裂纹齿轮应力强度系数的有限元分析 口王志 口熊人焱 江苏大学机械工程学院 江苏镇江２１２０１３ 摘 要：应力强度系数是缺陷机构安全评定的必要参数，对裂纹尖端的应力应变与应力强度系数 的关系进行研究。并依据断裂力学理论分析了裂纹齿轮应力强度系数与裂纹尺寸及裂纹形状的关系． 建立了单个裂纹齿轮的有限元模型。利用有限元分析软件ＡＮＳＹＳ Ｗｏｒｋｂｅｎｃｈ分析了裂纹齿轮在不同参 数时的应力强度系数的变化特征。计算结果表明。在给定约束及载荷条件下，随着尺寸形状及位置参数 变化，齿轮应力强度系数也不断变化．这些结果为研究齿轮疲劳折断提供了参考。 关键词：有限元方法应力强度系数裂纹齿轮 中图分类号：ＴＨｌ３２．４ 文献标志码：Ａ 文章编号：１０００—４９９８ｆ２０１６１０２—００３７—０３ 随着现代高强度材料和机械传动结构的广泛应 应力强度系数与理论值对比分析，以验证有限元方法 用．一些按传统强度理论和方法来设计制造的产品，引 的可靠性。从而可以将有限元求解应力强度系数应用 发不少重大疲劳断裂事故。传动机构上的裂纹会降低 于齿轮等复杂结构。笔者以一个简单的含中心椭圆非 结构系统的安全性，甚至导致整个系统的失效。从大 穿透裂纹齿轮结构为例进行仿真计算。 量疲劳断裂结构系统分析中发现，由于缺陷或裂纹存 在．容易导致结构疲劳断裂。然而传统的设计方法是 １ 齿轮裂纹分析假设 将材料简化为无缺陷的均匀连续体，但在实际应用过 １．１ 裂纹类型 程中，构件或材料始终存在着缺陷和裂纹，构件实际 结构中的裂纹存在各种复杂形式，但主要有如图 强度往往小于理想模型的强度。因此在对机械构件进 １所示的三种基本型式：张开型裂纹（Ｉ型）、滑开型裂 行强度分析时，有必要考虑初始裂纹缺陷的存在，故断 纹（Ⅱ型）、撕开型裂纹（Ⅲ型）。任何复杂的裂纹，都可 裂力学中应力强度系数成为对含裂纹结构构件进行断 以由这三种基本型式的组合得到。在脆性断裂失效中， 裂失效分析的重要参数。 Ｉ型裂纹扩展最为危险，且是最常见的形式．所以一般 应力强度系数是判断含裂纹构件以及在构件传动 在断裂力学中，裂纹的简化形式以Ｉ型裂纹为主。笔 过程中计算裂纹扩展速率的重要参量。在解决工程实 者也是以Ｉ型裂纹建立有限元模型来求解应力强度系 际问题中的断裂问题，首先必须计算裂纹尖端的应力 数的。 强度系数。目前有多种计算应力强度系数的方法，如 １．２椭圆裂纹模型假设 数值法、边界元法、权函数法和有限元法等，但大多数 为了建模方便，作如下假设。 都限于在理论推导和实验上，随着计算 机技术的不断发展．应力强度系数可 以用有限元法求解。 常见裂纹体的应力强度系数可以 通过查阅《应力强度系数手册》，但对于 齿轮这种受力复杂．且破坏失效形式多 样的结构，很难通过查阅手册直接计 算。所以采用有限元法仿真计算三维裂 纹体前缘在齿轮不同位置处的应力强 度系数，并选取不同位置处裂纹最大应 力强度系数。用有限元法计算得到的 收稿日期：２０１５年８月 机械制造５４卷第６１８期 ２０１６／２ １所不。 如图３所示的有限元模型。 为Ｉ型裂纹应力强度系数，对其求解深度 ２．２ 约束及加载 在齿轮传动过程中．齿轮与传动轴之间为过盈配 （３） 由浅到深为１～１２ ｍｍ，求解长度分别为１０ ｍｍ、１５ ｍｍ、２０ ｍｍ三个数据。 １．３应力强度系数 合。因此，边界条件约束齿轮内表面的平动自由度和转 动自由度，在垂直于齿轮分度圆的轮齿齿面上施加 １００ Ｎ集中载荷。 ２．３裂纹长度及裂纹位置对应力强度系数的影响 应力强度系数是线弹性断裂力学中一个重要的参 量，它反映了初始裂纹构件在裂纹尖端处应力场的奇 异性性态，可以判别裂纹尖端处弹性应力场的强弱。查 阅《应力强度系数手册》，得出裂纹的应力强度系数的 理式及计算结果，推导出线性材料中不同类型的 三维裂纹应力强度系数的一般理论表达式。 