龙文区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

龙文区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜只要将f（x）的图象（ ）

）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则

A．向右平移C．向左平移

B．向右平移个单位长度

个单位长度 D．向左平移

个单位长度 个单位长度

2． 四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AB2，若该四棱锥的所有顶点都在

243同一球面上，则PA（ ） 1679A．3 B． C．23 D．

22体积为

【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力． 3． 抛物线y2=8x的焦点到双曲线A．1

B．

的渐近线的距离为（ ） C．

D．

4． 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（ ）

A．0° B．45° C．60° D．90°

5． 已知点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在该抛物线上，且点P的横坐标是2，则|PF|=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6． 已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（ ）

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精选高中模拟试卷

A．[1，+∞） B．[0.2} C．[1，2] D．（﹣∞，2]

7． 在ABC中，若A60，B45，BC32，则AC（ ） A．43 B．23 C.

3 D．

3 28． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A．6 B．3 C．1 D．2

9． 在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（ ）

A．第四象限

B．第三象限 C．第二象限

D．第一象限

10．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）

11．在下面程序框图中，输入N44，则输出的S的值是（ ）

A．251 B．253 C．255 D．260

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） 精选高中模拟试卷

【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类. 12．已知复数z满足：zi=1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（ ） A．﹣i B．i C．1

D．﹣1

二、填空题

13．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为 ．

14．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2的距离是 ．

15．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：度．

，

），（3，

），则O点到直线AB

：2，则这个二面角的平面角是

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16．已知数列{an}中，2an，an+1是方程x2﹣3x+bn=0的两根，a1=2，则b5= ．

17．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为 ． 18．已知a、b、c分别是ABC三内角A、B、C的对应的三边，若csinAacosC，则

3sinA转化思想．

coBs(3)的取值范围是___________． 4【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、

三、解答题

19．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是

月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）． （1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式； 利润预计最大是多少元？

20．f(x)sin2x

且x≤12），该商品的进价q（x）元与

（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月

3sin2x. 2A2（1）求函数f(x)的单调递减区间；

（2）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()1，ABC的面积为33，求的最小值.

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21．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a， （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

*3

（Ⅱ）若a=n且n∈N，设xn是函数fn（x）=nx+2x﹣n的零点．

（i）证明：n≥2时存在唯一xn且

；

（i i）若bn=（1﹣xn）（1﹣xn+1），记Sn=b1+b2+…+bn，证明：Sn＜1．

22．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．

（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记fx）fx）=ax2+bx+c与g=ax2+bx+c•lnx′x0）直线AB的斜率为k若（满足k=f（，则称其为“K函数”．判断函数（（x）是否为“K函数”？并证明你的结论．

23．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}， （1）求a，b；

2

（2）解不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0．

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24．△ABC中，角A，B，C所对的边之长依次为a，b，c，且cosA=222

，5（a+b﹣c）=3

ab．

（Ⅰ）求cos2C和角B的值； （Ⅱ）若a﹣c=﹣1，求△ABC的面积．

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龙文区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：根据函数的图象：A=1 又解得：T=π 则：ω=2 当x=解得：

，f（

）

个单位即可．

）=sin（

+φ）=0

所以：f（x）=sin（2x+

要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移故选：A

【点评】本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数解析式的求法．属于基础题型

2． 【答案】B

【解析】连结AC,BD交于点E，取PC的中点O，连结OE，则OEPA，所以OE底面ABCD，则O111PA2AC2PA28，所以由球的体积到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O球心，均为PC222412437PA28)3可得(，解得PA，故选B．

32162

3． 【答案】A

2

【解析】解：因为抛物线y=8x，由焦点公式求得：抛物线焦点为（2，0） 又双曲线

．渐近线为y=

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有点到直线距离公式可得：d=故选A．

=1．

【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法．其中应用到点到直线的距离公式，包含知识点多，属于综合性试题．

4． 【答案】C

【解析】解：连结A1D、BD、A1B，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D， ∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角， ∵A1D=A1B=BD， ∴∠DA1B=60°． 故选：C．

∴CD1与EF所成角为60°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

5． 【答案】B

2

【解析】解：抛物线y=4x的准线方程为：x=﹣1， ∵P到焦点F的距离等于P到准线的距离，P的横坐标是2， ∴|PF|=2+1=3． 故选：B．

【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．

6． 【答案】C

22

【解析】解：f（x）=x﹣2x+3=（x﹣1）+2，对称轴为x=1． 所以当x=1时，函数的最小值为2． 当x=0时，f（0）=3．

2

2

由f（x）=3得x﹣2x+3=3，即x﹣2x=0，解得x=0或x=2．

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∴要使函数f（x）=x﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．

2

故选C．

【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次 函数的基本方法．

7． 【答案】B 【解析】

考点：正弦定理的应用. 8． 【答案】A 【解析】

试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A．

考点：几何体的结构特征． 9． 【答案】A

【解析】解：复数Z=复数对应点的坐标（故选：A．

+i2015=

），在第四象限．

﹣i=

﹣i=﹣

．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．

10．【答案】D

32

【解析】解：∵f（x）=ax﹣3x+1，

2

∴f′（x）=3ax﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；

①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；

②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；

32

故f（x）=ax﹣3x+1在（﹣∞，0）上没有零点；

32

而当x=时，f（x）=ax﹣3x+1在（﹣∞，0）上取得最小值；

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故f（）=故a＜﹣2； 综上所述，

﹣3•+1＞0；

实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D．

11．【答案】B

12．【答案】D

【解析】解：由zi=1+i，得∴z的虚部为﹣1． 故选：D．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

