【例9】如图，AOB45，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求 81 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 作Q、R，使得PQR的周长的最小． 【答案】:如图，作出点P关于OA的对称点E，作出点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于Q，交OB于R．连接PQ，PR，PE，PF，OE，OF． 则PQ=EQ，PR=RF，则△PQR的周长=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF． 此时△PQR的周长的最小． 【练习9.1】如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使 PMN的周长最短． 【答案】如图所示； 82 初二数学暑假标准课讲义 5.4轴对称的坐标表示 用坐标表示轴对称 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y) 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y) 点(x,y)关于x=n对称的点的坐标为(2n-x，y) 点(x,y)关于y=n对称的点的坐标为(x，2n-y) 【例10】已知点M(2a-b，5+a)，N(2b-1，-a+b)． (1)若M、N关于x轴对称，试求a，b的值； (2)若M、N关于y轴对称，试求（b+2a）2009的值． 【答案】:（1）∵M、N关于x轴对称，∴ìí2a-b=2b-1î5+a-a+b=0解得a=-8，b=-5； （2）∵M、N关于y轴对称，∴ìí2a-b+2b-1=0î5+a=-a+b解得：a=-1，b=3， （b+2a）2009=1． 【练习10.1】已知点A(a，3)，B(-4，b)，试根据下列条件求出 a，b的值 (1)A、B两点关于y轴对称； (2)A、B两点关于x轴对称； 83 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】(1)A、B两点关于y轴对称，故有a=4，b=3； (2)A、B两点关于x轴对称；所以有a=-4，b=-3； 【例11】如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，求点D的坐标 【答案】:△ABD与△ABC有一条公共边AB，当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，-1）；②坐标为（-1，-1）； 当点D在AB的上边时，坐标为（-1，3）； 点D的坐标是（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）． 【练习11.1】点A和B关于直线y=1对称，已知点A坐标是（4，4），求点B的坐标 【答案】解：根据题意，A 和B 关于直线 y=1对称， 则A、B的连线与 y=1垂直，且两点到直线 y=1的距离相等； 由A、B的连线与 y=1垂直，可得A、B的横坐标相等， 又有两点到直线 y=1的距离相等，可得yA-1=1-yB， 解可得yB=-2；故B点的坐标为(4，-2) 84 初二数学暑假标准课讲义 课后作业： 1.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，求∠EBF的度数. 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， 根据折叠可得∠ABE=∠EBD= 12∠ABD，∠DBF=∠FBC=12∠DBC， ∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，∴∠EBD+∠DBF=45°， 即∠EBF=45° 2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 【答案】证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB， 又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC， ∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=CD ∴点A在EC的垂直平分线上，点D在EC的垂直平分线上 即直线AD是线段CE的垂直平分线． 85 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 3.如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=6cm． (1)作图：作BC边的垂直平分线分别交与AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长． 【答案】解：（1）如图1， （2）如图2， ∵DE是BC边的垂直平分线，∴BD=DC， ∵AB=4cm，AC=6cm．∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm． 4.已知，平行四边形ABCD和直线MN（如图所示），以直线MN为对称轴，作平行四边形ABCD关于直线MN的对称图形． 86 初二数学暑假标准课讲义 【答案】解：如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求． 5.如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图） (1)画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； (2)在DE上画出点P，使PB1PC最小； (3)在DE上画出点Q，使QA+QC最小． 【答案】解：如图所示： 87 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 （1）△A1B1C1即为所求． （2）连接A1C与直线DE的交点P即为所求． （3）作点A关于直线DE的对称点A′，连接A′C，交直线DE于点Q，点Q即为所求． 6.根据要求画出图形： (1)作出下图中△ABC的中线AD、角平分线BE；（保留作图痕迹，不必写出作法） (2)如图所示，E、F分别是△ABC的边AB、AC的两定点，在BC上求一点M，使△MEF的周长最短． 【答案】解：（1）如图，BE是所求的∠ABC的平分线． （2）如图，点M是所求的点． 7.如图，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 88 初二数学暑假标准课讲义 【答案】解：如图所示： 8.如图，直角坐标系中，点A的坐标是A（-2，1），求点A关于直线l对称点的坐标. 【答案】解：设点（-2，1）为A点，其对称点为B点，连接AB与直线x=1相交于C点，A（-2，1）， 又关于直线x=1对称，所以AC=BC=2+1=3，所以对称点B的坐标为（4，1）． 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为（4，1），求点B的坐标 【答案】9.解：∵△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称， ∴C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称， ∵点C的坐标为（4，1），∴ 4x =1，解得：x=-2，则点B的坐标为：（-2，1）． 210.在下面各图中画△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于l成轴对称图形． 【答案】10.解：△A′B′C′如图所示． 90 初二数学暑假标准课讲义 入门检测： 1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的 三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是______cm2. 【答案】1．6 2．如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A(4，0)， B(-1，4)，C(-3，1) (1)在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称； (2)写出点A′B′C′的坐标 B F D C A E ． 【答案】2．解：（1）如图， （2）点A′的坐标为（4，0），点B′的坐标为（-1，-4）， 点C′的坐标为（-3，-1）． 