龙南县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

龙南县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知Py）（x，为区域z=2x﹣y的最大值是 内的任意一点，当该区域的面积为4时，（ ）

A．6

B．0

C．2

D．2

2． 若f(x)f(x2),(x2)2x,(x2)则f(1)的值为（ ） A．8 B．18 C．2 D．12

3． 设函数f（x）=

的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是（ ）

A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣ D．a＞﹣

4． 已知||=3，||=1，与的夹角为

，那么|﹣4|等于（ ）

A．2 B． C．

D．13

5． 若命题“p∧q”为假，且“¬q”为假，则（ ） A．“p∨q”为假

B．p假

C．p真 D．不能判断q的真假

6． Sn是等差数列{an}的前n项和，若3a8－2a7＝4，则下列结论正确的是（ ） A．S18＝72 B．S19＝76 C．S20＝80

D．S21＝84

7． 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（

A． B． C． D．6

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）精选高中模拟试卷

8． 若复数z=A．3

B．6

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ） C．9

D．12

9． 若直线l:ykx1与曲线C：f(x)x1A．－1 B．

1没有公共点，则实数k的最大值为（ ） xe1 C．1 D．3 2【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．

10．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

，若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）

11．已知a＞0，实数x，y满足：A．2

B．1

C．

D．

12．若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，则方程f（x）=log8|x|在[﹣10，10]内的根的个数为（ ） A．12

B．10

C．9

D．8

二、填空题

13．向区域 14．已知

=1﹣bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a﹣bi|= ．

+i对应的向量为

＜α＜

，若向量

饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量

所对应

15．在复平面内，记复数的复数为 ． 16．已知sinα+cosα=，且

内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．

，则sinα﹣cosα的值为 ．

17．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）

【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.

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18．设向量=（1，﹣3），=（﹣2，4），=（﹣1，﹣2），若表示向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量的坐标是 ．

三、解答题

19．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各 10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．

已知男、女生成绩的平均值相同． （1）求的值；

（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．

20．定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），则 （1）求f（0）； （2）证明：f（x）为奇函数；

xxx

（3）若f（k•3）+f（3﹣9﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

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21．=ax在“关于x的不等式x2﹣2ax+≥0已知a＞0，a≠1，命题p：“函数f（x）（0，+∞）上单调递减”，命题q：对一切的x∈R恒成立”，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

22．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连

接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），

（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；

（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小。

23．在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y4x相交于点A、B两点，设

2A(x1,y1)，B(x2,y2)．

（1）求证：y1y2为定值；

（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程

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和弦长，如果不存在，说明理由．

24．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形ABCD中，BAD60，点E、F分别在边CD、CB上．点

E与点C、D不重合，EFAC，EF平面ABFED．

Ⅰ求证：BD平面POA；

ACO，沿EF将CEF翻折到PEF的位置，使平面PEFⅡ记三棱锥PABD的体积为V1，四棱锥PBDEF的体积为V2，且

DPV14求此时线段PO的长． ，

V23

EAOFBCDABFOEC第 5 页，共 16 页

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龙南县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】A 解析：解：由

作出可行域如图，

由图可得A（a，﹣a），B（a，a）， 由

∴A（2，﹣2），

化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，

∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6． 故选：A． 2． 【答案】B 【解析】

试题分析：f1f32考点：分段函数。 3． 【答案】C

x

【解析】解：当x≥时，f（x）=4﹣3≥2﹣3=﹣1，

3，得a=2．

1，故选B。 8当x=时，取得最小值﹣1；

22

当x＜时，f（x）=x﹣2x+a=（x﹣1）+a﹣1，

即有f（x）在（﹣∞，）递减， 则f（x）＞f（）=a﹣，

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由题意可得a﹣≥﹣1， 解得a≥﹣． 故选：C．

【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．

4． 【答案】C

，

【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为可得

=||||cos＜，＞=3×1×=，

=

．

即有|﹣4|==

故选：C．

【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

5． 【答案】B

【解析】解：∵命题“p∧q”为假，且“¬q”为假， ∴q为真，p为假； 则p∨q为真， 故选B．

【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．

6． 【答案】

【解析】选B.∵3a8－2a7＝4， ∴3（a1＋7d）－2（a1＋6d）＝4，

18×17d17

即a1＋9d＝4，S18＝18a1＋＝18（a1＋d）不恒为常数．

2219×18d

S19＝19a1＋＝19（a1＋9d）＝76，

2同理S20，S21均不恒为常数，故选B. 7． 【答案】B

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【解析】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是设底面边长为a，则故三棱柱体积故选B

，∴a=6，

．

，

【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．

8． 【答案】A 【解析】解：复数z=由条件复数z=解得a=3． 故选：A．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．

9． 【答案】C

=

=

．

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，

1，则直线l：ykx1与曲线C：yfx没有公共点，xe11等价于方程gx0在R上没有实数解．假设k1，此时g010，g10．又函1k1ek1数gx的图象连续不断，由零点存在定理，可知gx0在R上至少有一解，与“方程gx0在R上没

【解析】令gxfxkx11kx有实数解”矛盾，故k1．又k1时,gx为1，故选C．

10．【答案】A

【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6， ∴（2﹣）•=2

﹣

=2×22﹣6×2×cos60°=2，

=

．

10,知方程gx0在R上没有实数解，所以k的最大值ex∴2﹣在方向上的投影为故选：A．

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【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．

