云龙区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

云龙区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

201422014

1． 若等式（2x﹣1）=a0+a1x+a2x+…+a2014x对于一切实数x都成立，则a0+

1+

a2+…+a2014= （ ）

A． B． C． D．0

2． 命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是（ ） A．∀x∈R，都有x2＜1

B．∃x∈R，使得x2＞1

C．∃x∈R，使得x2≥1 D．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1

3． 如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（ ）

A． B．1 C． D．

42*4． 已知集合A1,2,3,k,B4,7,a,a3a，且aN,xA,yB使B中元素y3x1和A中的元素

x对应，则a,k的值分别为（ ） A．2,3 B．3,4 C．3,5 D．2,5

5． 若复数（2+ai）2（a∈R）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（ ） A．﹣2 B．±2 C．0

6． 在等比数列A．（ ）

中，B．D．2

，前项和为

，若数列C．

也是等比数列，则

D．

等于（ ）

7． 下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是

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8． 如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（ ）

A．20 B．25 C．22.5 D．22.75

9． 拋物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C：x2－y2＝2的焦点重合，C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点，则点P到E的准线的距离为（ ） A．4 C．8

B．6 D．10

10．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁RB）=（ ） A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0≤x＜2或x＞4}

D．{x|0＜x≤2或x≥4}

11．某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为（ ）

A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4 12．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=

，c=2，cosA=，则b=（ ）

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A． B． C．2 D．3

二、填空题

13．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于 ．

14．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为 ． 15．设抛物线y4x的焦点为F，A,B两点在抛物线上，且A，B，F三点共线，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若PF23，则M点的横坐标为 . 216．函数fxxex在点1,f1处的切线的斜率是 .

18．已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：

①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1 是“单曲型直线”的是 ．

17．定义min{f(x),g(x)}为f(x)与g(x)中值的较小者，则函数f(x)min{2x2,x}的取值范围是

三、解答题

19．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：

生二胎 不生二胎 合计 70后 80后 合计 30 45 75 15 10 25 45 55 100 （Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由． 参考数据： P（K2＞k） k （参考公式：

0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 ，其中n=a+b+c+d）

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20．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．

21．已知圆C：（x﹣1）+y=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点． （1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；

（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

22．（本小题满分12分）

数列{bn}满足：bn12bn2，bnan1an，且a12,a24. （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的前项和Sn.

2

2

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23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AB=2，

（1）证明：BC1∥平面A1CD；

（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小； （3）求三棱锥A1﹣DEC的体积．

24．（本小题满分12分）

中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众，先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加，各 大学邀请的学生如下表所示： 大学 人数 甲 8 乙 12 丙 8 丁 12 从这40名学生中按分层抽样的方式抽取10名学生在第一排发言席就座. （1）求各大学抽取的人数；

（2）从（1）中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生来自同一所大学的 概率.

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云龙区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】解法一：∵∴取x=1得再取x=0得∴故选B． 解法二：∵∴∴故选B．

【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．

2． 【答案】D 【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1， 故选：D．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

3． 【答案】D

【解析】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2， ∴直角三角形的直角边长是∴直角三角形的面积是∴原平面图形的面积是1×2故选D．

4． 【答案】D 【解析】

44a331a3k1试题分析：分析题意可知：对应法则为y3x1，则应有2（1）或2（2），

a3a3k1a3a331，

（C为常数），

，

，即得

，

，

，

，

，

，

，

=2

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由于aN，所以（1）式无解，解（2）式得：考点：映射。 5． 【答案】C

*a2。故选D。

k522

【解析】解：∵复数（2+ai）=4﹣a+4ai是实数，

∴4a=0， 解得a=0． 故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．

6． 【答案】D

【解析】 设因为即因为

答案：D

7． 【答案】D 【解析】

，所以

，即

的公比为，则

也是等比数列，所以

，所以，所以

，

，

，

，故选D

考

点：平面的基本公理与推论． 8． 【答案】C

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【解析】解：根据频率分布直方图，得； ∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5， 0.3+0.08×5=0.7＞0.5； ∴中位数应在20～25内， 设中位数为x，则 0.3+（x﹣20）×0.08=0.5， 解得x=22.5；

∴这批产品的中位数是22.5． 故选：C．

【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．

9． 【答案】

x2y2p

【解析】解析：选D.双曲线C的方程为－＝1，其焦点为（±2，0），由题意得＝2，

222∴p＝4，即拋物线方程为y2＝8x， 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，

2

y＝8x由，解得 x＝0（舍去）或x＝8，则P到E的准线的距离为8＋2＝10，故选D.