91 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 3．已知两点A(-1，3)，B(3，5)．点P为x轴上的一个动点． (1)求点A关于x轴对称点A′的坐标； (2)求做P点使PA+PB最小 【答案】3．解： （1）A′（-1，-3） （2） 4．如图，把ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示.若A60，195，则∠2的度数为多少呢？ C'A2B'B【答案】4． 1FEC A60AEFAFE120BEFCFEAEFAFE12 AEFAFE2A22A125 5．在∠MON的两边上分别找两点P、Q，使得AP+PQ+QB最小．（保留画图痕迹，不要求写作法） 92 初二数学暑假标准课讲义 MAOBN 【答案】5．分别作出点A、点B关于ON、OM的对称点A'、B'，连接A'、B'，交OM、ON分别于Q、P两点，则P、Q为所求作的两点，将三条线段转化到一条线段上去即可．所作图形如下： 93 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 第六讲 等腰三角形 6.1等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角” ） 【例1】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数． 【答案】：已知AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，由等边对等角可得∠A=∠B,∠ADE= ∠AED,∠BCD=∠BDC,∠EDC=∠ECD,因为∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°∠ADE+∠EDC+∠BDC=180，所以∠ADE=2∠A，所以在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，所以∠A=36°． 94 初二数学暑假标准课讲义 【练习1.1】△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于( ) A．45° B．36° C．90° D．135° 【答案】B 分类讨论思想 分类讨论思想： (1)关于边的讨论：出现 边长 时，分 腰 和 底 两种情况计算，再根据三角形 三边 的关系，确定结果. (2)关于角的讨论：出现 角度 时，分为 顶角 和 底角两种情况计算，再根据底角是 锐角 ，确定结果. (3)关于形状的讨论：出现“ 腰上的高 ”这一概念时， 把“ 高线 ”分为在 形内、形外 来讨论. 【例2】一等腰三角形的周长是25cm，作某一腰上的中线分得两个三角形的周长一个比另一个长5cm，则腰长是 ． 【答案】：分为两种情况，一种是腰比底长，此时腰长为10；一种是底比腰长，此时腰长为203. 【练习2.1】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B 是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则C 点的个数是__________． 95 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 AB 【答案】8个，考虑AB作为腰和作为底的情况． 【例3】已知等腰ABC中， 有一个内角为40，则另两个内角分别为_______________． 【答案】：当40°为顶角时，底角都为70°，当40°为底角时，另一个底角也为40°，顶角为100°. 【练习3.1】在△ABC中，∠A的外角等于110°，△ABC是等腰三角形，那么∠B＝ ． 【答案】70°或55° 【练习3.2】等腰三角形两内角的度数比为2∶1，则顶角为 ． 【答案】36°或90° 【例4】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于20,则等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】：当三角形为锐角三角形时，顶角为70°；当三角形为钝角三角形时，顶角为110°. 【练习4.1】等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,它的底角为 ． 【答案】75°或15° 【练习4.2】等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角等于40,则等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】当三角形为锐角时，分两种情况：与底边夹角为40°，此时，顶角为80°，与另一 96 初二数学暑假标准课讲义 腰夹角为40°时，顶角为50°；当三角形为钝角时，分两种情况：与底边夹角为40°，此时，不存在，与另一腰夹角为40°时，顶角为130°. 三线合一 (1)等腰三角形 底边上 的中线、高线和角分线是重合的 (2)三角形当中，如果一边上的中线、高线和角分线，其中 任意两条 是重合的，那么它也具有 第三条线 的性质，且该三角形为 等腰三角形 注：三线合一为我们通过作辅助线来解题提供了思路 【例5】RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF． 求证：DE＝DF． 【答案】：连接AD,已知D是中点，可以通过三线合一，得AD⊥BC，AD平分∠BAC，通过证明△ADE与△BFD全等，可证DE＝DF 【练习5.1】在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D是AC上的一点，AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE= 12BD,求证：BD是∠ABC的角平分线． AEDCB 【答案】延长AE,BC交于F,先证△ACF≌△BCD,再证△ABE≌△BEF，得AB=BF,由三线合一结论可证． 97 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 6.2等腰三角形的判定 (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等 边” ） (2)中线、高线、角平分线，已知其中的 任意两条线 重合，可以判定等腰三角形 【例6】在四边形ABCD中，AB⊥BC,DC⊥BC,BC=AB+DC,取AD中点P,连接PB、PC,判定△PBC的形状． DPABC 【答案】：△PBC为等腰直角三角形,延长BP,CD交于M,可证△ABP≌△PMD,可得AB=DM,由BC=AB+DC得CB=CM,可证△BCM为等腰直角三角形，P为BM中点，由三线合一得PC垂直BM,易证△PBC为等腰直角三角形． 【练习6.1】在凸五边形ABCDEF中，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,F为CD的中点，求证：AF⊥CD. ABECFD 【答案】 延长AB,AE交CD所在直线于M、N,先证三角形BCM和EDN全等，得∠M=∠N,MC=DN,即△AMN为等腰三角形，由三线合一得，AF⊥CD． 98 初二数学暑假标准课讲义 【例7】 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为( )． A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】：A,由题可知：延长BD，交AC于E，根据三线合一，△BCE为等腰三角形，所以，CE=BC=3，所以AE=2，因为条件中的角等，得AE=BE，所以BE=2，根据三线合一得D为中点，所以BD=DE=1． 【练习7.1】图，在△ABC中，∠A＝90°，且AB=AC，BE平分∠ABC交AC于F，过C作BE的垂线交BE于E.求证：BF=2CE． 【答案】 延长CE，交BA延长线于M，根据三线合一，△BCM为等腰三角形，所以，CE= 12CM，在△CAM和△BAF中，因为全等，所以CM=BF，所以BF=2CE． 6.3等边三角形 等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角都 相等 ，并且每个内角都等于 60o 99 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 一半 【例8】如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1=20°，则∠2的度数为( ) 【答案】：过C做CD∥l, ∵l∥m,CD∥l ∴m∥CD ∴∠1=∠BCD=20°，∠2=∠ACD ∵△ABC为等边三角形 ∴∠C=60° ∴∠ACD=40° 即∠2=40° 【练习8.1】如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是( ) 【答案】∠α+∠β=360°-120°=240° 【例9】在△ABC中，AB=BC=CA,AE=CD, AD、BE相交于P，BQ⊥AD于点Q,求证：BP=2PQ． 