11．【答案】 C

【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分） 由z=2x+y，得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小． 即2x+y=1， 由

即C（1，﹣1），

∵点C也在直线y=a（x﹣3）上， ∴﹣1=﹣2a， 解得a=

．

，解得

，

故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

12．【答案】D

【解析】解：∵函数y=f（x）为 偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x）， ∴偶函数y=f（x） 为周期为4的函数， 由x∈[0，2]时，

f（x）=1﹣x，可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，

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同时作出函数f（x）=log8|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求． 数形结合可得交点个为8， 故选：D．

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：不等式组

的可行域为：

．

由题意，A（1，1），∴区域

=（x3）

由

=，

的面积为

，可得可行域的面积为：1=，

∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与 与坐标原点连线的斜率大于1的概率为： = 故答案为：．

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【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．

14．【答案】

【解析】解：∵∴

．

=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，

，解得b=1，a=2．

．

∴|a﹣bi|=|2﹣i|=故答案为：

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

15．【答案】 2i ．

【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为 （

+i）（cos60°+isin60°）=（

+i）（

）=2i

+i）

，故答案为 2i．

【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（（cos60°+isin60°），是解题的关键．

16．【答案】

【解析】解：∵sinα+cosα=

，

＜α＜

，

．

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22

∴sinα+2sinαcosα+cosα=

， ，

∴2sinαcosα=且sinα＞cosα， ∴sinα﹣cosα==

故答案为：

．

=

﹣1=

．

17．【答案】48 【

解

析

】

18．【答案】 （﹣2，﹣6） ．

【解析】解：向量4，4﹣2，2（﹣），的有向线段首尾相接能构成四边形， ﹣（2，6）=（﹣2，﹣6）， 故答案为：（﹣2，﹣6）．

则向量=﹣[4+4﹣2+2（﹣）]=﹣（6+4﹣4）=﹣[6（1，﹣3）+4（﹣2，4）﹣4（﹣1，﹣2）]=

【点评】本题考查了向量的多边形法则、向量坐标运算、线性运算，考查了计算能力，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】（１） a7；（２） P【解析】

试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．

3． 10第 12 页，共 16 页

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其

中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况． 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率P考点：平均数；古典概型．

【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用P(A)1P(A)求解较好． 20．【答案】

【解析】解：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中， 令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0）， 则f（0）=0，

（2）令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）， 又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）， 即可证得f（x）为奇函数；

（3）因为f（x）在R上是增函数，又由（2）知f（x）是奇函数， f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），

xxx

即有k•3＜﹣3+9+2，得

3．1 10复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，(x,y)可以看成是有序的，如1,2与2,1不同；有

，

，即

有最小值2

﹣1，

即可，

又有

x

x

所以要使f（k•3）+f（3﹣9﹣2）＜0恒成立，只要使

x

故k的取值范围是（﹣∞，2

﹣1）．

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21．【答案】

【解析】解：若p为真，则0＜a＜1； 若q为真，则△=4a﹣1≤0，得

2

，

又a＞0，a≠1，∴．

因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q中必有一个为真，且另一个为假． ①当p为真，q为假时，由

；

②当p为假，q为真时，综上，a的取值范围是

．

无解．

【点评】1．求解本题时，应注意大前提“a＞0，a≠1”，a的取值范围是在此条件下进行的． 22．【答案】（1）1 （2）60°

【解析】（1）设BD=x，则CD=3﹣x ∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x

∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D ∴AD⊥平面BCD

∴VA﹣BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x） 设f（x）=（x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），

∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数 ∴当x=1时，函数f（x）取最大值

∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大； （2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，

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23．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为x1. 【解析】

（2）根据两点间距离公式、点到直线距离公式及勾股定理可求得弦长为4(1a)x18a4a ，进而得

2a1时为定值.

试题解析：（1）设直线AB的方程为myx2，由得y24my80，∴y1y28， 因此有y1y28为定值．111]

myx2,y4x,2

x12y1,)，AC(x12)2y12， 22111(x12)2y12x124，E点到直线xa的距离因此以AC为直径圆的半径rAC222x2d|1a|，

2x21222所以所截弦长为2rd2(x14)(1a)2x124(x122a)2 42（2）设存在直线：xa满足条件，则AC的中点E(4(1a)x18a4a2．

当1a0，即a1时，弦长为定值2，这时直线方程为x1．

考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 24．【答案】

【解析】Ⅰ证明：在菱形ABCD中， ∵BDAC，∴BDAO． ∵EFAC，∴POEF，

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∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∴PO平面ABFED，

∵BD平面ABFED，∴POBD． ∵AOⅡ设AOPOO，∴BD平面POA．

平面ABFEDEF，且PO平面PEF，

BDH．由Ⅰ知，PO平面ABFED，

∴PO为三棱锥PABD及四棱锥PBDEF的高，

V411∴V1SABDPO,V2S梯形BFEDPO，∵1，

33V23331∴S梯形BFEDSABDSCBD，∴SCEFSCBD，

444∵BDAC,EFAC，

CO2SCEF1)， ∴EF//BD，∴CEF∽CBD． ∴(CHSCBD4111∴COCHAH233， ∴POOC3．

222

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