xy＝±

10．【答案】C

【解析】解：∵∴x≥0， ∴A={x|x≥0}；

又x﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，

2

≤1=，

∴2≤x≤4． ∴B={x|2≤x≤4}， ∴∁RB={x|x＜2或x＞4}， ∴A∩∁RB={x|0≤x＜2或x＞4}， 故选C．

11．【答案】C 【解析】

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考

点：茎叶图，频率分布直方图． 12．【答案】D

【解析】解：∵a=

，c=2，cosA=，

=

2

，整理可得：3b﹣8b﹣3=0，

∴由余弦定理可得：cosA==∴解得：b=3或﹣（舍去）． 故选：D．

二、填空题

13．【答案】 9 ．

【解析】解：由题意可得：a+b=p，ab=q， ∵p＞0，q＞0， 可得a＞0，b＞0，

又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得解①得：

①或；解②得：

②． ．

∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9．

故答案为：9．

14．【答案】 3x﹣y﹣11=0 ．

【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点 为A（x1，y1），B（x2，y2），

22

即有y1=6x1，y2=6x2，

相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），

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即有kAB=

===3，

则直线方程为y﹣1=3（x﹣4）， 即为3x﹣y﹣11=0．

将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得 9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0， 故所求直线为3x﹣y﹣11=0． 故答案为：3x﹣y﹣11=0．

15．【答案】2

【解析】由题意，得p2，F(1,0)，准线为x1，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AB的方程为yk(x1)，

2k24代入抛物线方程消去y，得kx(2k4)xk0，所以x1x2，x1x21．又设P(x0,y0)，

k2112112则y0(y1y2)[k(x11)k(x21)]，所以x02，所以P(2,)．

22kkkk13因为|PF|x0121，解得k22，所以M点的横坐标为2．

k216．【答案】2e

2222【解析】 试题分析：

fxxex,f'xexxex，则f'12e，故答案为2e.

考点：利用导数求曲线上某点切线斜率. 17．【答案】,1 【解析】

2试题分析：函数fxmin2x,x的图象如下图：

第 11 页，共 16 页

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观察上图可知：fx的取值范围是,1。 考点：函数图象的应用。 18．【答案】 ①② ．

【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即对于①，联立

，消y得7x﹣18x﹣153=0，

2

，（x＞0）．

2

∵△=（﹣18）﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．

对于②，联立2

，消y得x=

，∴y=2是“单曲型直线”．

对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．

对于④，联立2

，消y得20x+36x+153=0，

2

∵△=36﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．

故符合题意的有①②． 故答案为：①②．

【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．

三、解答题

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19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=其分布列如下：

X P =0 =

， =， =， ，

1 2 3 =，且X～B（3，），

（每算对一个结果给1分） ∴E（X）=3×=2．

（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关， K2=

=

≈3.030＞2.706，

所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．

20．【答案】

【解析】解：设直线l的倾斜解为α，则l与y轴的夹角θ=90°﹣α， cotθ=tanα=2， ∴sinθ=|AB|=

， =40．

的灵活运用．

线段AB的长为40．

【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式|AB|=

21．【答案】

【解析】

【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程； （2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；

22

【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）+y=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．

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（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为

22．【答案】（1）bn2n12；（2）Sn2n2(n2n4)． 【解析】

，即x+2y﹣6=0．

试题分析：（1）已知递推公式bn12bn2，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比数列的通项公式可得bn，变形形式为bn1x2(bnx)；（2）由（1）可知anan1bn2n2(n2)，这是数列{an}的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由an(anan1)(an1an2)

(a2a1)a1求得．

试题解析：（1）bn12bn2bn122(bn2)，∵又b12a2a124，

bn122，

bn2∴an(222232n)2n22(21)2n22n12n.

21n

4(12n)n(22n)2n2(n2n4). ∴Sn122考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式． 23．【答案】

【解析】（1）证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF， 由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点， ∴DF∥BC1，

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∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD； …

（2）解：由（1）可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角． DF=BC1=

=1，A1D=

=

，A1F=A1C=1．

=

，

在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF=∵∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=

，

∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；…

（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB， ∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD=∴

=

﹣S△BDE﹣

﹣…

=

=1．

∴三棱锥C﹣A1DE的体积V=

【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC1和A1D所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．

24．【答案】（1）甲，乙，丙，丁；（2）P【解析】

试题分析：（1）从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生，则各大学人数分别为甲，乙，丙，丁；（2）利用列举出从参加问卷调查的40名学生中随机抽取两名学生的方法共有15种，这来自同一所大学的取法共有种，再利用古典慨型的概率计算公式即可得出.

试题解析：（1）从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生，则各大学人数分别为甲2，乙3，丙2，丁3.

（2）设乙中3人为a1,a2,a3，丁中3人为b1,b2,b3，从这6名学生中随机选出2名学生发言的结果为{a1,a2}，

2. 5{a1,a3}，{a1,b1}，{a1,b2}，{a1,b3}，{a3,a2}，{b1,a2}，{b2,a2}，{b3,a2}，{a3,b1}，{a3,b2}，{a3,b3}，

{b1,b2}，{b1,b3}，{b2,b3}，共15种，

这2名同学来自同一所大学的结果共6种，所以所求概率为P62. 155第 15 页，共 16 页

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考点：1、分层抽样方法的应用；2、古典概型概率公式.

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