100 初二数学暑假标准课讲义 【答案】：证明：∵AB=BC=CA ∴∠BAC=∠C=60° AE=CD ∴△ABE≌△BCE（SAS）， ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BPD=∠ABE+∠BAD=∠CAD +∠BAD =∠BAC=60°． 又∵BQ⊥AD ∴∠EBQ=30° ∴BP=2PQ 【练习9.1】如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F． (1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论； (2)求线段AF的长． 【答案】解：(1) AC⊥BD ∵△DCE由△ABC平移而成， ∴CD=BC=3，∠BCA=∠DCE＝60° ∴∠ACD=60° ∴AC⊥BD (2) 在Rt△BFC中， ∵∠ACB=60°，∴∠DBC=30° ∴CF=1332BC=2 ∴AF=2 等边三角形的判定一 判定1：三条边 都相等的 三角形是等边三角形 【例10】如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是( ) A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 101 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】：由题意可知△ABC为等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C=60° AB=BC=AC ∵AD=BE=CF ∴BD=CE=AF ∴△ADF≌△BED 则DF=DE 同理DE=EF ∴△DEF为等边三角形． 【练习10.1】 已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证： (1)△AEF≌△CDE； (2)△ABC为等边三角形． 【答案】证明：（1）∵BF=AC，AB=AE ∴FA=EC． ∵△DEF是等边三角形，∴EF=DE． 又∵AE=CD， ∴△AEF≌△CDE（SSS）． （2）由△AEF≌△CDE，得AE=CD, ∴AB=AC ∴BF=AC=AE=CD=AB ∴△CDE≌△BFD ∴CE=BD ∴AB=AC=BC ∴△ABC是等边三角形． 等边三角形的判定二 判定2：三个角 都相等的 三角形是等边三角形 102 初二数学暑假标准课讲义 【例11】如图，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB，AE⊥AC． 求证：△ADE是等边三角形． 【答案】：证明：∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠B=∠C=30° ∵AD⊥AB，AE⊥AC ∴∠BAE=∠CAD=30° ∴∠DAE=∠AED=∠ADE=60° ∴△ADE是等边三角形． 【练习11.1】如图，等边△ABC中，O点是∠ABC及∠ACB的角平分线的交点， OM∥AB交BC于M，ON∥AC交BC于N，求证：M、N是BC的三等分点． AOBMNC 【答案】证明：∵等边△ABC中，O点是∠ABC及∠ACB的角平分线的交点∴∠ABO=∠OBC=30°，∠OCB=∠OCA=30° ∵OM∥AB，ON∥AC ∴∠ABO=∠BOM=30°，∠ACO=∠CON=30° ∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60° ∴△OMN为等边三角形 ∴BM=MN=NC ∴M、N是BC的三等分点 等边三角形的判定三 判定3： 有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形 【例12】如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼 103 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？ 【答案】：解：△BEF为等边三角形 证明：∵AE+CF=a,AD=a ∴DE=CF ∵BD=BC 又∵∠ADB=∠C=60° ∴△BDE≌△BCF ∴BE=BF,∠EBD=∠FBC ∴∠EBF=60° ∴△BEF为等边三角形 【练习12.1】 如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是( ) 【答案】证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC, ∵∠1=∠2，BE=CD ∴△ABE≌△ACD ∴AE=AD,∠BAC=∠CAD=60° ∴△ADE为等边三角形 104 初二数学暑假标准课讲义 课后作业： 1．等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其他两边长分别为____ _． 【答案】3cm，4cm或者是3.5cm，3.5cm 2．等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是__． 【答案】70,40或者是55，55 3．等腰三角形的两个内角之比是2:5，则这个三角形的最大内角的度数是． 【答案】75°或者是100° 4．在△ABC中，AB=AC,若BD=CF,求证：E是DF的中点． ADBECF 【答案】过F作FH∥BD交BC的延长线于H，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB ∵FH∥BD ∴∠B=∠CHF∴∠CHF=∠HCF，∴CF=FH=BD∴△BDE≌△FEH∴DE=EF即E是DF的中点 5．已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90º,O为AB的中点，现将一个三角形EGF的直角顶点G放在点O处，把三角形EFG绕点O旋转，EG交直线AC于K,FG交直线BC于H． (1)判断△OHK的形状 (2)求证：BH+AK=AC 105 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】 （1）连CO，因为O为AB中点，利用等腰三角形三线合一可得AO=CO=BO,可证明△COK和△BOH全等，从而OK=OH. （2）由全等可得CK=BH,通过转换得到BH+AK=AC 6．已知AB=AC, ∠BAC=90º, ∠1= ∠2.CE⊥BE,求证：BD=2CE CED21B F A【答案】根据已知条件∠1= ∠2.CE⊥BE联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明BD=2CE转化为证明BD=CF 7．已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD =∠FCD． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC． 【答案】（1）由垂直的性质推出∠ADC=∠FDB=90°，再由∠ACB=45°，推出∠ACB=∠DAC=45°，即可求得AD=CD，根据全等三角形的判定定理“ASA”，即可推出结论，（2）由（1）的结论推出BD=DF，根据AD⊥BC，即可推出∠DBF=∠DFB=45°，再由∠ACB=45°，通过三角形内角和定理即可推出∠BEC=90°，即BE⊥AC． 106 初二数学暑假标准课讲义 8．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，求∠APE的度数． 【答案】等边△ABC中，有∵AB=BC ∠ABC=∠C=60° BD=CE ∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE ∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°． 9．已知如图△ABC中，AC=BC，AD=BE，1=30，2=15求证：△ABC是等边三角形 【答案】过C作CM⊥AB由三线合一得AM=BM,所以DM=DE 可得CD=CE,∠ACM=30°，所以∠A=60°，所以△ABC是等边三角形. 10．已知如图△ABC是边长为a的等边三角形，△BCD的顶角∠BDC＝120°，DB＝DC以D为顶点作一个60°的角，角的两边DM、DN分别交AB于M，交AC于N，连结MN，△DMN形状如何． 