，

二、填空题

13．【答案】 ．

【解析】解：∵PF1⊥PF2，

222

∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|． 22

∵双曲线方程为x﹣y=1， 22222

∴a=b=1，c=a+b=2，可得F1F2=2

222

∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|=8

22

又∵P为双曲线x﹣y=1上一点， 2

∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）=4

2222

因此（|PF1|+|PF2|）=2（|PF1|+|PF2|）﹣（|PF1|﹣|PF2|）=12

∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：

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【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．

14．【答案】

【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2）、（﹣，故AB的斜率为﹣

），

，故直线AB的方程为 y﹣

=

，

=﹣

（x﹣3），即x+3

y﹣12=0，

，

），（3，

），可得A、B的直角坐标分别是（3，

．

所以O点到直线AB的距离是故答案为：

．

【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．

15．【答案】 75 度．

【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部

时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，

由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：

故答案为：75．

：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．

【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关 键．

16．【答案】 ﹣10 ．

2

【解析】解：∵2an，an+1是方程x﹣3x+bn=0的两根， ∴2an+an+1=3，2anan+1=bn，

∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．

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则b5=2×17×（﹣31）=10． 故答案为：﹣10．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．【答案】 3x﹣y﹣11=0 ．

【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点 为A（x1，y1），B（x2，y2），

22

即有y1=6x1，y2=6x2，

相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2）， 即有kAB=

=

==3，

则直线方程为y﹣1=3（x﹣4）， 即为3x﹣y﹣11=0．

将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得 9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0， 故所求直线为3x﹣y﹣11=0． 故答案为：3x﹣y﹣11=0．

18．【答案】(1, 【

62) 2解

析

】

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37.

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当2≤x≤12时，

且x≤12）

（舍

22

验证x=1符合f（x）=﹣3x+40x，∴f（x）=﹣3x+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为

g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），

322

令h（x）=6x﹣185x+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得

去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0． 综上，5月份的月利润最大是3125元.

∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．

【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．

20．【答案】（1）k【解析】

试题分析：（1）根据2k得A3,k5（k）；（2）23. 622x62k3可求得函数f(x)的单调递减区间；（2）由2Af1可23，再由三角形面积公式可得bc12，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1

1131cos2xsin2xsin(2x)， 2226235令2k2x2k，解得kxk，kZ，

262365]（kZ）. ∴f(x)的单调递减区间为[k,k36试题解析:（1）f(x)第 13 页，共 17 页

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考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用． 21．【答案】

2

【解析】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax+2，

若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增； 若a＜0，令f'（x）＞0，∴函数f（x）的单调递增区间为

或

， 和

；

3

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，fn（x）=nx+2x﹣n在R上单调递增，

又fn（1）=n+2﹣n=2＞0， fn（=

2

当n≥2时，g（n）=n﹣n﹣1＞0，

）==

=﹣

，

，∴

n≥2时存在唯一xn且（i i）当n≥2时，∴∴

（零点的区间判定）

，（数列裂项求和） ，

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又f1（x）=x3+2x﹣1，

，又

∴∴

命题得证．

， ，

，（函数法定界）

，（不等式放缩技巧）

【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数， 则有g′（x）=2ax+b+=

＞0；

2

从而有2ax+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；

2

又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，

故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

22

（Ⅱ）函数f（x）=ax+bx+c是“K函数”，g（x）=ax+bx+c•lnx不是“K函数”， 2

事实上，对于二次函数f（x）=ax+bx+c，

k=

又f′（x0）=2ax0+b， 故k=f′（x0）；

=a（x1+x2）+b=2ax0+b；

2

故函数f（x）=ax+bx+c是“K函数”； 2

对于函数g（x）=ax+bx+c•lnx，

不妨设0＜x1＜x2，则k=

=2ax0+b+；

而g′（x0）=2ax0+b+

；

故=，化简可得，

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=；

设t=，则0＜t＜1，lnt=；

；则s′（t）=

＞0；

设s（t）=lnt﹣则s（t）=lnt﹣故s（t）＜s（1）=0； 则lnt≠

；

是（0，1）上的增函数，

2

故g（x）=ax+bx+c•lnx不是“K函数”．

【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（1）因为不等式ax﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax﹣3x+2=0

2

2

的两个实数根，

，解得

，所以得

．

且b＞1．由根与系的关系得

2

（2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0， 2

即x﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．

①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}； ②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}； ③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．

当c＜2时，不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；

2

2

当c=2时，不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．

2

综上所述：当c＞2时，不等式ax﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；

【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．

24．【答案】

【解析】解：（I）由∵cosA=

，0＜A＜π，

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∴sinA=

222

∵5（a+b﹣c）=3

=， ab，

∴cosC=∵0＜C＜π， ∴sinC=

=，

=，

2

∴cos2C=2cosC﹣1=，

∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣∵0＜B＜π， ∴B=（II）∵∴a=∵a﹣c=∴a=

=．

=c，

，

×+×=﹣

﹣1，

，c=1，

×1×

=．

∴S=acsinB=×

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．

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