轮齿裂纹是齿轮失效的最主要形式之一，利用应 力强度系数作为裂纹扩展的依据，而裂纹形状尺寸是 应力强度系数的主要参量。建立含裂纹轮齿的有限元 模型，以裂纹长度为参量，在齿根处选取３种不同裂纹 长度裂纹作为参量．假设在裂纹齿面分度圆处施加法 向力１００ Ｎ，对轮齿进行断裂力学分析，并比较同一位 置处不同长度的裂纹对应力强度系数的影响。选取裂 纹长度分别为１０ ｍｍ、１５ ｍｍ、２０ ｍｉｌｌ，分析当裂纹分布 在齿面齿根、分度圆、齿顶处时，其对应的应力强度系 Ｉ、 ｌｌ、ＫⅢ分别为Ｉ、Ⅱ、Ⅲ三种不同类型裂纹尖 端应力场强度系数，它表示裂纹尖端处的应力、应变 场，是表示场强强弱的物理量。在工程构件内部，Ｉ型 （张开型）裂纹最易引起轮齿断裂失效。构件裂纹往往 是复合型裂纹，为了更加安全，往往将其简化为Ｉ型处 理，因此，笔者重点研究Ｉ型裂纹。 综上可知，在线弹性理论内，应力强度系数与构件 及裂纹的几何形状和尺寸大小有关，并与载荷呈线性 关系，一般可写为： ＫＩ＝Ｙｔｒ１、 （１） 数的变化情况。 ２．４结果分析 如图４、图５所示，在裂纹长度分别为１０ Ｅｌｉ－ｎ、１５ ｍｍ、２０ ｍｍ时，含裂纹缺陷分别在齿轮的齿根、分度圆 处的数值分析及其裂纹尖端最大主应力分布情况。 首先，在裂纹深度方向上，最大主应力呈先快速后 缓慢最后快速增大的变化趋势，这说明在裂纹扩展过 式中：ｙ为形状因子，与裂纹位置、大小等有关，一般取 值１～２； 为名义应力，裂纹位置上按无裂纹计算的应 力，ＭＰａ；ａ为裂纹半长，ｍｍ。 程中，初始阶段裂纹扩展较快，随着裂纹扩展的深入， 最大主应力缓慢增大，使裂纹的扩展达到一个临界值。 由此可以推测，当载荷达到裂纹失稳扩展的临界值后， 如果继续加载，裂纹就会加速扩展，从而导致轮齿断 裂。 ２齿轮齿面裂纹的有限元分析 ２．１ 裂纹齿轮有限元模型 将齿轮模型导人ＡＮＳＹＳ Ｗｏｒｋｂｅｒｓｋ分析软件中， 齿轮模型的几何参数为齿数ｚ＝２０，模数ｍ＝ｌＯ ｍｍ，齿 宽ｂ＝５０ ｍｍ。材料属性为杨氏弹性模量，Ｅ＝２１０ ＧＰａ， 泊松比／ｘ＝０．２９．材料密度ｐ＝７ ８５０ ｋｇ／ｍ 。在划分网格 时，设置“Ｒｅｌｅｖａｎｃｅ Ｃｅｎｔｅｒ”为“Ｆｉｎｅ”。对裂纹齿面进行 其次，随着轮齿裂纹长度增加，其最大主应力也逐 渐增大，原因在于裂纹长度增加以后，试样承受Ｊ＇ｆ－￣载 荷的横截面减小．导致裂纹尖端的最大主应力也随之 增大，此时裂纹较容易发生扩展。 局部网格划分，设置“Ｍｅｔｈｏｄ”为“Ｔｅｔｒａｈｅｄｒｏｎｓ”，得到 最后，在轮齿不同位置处的裂纹，经过计算，齿顶 Ｉ圆２０１６／２ 机械制造５４卷第６１８期 处的最大主应力稳定在０．４２ ０．８ ＭＰａ．远小于齿根和分度圆 Ｏ．７ 处．且在齿根处主应力最大， 说明齿轮在齿根处更容易疲 Ｏ．６ 劳破坏，主要原因是在齿根处 ０．５ 弯曲应力最大。 ０．４ 在裂纹长度分别为１０ Ｏ－３ ｍｍ、１５ ｍｍ、２０ ｍｍ时，含裂 纹缺陷分别在齿根、分度圆、 ０．２ 齿顶处的最大应力强度系数 ０ ３ ６ ９ １２ 的分布情况如图６～图８所 一 山．Ｂｄ 一、 越嚼 嚼 轻 一 目 窆一～１ １ ０ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ 裂纹深度ｄ／ｍｍ 辍 雠骥Ｒ 噼 臀 １ Ｏ ９ ８ ７ ６ ５ ４ ３ 示。 ▲图６齿根处最大应力强度系数蜀分布 首先．在裂纹深度方向 ２．Ｏ 上， 呈现逐渐变大的变化 １．６ 趋势，当 逐渐增加，并且大 于断裂韧度 时，轮齿会达 １．２ 要 到裂纹失稳扩展．导致轮齿断 裂。 ０．８ 鬈 其次，随着齿轮裂纹长度 Ｏ．４ 矍。 增加．其最大应力强度系数也 Ｏ ３ ６ ９ ｌ２ 逐渐增大。原因在于裂纹长度 裂纹深度ｄ／ｍｍ 裂纹前缘位置ａ／ｍｍ 增加以后．