107 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】等边三角形,可在AC延长线上截取CP=BM，得Rt△BDM≌Rt△CDP1，得出边角关系，再求△MDN≌△PDN，得MN=NM， 由∠ACD=90°得DN=DP即DM=DN,△DMN为等边 108 初二数学暑假标准课讲义 入门检测: 1．如图所示，在△ABC中，A=100，ABC=40，BD是ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，求证：BC=AB+CE 【答案】1.证明：在BC上截取一点F，使BF=BA，连结DF.【SAS在另一边上截取等长构造全等】 ADEBFC 2．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：CE＝ 12BD. AEDBC 【答案】2.证明：延长CE、BA交于点F.【ASA延长垂线交另一边构造相等线段】 FAEDBC 3．已知BG、CF是△ABC的角平分线，AB=AC，过A做DE//BC交BG、CF的延长线于 109 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 D、E.求证：DF=GE DAEFBGC 【答案】3. 证明：∴DE//BCBG、CF是△ABC的角平分线 ∴AD=AC AB=AE 可证∴ADF和∴AGE全等 ∴DF=GE 4.如图，在RtABC中，AD是斜边BC上的高，BE是ABC的平分线，AD交BE于O， EFAD于F，求证：AFOD． AF1O2DEBQC 【答案】4．做OG⊥AB， ∵AD⊥BC即OD⊥BCBE平分∠ABC∴OD=OG ∵∠BAC=90°即EA⊥AB，OG⊥AB∴OG∥AE∴∠GOA=∠FAE ∵BE平分∠ABC∴∠CBE=∠DBO=1/2∠ABC 即∠ABC=2∠CBE=2∠DBO∵∠AOE=∠BOD=90°-∠DBO=1/2∠ABC ∠AEO=∠CBE+∠C=1/2∠ABC+90°-∠ABC=90°-1/2∠ABC ∴∠AOE=∠AEO ∴OA=AE 在RtAOG和RtAEF中GOAFAE，AGOAFE90OAAE ∴RT△AOG≌RT△AEF∴AF=OG=OD 5.在ABC中，MB、NC分别是三角形的外角ABE、ACF的角平分线，AMBM， 1ANCN垂足分别是M、N．求证：MN∥BC，MNABACBC 2110 初二数学暑假标准课讲义 AMNEBCF 【答案】5．分别延长AM交BE于G，AN交CF于H BM⊥AM，BM平分∠ABE∴AM=MGGE=AB同理 AN=NH AC=CH AM=MGAN=NHMN是△AGH的中位线∴MN∥BC MN=1/2(GE+BC+CH) 而GE=AB AC=CH ∴MN=1/2（AB+AC+BC） 111 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 第七讲 几何综合（一） 7.1倍长模型 倍长模型之——倍长中线 （1）倍长中线：把过中点的线段延长一倍，从而出现等量线段，连接已知端点和倍长之后的端点，构造8字形，从而得出全等三角形. （2）倍长中线结论：“8”字形两个对边位置关系为平行，数量关系为相等. （3）常用辅助线添加倍长中线方法 方式1：延长AD到E,AD是BC边中线，使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长 ABDCE 作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE 112 初二数学暑假标准课讲义 AFBCDE 延长MD到N，使DN=MD，连接CD AMBDCN 【例1】 已知：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF AFEBDC 【答案】：证明：延长AD至点M，使MD= AD，连接MB， 易证△BDM≌△CDA( SAS)， ∴AC= BM，∠M=∠DAC， ∵EA=EF，∴∠EAF= ∠EFA，∴∠M=∠EFA=∠BFM, ∴BF=BM ∴AC=BF 【练习1.1】如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM 【练习1.2】如图，已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE 113 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】 1.延长AM至N，使MN=AM，则ABNC是平行四边形。（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∴∠CAN=∠ANB（两直线平行内错角相等） 由已知得∠EAD+∠BAC=180°（由周角定义及AB⊥AE,AD⊥AC垂直定义） △ABN中，∠ABN+∠BAN+∠ANB=180°（三角形内角和定理） ∴∠ABN+∠BAN+∠CAN=180°（等量代换）即∠ABN+∠BAC=180°（等量代换） 又∵∠EAD+∠BAC=180° ∴∠ABN=∠EAD（同角的补角相等） 又∵BN=AC=AD,BA=AE ∴△BNA≌△ADE（SAS） ∴NA=DE（全等三角形对应边相等）∴2AM=DE（等量代换） 2.证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF， ∵AE是△ABD的中线 ∴BE=ED， 在△ABE与△FDE中 ∵ BE＝DE,∠AEB＝∠DEF,AE＝EF， ∴△ABE≌△FDE（SAS）， ∴AB=DF，∠BAE=∠EFD， ∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD， ∴∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD， ∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD， ∴∠ADF=∠ADC， ∵AB=DC，∴DF=DC， 在△ADF与△ADC中 ∵ AD＝AD,∠ADF＝∠ADC,FD＝DC， ∴△ADF≌△ADC（SAS） ∴∠C=∠AFD=∠BAE． 114 初二数学暑假标准课讲义 【能力提升】 已知Rt∴ABC中，AC=BC，∴C=90°，D为AB边的中点，∴EDF=90°，∴EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F．当∴EDF绕D点旋转到DE∴AC于E时(如图1)，易证S1DEFSCEF2SABC．当∴EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，SDEF， SCEF,SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】解：（1）证明图： 过点D作DM⊥AC，DN⊥BC,则∠DME=∠DNF=∠MDN=90o 再证∠MDE=∠NDF,DM=DN 有△DME≌△DNF∴SDMESDNF∴S四边形DMCN=S四边形DECF=SDEF+SCEF 由信息可知S1四边形DMCN=SABC∴SDEFSCEF122SABC （2）图3不成立，S1DEF、SCEF、SABC的关系是：SDEFSCEF2SABC 115 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 倍长模型之——倍长类中线 类中线：图中D为BC的中点，E为AC上任意一点，则DE为类中线 AEBDC 倍长类中线：把DE这条类中线延长一倍，从而出现等量线段，连接已知端点和倍长之后的端点，构造8字形，从而得出全等三角形. AEBFDC 倍长类中线结论：“8”字形两个对边位置关系为平行，数量关系为相等. 【例2】如图，∴ABC中，D为BC的中点，∴EDF=90°，∴EDF分别交AB、AC于E、F两点，求证：BE+FC＞EF. 【答案】：BE+CF >EF 延长FD到点G，使DG=DF，连接BG ∴BD=CD，FD=DG，∴BDG=∴CDF ∴∴BDG∴∴CDF∴BG=CF ∴ED∴FG ∴EF=EG 在∴ABG中，BE+BG>EG ∴BG =CF，EG=EF∴BE+CF >EF 【练习2.1】如图已知AB=24,AB⊥BC于B,AB⊥AD于A,AD=10,BC=20.若点E是CD的中点 求AE的长. 116 初二数学暑假标准课讲义 【答案】解：如图，延长AE交BC于点F ∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE， 又∵点E是CD的中点，∴DE=CE．∴△AED≌△FEC， ∴AE=FE，AD=FC．∵AD=10，BC=20．