耦合电感功率的分析

耦合电感功率的分析

于 洋

摘 要 利用正弦交流电路中耦合电感的含受控源等效电路，对在串联、并联及空心变压器电路中耦合电感的功率及其与电源之间的功率关系做了详细的分析。

关键词 耦合电感 受控源 复功率 功率分析

1 引言

分析正弦交流电路中耦合电感的功率时，首先把耦合的两电感看作两条支路，每条支路都由两个元件组成，一个元件是本电感的自感抗ωL，体现电感中的自感电压，一个元件是受控电压源，体现电感中的互感电压，受控电压源的控制量是产生这个互感电压的另一电感中电流的矢量，控制系数为互感抗ωM。原电路中同名端的位置关系在等效电路中由受控电压源的极性来反映。然后按一般受控源电路的分析方法分析真功率。

2 串联耦合电感的功率

按图1所示电压、电流参考方向及同名端位置，有

U=(Z1+Z2)I±2ZMI

图1 串联耦合电感及其含受控源等效电路

式中ZM=jωM，Z1=R1+jωL1，Z2=R2+jωL2,含在ZM项前的符号，上面的对应顺接，下面的对应反接。解得

两受控源的复功率

。上式中只有无功功率，没有有功功率，这表明串联

的耦合电感既不吸收也不提供有功功率，但二者的无功功率相等。根据功率守恒性可知，电源发出的有功功率等于电路中所有电阻(包括耦合电感线圈自身电阻)消耗的有功功率。

3 并联耦合电感的功率

按图2所示，电压、电流参考方向及同名端位置，有

图2 并联耦合电感及其含受控源等效电路

式中 Z1=R1+jωL1=R1+jX1,Z2=R2+jωL2=R2+jX2,ZM=jωM=jXM,含在M(或ZM)项前的符号，上面的对应同侧并联，下面的对应异侧并联。解得

第一支路受控源的复功率

＝

令

其中Re是“取复数实部”的意思，Im是“取复数虚部”的意思，则

(1)

同理，第二支路受控源的复功率

(2)

在式(1)和(2)中，与的虚部相等，表明两个并联耦合电感的无功功率相等。而与

的实部却分为两种类型：①在某些特殊情况下，如R1=R2=0，或R1=R2、L1=L2时，与

的实部为零，两耦合电感中均无有功功率。②除上述情况外，一般地

与

的实部互

为相反数，即有功功率总是一个为正值，另一个为负值，但二者绝对值相等。按图2所示电压、电流参考方向，当两耦合电感为同侧并联时，P＞0，耦合电感吸收功率，P＜0，耦合电感发出功率；当两耦合电感为异侧并联时，P＞0，耦合电感发出功率，P＜0，耦合电感吸收功率。并联的两耦合电感中有一个要从电路中吸收有功功率，另一个则向电路提供有功功率。吸收了有功功率的耦合电感并没有把这部分功率消耗掉，而是通过磁耦合将其传输给了另一个耦合电感，再由该耦合电感将其重新提供给电路。两耦合电感之间等量地传输有功功率，两者恰好平衡，其和为零。因此电源发出的有功功率只等于电路中所有电阻(包括耦合电感线圈自身电阻)消耗的有功功率。但每个耦合电感所在支路的有功功率却

等于这条支路所有电阻消耗的有功功率与该耦合电感吸收或发出的有功功率之和。

4 空心变压器中耦合电感的功率

按图3所示电压、电流参考方向及同名端位置，可得

(3)

图3 空心变压器及其含受控源等效电路

式中，Z11=R11+jX11=R1+jωL1,Z22=R22+jX22=R2+RL+jωL2+jXL,ZM=jXM=jωM,含在ZM前的符号，上面的对应图3a，下面的对应图3c，解得

两个受控源的复功率

(4)

其中

同理可得

(5)

比较式(4)和(5)，可见与仍是实部互为相反数，虚部相等，与并联耦合电感的复

功率类似，说明空心变压器两个耦合的电感之间也是通过磁耦合等量地传输能量，一个耦合电感发出的有功功率等于另一个耦合电感吸收的有功功率。电源发出的有功功率，一部分消耗在一次侧电阻R1上，其余部分则通过磁耦合传输到二次侧电路，为电阻R22所获得，即P1=PR1+PR22，这可证明如下：

由于空心变压器中两耦合的电感之间的磁耦合，使一、二次侧之间彼此存在相互作用。二次侧的作用可以看作是在一次侧增加了一个复阻抗，称其为二次侧对一次侧的反射复阻抗

式中,为二次侧对一次侧的反射电阻；，为二次侧对一次

侧的反射电抗。由式(3)的第二式，有ZMI1=Z22I2,根据复数相等，其模应相等，得到

，故得

5 举例

电路如图2c所示，已知ω=100rad/s,R1=R2=100Ω。解得

，L1=3H,L2=10H，M=5H，

，

，

。电阻R1、R2消耗的有功功率PR1=R1I21=590W,PR2=R2I22=169.78W。电

感L1、L2的无功功率QL1=XL1I21=1770var，QL2=XL2I22=1697.81var。耦合电感M1、M2的复功率

=-jωMI2I*1=PM1+jQM1=-91.65-j1579.83V.A，

=-jωMI1I*2=PM2+jQM2=91.65-j1579.83V.A。按图示电压、电流参考方向，PM1＜0，为M1从电路吸收并通过磁耦合传输给M2的有功功率，PM2＞0，为M2由磁耦合获得并重新提供给电路的有功功率。支路1的有功功率P1=PR1+PM1=498.35W，支路2的有功功率P2=PR2+PM2=261.43W。每条支路的无功功率为自感L和互感M的无功功率之和Q1=QL1+QM1=190.18var，Q2=QL2+QM2=117.98var。每条支路的复功率=UI*1=P1+jQ1=498.35+j190.18V.A，的复功率=UI*=

+

=UI*2=P2+jQ2=261.43+j117.98V.A。电源发出

=P+jQ=759.78+j308.16V.A，其中有功功率P恰为PR1与PR2之

和，P=PR1+PR2=759.78W。

6 结论

在含有耦合电感的电路中，两个耦合的电感之间无功功率相等，有功功率或者均为零，或者通过磁耦合等量地进行传输，彼此平衡。电源提供的有功功率不是消耗在耦合电感上，而是消耗在电路中所有电阻(包括耦合电感线圈自身电阻)上。

作者单位：于 洋 沈阳大学 110044

参考文献

1 邱关源.电路(第三版).北京：高等教育出版社，19

2 周孔章.电路原理.北京：高等教育出版社，1984