试样承受外部载荷 ▲图８ 齿顶处最大应力强度系数 分布 ▲图９齿轮裂纹的 与裂纹前缘位置的关系 的横截面减小，所以裂纹尖端附近会有明显的应力集 — ｇ．ＢｄｌＩＩ一、一 籁垛瑙馥 嘣 圆 其它位置处的应力强度系数，在齿根处，弯曲应力最 中现象，因此Ｋ。值会随之增大，此时裂纹较容易发生 大，且弯曲应力是轮齿疲劳折断最大影响因素，故在齿 扩展。 根处轮齿更易折断。 最后，在轮齿的不同位置处的裂纹，经过计算，在 （３）在同一位置，不同长度及深度裂纹，裂纹长度 齿顶处的最大主应力强度系数的量级单位为齿根处的 越大，深度越大，裂纹应力强度系数越大，说明随着裂 １／１ ０００，远小于齿根和分度圆处，且在齿根处最大应 纹长度的变长和扩展深度的增加，齿轮更容易断裂。 力强度系数Ｋ 最大，说明裂纹扩展主要发生在齿根 参考文献 处，在齿根处更容易疲劳破坏。 ［１］ 马杰，邵忍平．裂纹方向对齿轮动力特性及动态应力影响 如图９为齿轮裂纹的 与裂纹前缘位置的关系。 的研究［Ｊ］．机械设计与制造，２０１１（１０）：２１５—２１７． 呈先增大后趋于稳定最后减小的变化趋势，并且两 ［２］黄志新，刘成柱．ＡＮＳＹＳ Ｗｏｒｋｂｅｎｃｈ１４．０超级学习手册［Ｍ］． 边关于中间对称。这是因为在试样厚度方向上，表层大 北京：人民邮电出版社．２０１３． 部分主要处于平面应力状态，而中间层大部分主要处 ［３］ Ｓｔａｎｉａｌａｖ Ｐｅｈａｎ，Ｔｒｅｖｏｒ Ｋ Ｈｅｌｌｅｎ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｆｏｒ Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ 于平面应变状态，从而中间层的裂纹扩展速度较快，所 Ｓｔｒｅｓｓ Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ Ｆａｃｔｏｒｓ ＶＳ Ｃｒａｃｋ Ｄｅｐｔｈ ｉｎ Ｇｅａｒ Ｔｏｏｔｈ Ｒｏｏｔｓ 以 。的最大值出现在中间层。因此，当载荷达到裂纹 ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆａｔｉｇｕｅ，１９９７，１９（１０）：６７７—６８５． 失稳扩展的临界值后，如果继续加载，裂纹就会发生失 ［４］Ｎａｂａｖｉ Ｓ Ｍ．，Ｓｈａｈａｎｉ Ａ Ｒ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｔｒｅｓｓ Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ 稳扩展，并且断裂以后裂纹尖端将呈现出圆弧形的断 Ｆａｃｔｏｒｓ ｆｏｒ ａ Ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ Ｓｅｍｉ——ｅｌｌｉｐｔｉｃａｌ Ｃｒａｃｋ ｉｎ ａ Ｆｉｎｉｔｅ—— 裂形貌。 ￣ｎｓｔｈ Ｔｈｉｃｋ—ｗａｌｌｅｄ Ｃｙｌｉｎｄｅｒ［Ｊ］．Ｆａｃｕｌｔｙ ａｎｄ Ｆｒａｃｔｕｒｅ ｏｆ ３结论 Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００８，３１（１）：８５－９４． ［５］江英，闰兴清．直管外表面轴向半椭圆裂纹应力强度因子 （１）当齿轮出现裂纹时，在裂纹处，出现明显的应 Ｋ１分析［Ｊ］．化学工程与装备，２０１４（５）：４７—５０． 力集中，由于轮齿的重复受载，裂纹长度和深度会增 ［６］季维英，陈荣．基于ＡＮＳＹＳ的应力强度因子计算［Ｊ］．南通 加，应力随之增加，加速了轮齿的疲劳折断。 职业大学学报，２００８，２２（２）：９２—９４． （２）裂纹出现在不同位置处，对齿轮结构应力影 △ 响很大，在齿根处裂纹应力强度系数最大。且明显大于 （编辑 小 前） 机械制造５４卷第６１８期 ２０１６／２