∴BF=10 在Rt△ABF中，AF=AB2BF2=26，∴AE= 12AF=13． 【练习2.2】如图,梯形ABCD中,AB∥DC,E是AD的中点. 若AB+DC=BC,则∠BEC=90°; 如果∠BEC=90°,则AB+DC=BC; 若BE是∠ABC的平分线,则∠BEC=90°; 若AB+DC=BC,则CE是∠DCB的平分线. 其中正确的个数是（） A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】D 由平行加中点考虑类倍长中线，延长BE，CD交于点F， 易知△AEB≌DEF，∴BE=EF，AB=DF，∠ABE=∠F． ①AB+DC=BC，即DF+DC=BC，∴BC=CF， ∵BE=EF，∴CE⊥BF，∴∠BEC=90°，原结论正确； ②∵∠BEC=90°，BE=EF，∴△BCE≌△FCE，∴BC=DF+DC=AB+DC，原结论正确； ③∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠F，∴CB=CF， 117 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 又∵BE=EF，∴CE⊥BF，∴∠BEC=90°，原结论正确； ④AB+DC=BC，即DF+DC=BC，∴BC=CF，∴∠F=∠CBE，∴∠CBE=∠ABE， 即CE是∠DCB的平分线，原结论正确． 7.2截长补短 截长补短构造全等 1． 截长补短法构造全等分类： ∴在较长线段上截取与已知三角形某一条线段相等的线段，证明构造的三角形与已知三角形全等.（截长） ∴延长三角形一边使得延长的线段与已知线段长相等，证明构造的三角形与已知三角形全等.（补短） 2．截长补短构造全等用于证明线段和差倍分、角度和差倍分关系. 【例3】已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点 O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明． AEODBC 【答案】：BECDBC AE1O423FDBC 理由：在BC上截取BF=BE，连接OF， 利用SAS证得△ BEO≌△BOF，∴∠1=∠2， ∵∠A =60°，∴BOC9001A1200 2∴∠A +∠DOE = 180°∴∠AEO + ∠ADO =180°，∴∠1 +∠3 = 180° 118 初二数学暑假标准课讲义 ∵∠2 +∠4 =180°∴∠1=∠2∴∠3=∠4 利用AAS证得△CDO≌△CFO，∴CD=CF∴BC=BF+CF=BE+CD 【练习3.1】如图，点M为正△ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作∠DMN=60o，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? DNAMBE 【答案】 DM=MN. 在AD上截取AG =AM ，连接GM ∴GD = MB又∵∠ADM +∠DMA=120°，∠DMA +∠NMB =120° ∴∠ADM =∠NMB ，而∠DGM =∠MBN=120°， ∴△DGM ≌△MBN ，∴DM =MN ． 【练习3.2】以△ABD的AB、AC为边向三角形外作等边△ABD、△ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分∠DOE． DAEOBC 【答案】因为△ABD、△ACE 是等边三角形，所以 AB = AD，AE = AC ， ∠CAE =∠BAD = 60°，则∠BAE = ∠DAC ，所以△BAE≌△DAC ， 则有∠ABE =∠ADC ，∠AEB=∠ACD，BE = DC．在DC上截取DF = BO，连结AF ， 容易证得△ADF ≌△ABO，△ACF≌△AEO ．进而由AF = AO．得∠AFO =∠AOF ； 由∠AOE =∠AFO可得∠AOF =∠AOE ，即OA平分∠DOE ． 119 DFOAB 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【例4】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE ABECD 【答案】：延长DE 至F，使得EF=BC，连接AC. ∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180° ∴∠ABC=∠AEF ∵AB=AE，BC=EF ∴△ABC≌△AEF∴EF=BC，AC=AF ∵BC+DE=CD ∴CD=DE+EF=DF∴△ADC≌△ADF ∴∠ADC=∠ADF 即AD 平分∠CDE. 【练习4.1】如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角为120o的等腰三角形，以D为顶点作一个60o的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长． 【答案】如图所示，延长AC 到E使CE =BM . 在△BDM 与△CDE 中，因为BD =CD ，∠MBD =∠ECD = 90°， BM =CE，所以△BDM ≌△CDE，故MD=ED . 120 BDM +∠NDC =60° . ∠EDN =60° . ∠EDN =60°， NE= MN ，∴△AMN 的周长为2 . 121 初二数学暑假标准课讲义 因为∠BDC=120°，∠MDN =60°，所以∠又因为∠BDM=∠CDE，所以∠MDN=在△MND与△END中，DN=DN ，∠MDN =DM= DE ，所以△MND≌△END，则 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【练习4.2】已知：等边三角形ABC．如图，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想. 【答案】猜想：AP=BP+PC AB PEC证明：延长BP至E，使PE=PC，联结CE∵∠BPC=120°∴∠CPE=60°，又PE=PC ∴△CPE为等边三角形∴CP=PE=CE，∠PCE=60° ∵△ABC为等边三角形∴AC=BC，∠BCA=60° ∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP即：∠ACP=∠BCE ∴△ACP≌△BCE ∴AP=BE ∵BE=BP+PE∴AP=BP+PC 7.3其他构造全等的方法 其他构造全等的方法 1． 截取构造（线段相等的证明方法）：将其构造在两个三角形中，使其全等 2． 平移构造（集散思想）：出现分散的相等线段，可选择平移来构造全等三角形. 3． 等边构造：巧做等边，将分散的等线段结合等边构造全等. 4． 条件构造：题干已知条件比较多，且相对集中，则可以考虑构造相等线段及相等角所 在的三角形全等. 总结：截取构造线相等，平移构造来集中， 等边构造要巧做，条件构造已知多. 【例5】在四边形ABCD中，已知ABAC，ABD60，ADB76，BDC28，求DBC的度数. 122 初二数学暑假标准课讲义 【答案】：延长BD至E，使得BE=AB，连接AE， ∵∠ABD=60°，∴△ABE是等边三角形又∵AB=AC，∴AE=AC ∵∠ADB=76°，∠BDC=28° ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=104°，∠ADE=180°-∠ADB=104° ∴∠ADC=∠ADE∴在△AED与△ACD中， AE=AC，∠ADC=∠ADE，AD=AD∴△AED≌△ACD ∴∠DCA=∠E=60°，∠DAC=∠DAE=180°-∠ADC-∠DCA=16° ∴∠BAC=∠BAE-2∠DAC=28° ∴∠DBC=∠ABC-∠ABE=1800BAC2-60 =18° 【例6】已知：E是线段AC上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点D，使得∠EDB=∠EAB，联结AD.若直线EF与线段AB相交于点P，当∠EAB=60°时，如图1，求证：ED =AD+BD； 【答案】：证明：作∠DAH=∠EAB交DE于点H. ∴∠DAB=∠HAE. ∵∠EAB=∠EDB，∠APE=∠BPD，∴∠ABD=∠AEH. 123 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 ∵又AB=AE，∴△ ABD≌△AEH. ∴BD=EH，AD=AH. ∵∠DAH=∠EAB=60°，∴△ADH是等边三角形.∴AD=HD. ∵ED = HD+EH∴ED =AD+BD. 【例7】在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为CD中点． 求证：AMCD． ABECMD 【答案】：延长AB,AE ，交直线CD于F,G．∵∠ABC =∠AED．∴∠FBC =∠GED． ∵∠BCM=∠EDM ．∴∠BCF =∠EDG．∴在△BCF 与△EDG中 ∠FBC=∠ GED,BC= ED,∠BCF=∠ EDG∴△BCF ≌△EDG ∴∠F=∠G，FC=GD∴AG=AF∵CM=MD∴FM=MG ∴在△AMF 与△AMG中AM =AM ,FM= MG, AF =AG ∴△AMF≌△AMG（SSS）∴ AMFAMG1809002∴ AM⊥CD 124 初二数学暑假标准课讲义 课后作业： 1．如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线． FGABEDC 【答案】 延长FE 到点H ，使HE=FE，连结BH ．在△CEF 和△BEH 中 ∵CE =BE∠CEF= ∠BEHFE =HE∴△CEF≌△BEH ∴∠EFC =∠EHB，CF = BH = BG∴∠EHB=∠BGE ，而∠BGE=∠AGF ∴∠AFG =∠AGF 又∵EF∥AD∴∠AFG=∠CAD，∠AGF =∠BAD ∴∠CAD =∠BAD∴ AD为△ABC 的角平分线 2.在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE90．若 AD3，BE4，则线段DE的长度为_________． ADFCEB 【答案】 125 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 如图、延长DF 至点G ，使得DF = FG ，联结GB、GE． 由AF = FB ，有△ADF≌△BGF∴BG= AD= 3∴∠ADF =∠BGF ∴AD∥GB∴∠GBE =∠ACB =180°∴∠GBE = 90°∴GE= 5． 又DF = FG ，EF⊥DG∴DE = GE = 5． 3.如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果 BM2CN2DM2DN2，求证AD21AB2AC2． 4 【答案】延长ND至E，使DE = DN ，连接EB、EM 、MN ． 因为DE =DN ，DB = DC ，∠BDE= ∠CDN ，则△BDE≌△CDN ． 从而BE = CN ，∠DBE =∠C ． 而DE = DN ，∠MDN = 90°，故ME = MN ，因此DM2 = DN2= MN2 = ME2， 即BM2 + BE2 = ME2，则∠MBE = 90° ，即∠MBD+ ∠DBE = 90° 因为∠DBE = ∠C ，故∠MBD + ∠C = 90° ，则∠BAC = 90° ． AD为Rt △ABC 斜边BC上的中线，故AD由此可得AD2 4.如图，I是△ABC的内心，且CAAIBC．若BAC80，求ABC和AIB的大小． C1BC 211BC2(AB2+AC2) 44IBA 【答案】如图，在BC上取点D，使CD = AC ，连接DI ． 因为CA + AI = BC ，所以BD = AI ． 在△ACI 和△DCI 中，AC = DC ，∠ACI = ∠DCI ，CI = CI ． 所以△ACI ≌△DCI ．于是AI = DI ．所以DI = BD ． 因为∠BAC = 80°，所以∠CAI = 40°，∠CDI = 40°． 又∠CDI 是等腰△BDI 的外角， 126 初二数学暑假标准课讲义 所以∠DBI = ∠DIB = ∠CDI = 20°，∠ABC = 40°． 在△AIB中，∠BAI = 40°，∠ABI = 20°， 所以∠AIB =180° -（20° + 40°） =120° 5.已知：等边三角形ABC．如图，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD APBCD 【答案】延长DP到M使PM=PA，联结AM、BM AMPBCD ∵∠APD=120°，∴△APM是等边三角形， ∴AM=AP，∠PAM=60°∴DM=PD+PA ∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=60° ∴△AMB≌△APC∴BM=PC 在△BDM中，有DM + BM＞BD，∴PA+PD+PC＞BD 127 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 入门检测: 1.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF．则下列说法：①BF∥CD；②△BFE≌△CDE；③AB=CD；④△ABE为等腰三角形．正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】1.A 2.如图所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是BC的中 1点，求证DE∥AB且DE(ABAC)． 2ADBEC 128 初二数学暑假标准课讲义 【答案】2.延长CD交BA于F，则AD⊥CF， ∵AD是∠BAC的外角平分线，∴ΔACF是等腰三角形， ∵AD为底边上的高，∴CD=FD， ∵ΔACD和ΔAFD均为直角三角形，由于AD=AD，CD=FD， ∴ΔACD和ΔAFD全等，∴AC=AF。 ∵又D、E为ΔBCF中BC和CF的中点，∴DE为ΔBCF的中位线， ∴DE=BF/2=（AB+AF）/2=（AB+AC）/2 3.已知：BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB，求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ． PADEFQBC 【答案】3.（1）如图，设CE 交BD 于F ． 由BD⊥CA，CE⊥AB，知∠BEF=90°=∠CDF ． 而∠BFE=∠CFD，故∠ABD = ∠QCA． 由已知，有AB = QC，BP = CA，从而△ABP≌△QCA， 即有AP = AQ． （2）由⑴可得∠AQC = ∠PAB，而 ∠AQC = ∠QEA + ∠QAE = 90°+ ∠QAE． ∠PAB = ∠PAQ + ∠QAE．从而可得∠PAQ = 90°，即AP⊥AQ 129 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 4．已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB=AC+CD. A12BDC 【答案】4． A12 BDC E 延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.，又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC. 5．在△ABC中，AB5,AC9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？ 【答案】5．1 初二数学暑假标准课讲义 第八讲 几何综合（二） 8.1利用轴对称求最值——将军饮马问题 两定点+一动点+一直线 求最短路线问题------通过几何变换找对称图形. 两点为定点，且位于直线同旁，在直线上找一动点的位置，使这点到两定点的距离之和最短. BAP基本思想是化曲为直（两点之间线段最短）A' 步骤： 1、 根据已知，点在直线同侧，用轴对称 2、 判断2个定点1个动点2条定直线 3、作一定点关于直线的对称点，将这一对称点与另一点相连，连线与直线的交点就是所求的点. 【例1】如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄A、李庄B送水。修在河边什么地方，可使使用的水管最短？ 131 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【答案】: 【练习1.1】如图所示，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最小. 【答案】 132 初二数学暑假标准课讲义 一（两）定点+两动点+两直线 一点为定点，且位于两条直线之间，在两条直线上找两个动点，使这个定点与两个动点所组成的三角形周长最小. 三角形ABC周长最小 CAABBC最小 分别作这一定点关于两条直线的对称点，将这两个对称点连接，连线与两条直线的两个交点就是所求的两个点. 两点为定点，且位于两条直线之间，在两条直线上找两个动点，使这两个定点与两个动点所组成的四边形周长最小（或三段线段之和最小）. 四边形PQMN周长最小 ADCDBC最小 133 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 PMMNNQQP最小 分别作这两个定点关于两条直线的对称点，将这两个对称点连接，连线与两条直线的两个交点就是所求的两个点. 【例2】如图，OA、OB是两条相交的公路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？ 【答案】: 【练习2.1】如图，已知两点P、Q在锐角AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短. 【答案】 134 初二数学暑假标准课讲义 两定点+一动线段+一直线 两点为定点，且位于定直线的同侧，在定直线上找两个动点，且这两个动点之间的距离是不变的（可以看成一条动线段）. BAA'MNA'' AMMNNB最小/AM+NB最小/四边形AMNB周长最小 将其中一个定点平移动线段长度，作平移后点的对称点，将对称点与另一个定点连接，连线与直线的交点就是所求的一个动点，再根据两个动点间的距离找到另一个动点. 【例3】如图1，已知两定点A、B和定直线L，其中在定直线上有两个定距离的动点C、D，请在直线L上找到使AC+BD值最小的点C和点D的位置. 【答案】: 135 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 线段差最大 两点为定点（或一条定线段）并且在定直线的一侧 BAP APBP最大 两点为定点（或一条定线段）并且在定直线的两侧 APBP最大 【例4】如图，已知两定点A、B和定直线l，A、B在直线l的同侧，请在直线l上找到使 ACBC值最大的点C的位置. BAl 【答案】: BAlC 【练习4.1】如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短． 136 AM'PMNOQBN' 137 初二数学暑假标准课讲义 【答案】 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 8.2翻折问题 翻折问题 翻折问题的本质——轴对称变换的性质，即多边形（一般为三角形或四边形）全等和对称轴是对应点连线的垂直平分线. 当在矩形中翻折时，求边长常用到勾股定理（直接三角形）. 【例5】如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=8cm，把△BCD沿对角线BD翻折，使点C落在点E处，DE交AB于点F． （1）求证：BF=DF； （2）求△BDF的面积． 【答案】:（1）证明：由折叠的性质可得：∠EDB=∠CDB， ∵AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∴∠FDB=∠FBD，∴BF=DF． （2）设BF=DF=x，则AF=16-x， 在Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，即（16-x）2+82=x2， 解得：x=10，故S△BDF= 【练习5.1】在△ABC中，AB=AC=5，若将△ABC沿直线BD翻折，使点C落在直线AC上的点C′处，AC′=3，则BC=______． 【答案】如图，分两种情况： ①如图①，当C′在线段AC上时；AC′=3，则CC′=2，C′D=CD=1； 在Rt△ABD中，AB=5，AD=AC′+C′D=4；由勾股定理得：BD=3，则BC= 1BF×AD=40cm2． 2BD2+CD2=10 138 初二数学暑假标准课讲义 ②如图②，当C′在线段CA的延长线上时；AC′=3，则CC′=8，C′D=CD=4； 在Rt△ABD中，AD=1，AB=5，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=24，则BC=BD2+CD2=10. 故BC的长为 10或210 【练习5.2】如图，矩形ABCD中，BC=a，AB=2a，沿对角线AC将△ADC翻折到AEC，则图中重叠部分（阴影）部分的面积为______． 【答案】设AF=x，依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有： ∠E=∠D=∠B=90°，∠AFE=∠CFB，BC=AD=AE=a， ∴△AEF≌△CBF（AAS），∴CF=AF=x，∴BF=2a-x， 在Rt△BCF中有：BC2+BF2=FC2，即a2+（2a-x）2=x2， 解得x= a．∴S1155△AFC=2AF•BC=2×4a×a=8a2 139 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 8.3垂直平分线 垂直平分线的作图 尺规作图：线段MN的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【例6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证AB垂直平分DF。 CDEAFB 【答案】:∵∠CAD+∠ADC=90°，∠DCE+∠ADC=90°， ∴∠CAD=∠ADC，∵AC∥BF，∴∠ACF=∠CFB，∴∠ADC=∠CFB，∵AC=BC，∴Rt△ADC≌Rt△CFB（AAS） ，∴DC=BF，∵点D是BC的中点，∴DC=BD，∴BD=BF，∴点B在DF的垂直平分线上，在AB上任选一点G，∵AC∥BF∴∠CBF=90°，∴∠DBG=∠FBG=45°，∴△BGD≌△BGF（SAS）∴DG=FG，∴点G在DF的垂直平分线上，∴AB垂直平分DF。 【练习6.1】如图，BC，BE和CD交于O，且OBOC，BD，CE的延长线交于A。OA是DE的中垂线吗？为什么？ 140 初二数学暑假标准课讲义 【答案】∠B=∠C，OB=OC，△DOB≌△EOC（ASA），得出DO=EO,也有∠OEC=∠ODB，即有∠ADO=∠AEO，△ABE≌△ACD，∠B=∠C，DC=EB,∠A为公共角，则有AB=AC，然而AD=AE，△ADO≌△AEO（SAS） 【练习6.2】如图，在ABC中，B22.5，边AB的垂直平分线交BC于D，DFAC于F，并与BC边上的高AE交于G。求证：EGEC. 【答案】连接AD.在三角形ABD中，根据AB的垂直平分线关系，可以得到：∠ABD=∠BAD=22.5°，则有：∠ADE=∠ABD+∠BAD=22.5°+22.5°=45°. 在直角三角形ADE中：因为∠ADE=45°，∠AED=90°，所以：∠DAE=45°. 则有：AE=DE，因为：∠ACE+∠EAC=90°,∠ACE+∠GDE=90°. 所以：∠EAC=∠GDE，又因为：∠GAF+∠AGF=90°，∠GAF+∠ACE=90°. 所以：∠AGF=∠ACE,因为∠AGF=∠DGE(对顶角)所以：∠DGE=∠ACE. 所以，在三角形DEG和三角形AEC中，有：AE=DE，∠EAC=∠GDE， ∠DGE=∠ACE。所以两三角形全等，则有：EG=EC. 141 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 8.4三角形问题 等腰三角形角、边、高的分类问题 边的问题：按“腰”和“底边”来分类 （利用三角形形三边关系来判断三角形是否存在） 角的问题：按“顶角”和“底角”来分 （利用三角形内角和判断三角形是否存在） 高的问题，：按三角形类型分类 （高在三角形内部、外部） 【例7】（1）等腰三角形有两边长为4cm和7cm，则周长为厘米. （2）等腰三角形的两个内角的比为4：1，顶角为度. （3）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°， 则顶角为度. 【答案】:（1）4+4+7=15；4+7+7=18. （2）120°或20° （3）60°或120° 【练习7.1】（1）等腰三角形的周长为24cm，一边长为10cm，则其余两边长为 厘米. （2）等腰三角形有一个内角是30°，则其余两个内角的为 度. （3）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与底边的夹角为 度. 【答案】（1）10，4；7，7 （2）75°，75°；120°，30° （3） 20°，50° 三线合一 等腰三角形中，底边上的高，底边上的中线和顶角的角平分线重合，简称三线合一. 当发现其中两条线重合时，那么我们可以说这个三角形是等腰三角形. 在等腰三角形中已知其中一条线，那么可以得到也是其他两条线. 三线合一是等腰三角形常用辅助线. 【例8】已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， （1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF， 142 初二数学暑假标准课讲义 其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】:连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD=AD． ∴∠B=∠DAC=45°，又BE=AF，∴△BDE≌△ADF（SAS）．∴ED=FD，∠BDE=∠ADF，∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°． ∴△DEF为等腰直角三角形． （2）△DEF为等腰直角三角形.若E，F分别是AB，CA延长线上的点，连接AD，∵AB=AC，∴△ABC等腰三角形，∵∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），∴∠DAC=∠ABD=45°．∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE，∴△DAF≌△DBE（SAS）．∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°． ∴△DEF仍为等腰直角三角形． 【练习8.1】如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18， △CDB的周长为28，那么BE的长为 【答案】CE平分∠ACB，∴∠DCE=∠BCE，CE⊥BD，CE为公共边 ∴Rt△CED≌Rt△CEB，∴CD=AB；DE=BE，又∵AD=BD；△CDB周长为28，即：2CD+BD=28，BD+CD=18，∴CD=10；BD=8，∴BE=BD/2=8/2=4 143 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 【例9】如图，等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是 cm． 【答案】:根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE． ∵ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∴DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED． 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∴∠DBC=∠CED．∴DB=DE（等角对等边）． ∵等边三角形ABC的边长是6cm，∴DE=BD=33． 1∠BCD=30°． 2 144 初二数学暑假标准课讲义 课后作业： 1．如图，点C、D在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点F，在OA边上求作一点E，使四边形CEFD周长最小. ACDOB C′AECDOFBD′【答案】1． 2.若一个等腰三角形的一个外角是140°，那么这个等腰三角形的底角等于（ ） A．70°或40° B.70° C.40° D.110° 【答案】2. A 3．把长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F重合，如图，已知AB=8，BC=10，求EC的长． 【答案】 3．∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠C=90°，AD=BC=10，CD=AB=8，∵△ADE折叠后得到△AFE，∴AF=AD=10，DE=EF， 设EC=x，则DE=EF=CD-EC=8-x，∵在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2， ∴82+BF2=102，∴BF=6，∴CF=BC-BF=10-6=4，∵在Rt△EFC中，EC2+CF2=EF2，∴x2+42=（8-x）2，解得：x=3，即EC的长度为3． 145 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 4.如图，在∴ABC中，∴ACB、∴CAB的平分线交于点F，过点F作DE∴AC，分别交BC，BA于D、E，证明：DE=CD+AE. BDCFEA 4.已知 ∴ACB、∴CAB的平分线和DE∴AC，【答案】可证△CDF和△AEF是等腰三角形，可证DE=CD+AE. 5．已知：如图1，△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，E、F分别为AB、AC上的点，且BD＝CF，CD＝BE，G为EF的中点，求证：DG⊥EF． AGEFBDC 【答案】5．（1）在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=CF，CD=BE， ∴△BDE△CFD，∴DE=DF； （2）由（1）知DE=DF，即△DEF是等腰三角形，∵G为EF的中点， ∴DG⊥EF． 146 初二数学暑假标准课讲义 6.如图，已知ABDACD60，且ADB9012BDC．求证：ABC是等腰三角 形． ABDC 【答案】延长BD到E，使得DE = CD ，连接AE． ∵ADB9012BDC，∴2∠ADB +∠BDC =180°， 即∠ADC +∠ADB =180°．∵∠ADE +∠ADB =180°，∴∠ADC=∠ADE， ∵CD = DE，AD = AD，∴△ADC≌△ADE，∴∠ACD =∠E = 60°，AC = AE， ∵∠ABD =∠ACD = 60°，∴∠ABD =∠E， ∴AB= AE，∴AB = AC ，∴△ABC 是等腰三角形． 7.已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求证CD=2CE CAEBD 【答案】延长CE 到K，使CE=EK，连接BK ∵AE =EB，∠1=∠2，EC= EK ∴△AEC≌△BEK AC=BK=BD∠A=∠3 ∴AB=AC ∴∠5=∠ACB∴∠KBC=∠3+∠5=∠A+∠ACB=∠4 BC=BC ∴△CKB≌△CDB ∴CK=CD∴ 2CE=CD 8.若P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的 147 优能一对一部初二数学暑假标准课讲义 费马点． （1）若点P为锐角ABC的费马点，且ABC60，PA3，PC4， 则PB的值为________； （2）如图，在锐角ABC外侧作等边ACB′，连结BB′． 求证：BB′过ABC的费马点P，且BB′PAPBPC． AB'BC 【答案】 （1）23 （2）证明：在BB′上取点P，使∠BPC =120°， 连结AP，再在PB′上截取PE = PC，连结CE ． ∵∠BPC =120°，∴∠EPC= 60°，∴△PCE 为正三角形， ∴PC = CE，∠PCE= 60°，∠CEB′=120°， ∵△ACB′为正三角形，∴AC = B′C ，∠ACB′= 60°， ∴∠PCA+∠ACE = ∠ACE +∠ECB′= 60°，∴∠PCA =∠ECB′， ∴△ACP≌△B′CE ，∴∠APC = ∠B′CE =120°，PA = EB′， ∴∠APB = ∠APC = ∠BPC =120°，∴P为△ABC 的费马点， ∴BB′过△ABC 的费马点P，且BB′= EB′+ PB + PE = PA + PB + PC ． 9.已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．如图,若ABC30，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长； 148 初二数学暑假标准课讲义 【答案】以A为顶点AB为边在△ABC外作BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连结BE和CE. ∵△ACD是等边三角形,∴AD=AC，DAC=60°. ∵BAE=60°,∴DAC+BAC=BAE+BAC. 即EAC=BAD.∴△EAC≌△BAD∴EC=BD. ∵BAE=60°，AE=AB=3,∴△AEB是等边三角形，∴EBA=60°, EB=3， ∵ABC30,∴EBC90. ∵EBC90，EB=3，BC=4,∴EC=5.∴BD=5. 10.已知：如图，ABC、CDE、EHK都是等边三角形，且A、D、K共线，ADDK．求证：HBD也是等边三角形． ECBADKH 【答案】连接BE ∵CE=CD，CB=AC∠ECB=∠DCA∴△ECB≌△DCA ∴BE=AD，∠CEB=∠CDA 连接CH 证△ECH≌△EDK∴CH=DK，∠CEH=∠DEK ∠CDA+∠CDE=∠DEK+∠DKE∠CEB+60=∠CEH+60-∠DKH ∠BEH=∠DKH BE=DK EH=KH∴△EHB≌△KHD BH=DH∠BHE=∠DHK∠BHD=60(由∠BHE=∠DHK推） △BDH是等边三角形 149 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
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