2019高考数学选考系列：参数方程

【考点梳理】

1．曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

x＝f

y＝g

t，t

并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲

线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．

2．参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例

x＝f如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么

y＝gt，t

就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．

3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 直线 普通方程 参数方程 x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin αx＝rcos θ，y＝rsin θx＝acos φ，y＝bsin φy－y0＝tan α(x－x0) 圆 x2＋y2＝r2 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2椭圆 【考点突破】 (t为参数) (θ为参数) (φ为参数) 考点一、参数方程与普通方程的互化

x＝－4＋cos t，x＝8cos θ，

【例1】已知曲线C1： (t为参数)，C2：(θ为参数).

y＝3＋sin ty＝3sin θ

(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

π

(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：

2

x＝3＋2t，(t为参数)距离的最小值. y＝－2＋t

[解析] (1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x＋4)＋(y－3)＝1. 同理曲线C2的普通方程为＋＝1.

9

22

x2y2

C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴

长是8，短半轴长是3的椭圆.

π

(2)当t＝时，P(－4，4)，又Q(8cos θ，3sin θ)，

23故M－2＋4cos θ，2＋sin θ， 2又C3的普通方程为x－2y－7＝0， 则M到直线C3的距离d＝＝

55

|4cos θ－3sin θ－13|＝|3sin θ－4cos θ＋13| 55

4585|5(sin θ－φ)＋13|其中φ满足tan φ＝，所以d的最小值为.

355

【类题通法】

1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形． 【对点训练】

x＝3cos θ，

的参数方程为(θ为参数)，直线

y＝sin θ

在直角坐标系xOy中，曲线Cx＝a＋4t，

程为(t为参数).

y＝1－t

l的参数方

(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.

[解析] (1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0. 曲线C的标准方程是＋y＝1，

9

x2

2

2

联立方程x2

＋y＝1，9

x＋4y－3＝0，

21

x＝－，25x＝3，解得或

y＝024

y＝25.2124则C与l交点坐标是(3，0)和－，.

2525

(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0. 设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).

|3cos θ＋4sin θ－4－a||5sin（θ＋φ）－4－a|3

则P到l距离d＝＝，其中tan φ＝. 41717又点C到直线l距离的最大值为17. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17. 若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8. 若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16. 综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.

考点二、参数方程的应用

x＝2cos θ，

【例2】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线

y＝2＋2sin θ

2

x＝1－t，2

l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

2y＝2t标系.

(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；

(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|·|PN|的值.

2

x＝1－t，2

[解析] (1)直线l的参数方程为(t为参数)，

2y＝2t

消去参数t，得x＋y－1＝0.

x＝2cos θ，

曲线C的参数方程为(θ为参数)，

y＝2＋2sin θ

利用平方关系，得x＋(y－2)＝4，则x＋y－4y＝0.

令ρ＝x＋y，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0). 把直线l的参数方程代入圆C的方程得t－32t＋1＝0， ∴t1＋t2＝32，t1t2＝1.

由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1. 【类题通法】

x＝x0＋tcos α，

过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，

y＝y0＋tsin α

2

2

2

2

2222

t的几何意义是P0P的数量，即|t|表示P0到P2

2

→

x＝x0＋at，

的距离，t有正负之分.对于形如(ty＝y0＋bt

为参数)，当a＋b≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意题. 【对点训练】

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x＝5cos α，

(α为参数).以坐标原点

y＝sin α



4

πO为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ＋＝2.l与C交于A，B两点.

(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程； (2)设点P(0，－2)，求|PA|＋|PB|的值. [解析] (1)由曲线C：得普通方程＋y＝1.

5

x＝5cos α，

(α为参数)消去α，

y＝sin α

x2

2

π因为直线l的极坐标方程为ρcosθ＋＝2，即ρcos θ－ρsin θ＝2， 4所以直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.

2

x＝t，2

(2)点P(0，－2)在l上，则l的参数方程为(t为参数)，

2

y＝－2＋t2代入＋y＝1整理得3t－102t＋15＝0，

5

102

由题意可得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝.

3

考点三、参数方程与极坐标方程的综合应用

x＝2＋t，

【例3】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数

y＝kt

x2

22

x＝－2＋m，

方程为m(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

y＝k(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M为与C的交点，求M的极径.

x＝2＋t，[解析] (1)由l1：(t为参数)消去t，

y＝kt

化为l1的普通方程y＝k(x－2)，① 同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，② 联立①，②消去k，得x－y＝4(y≠0). 所以C的普通方程为x－y＝4(y≠0). (2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝2，

2

22

2

32x＝，

2x＋y＝2，联立得

x－y＝42

y＝－，2

2

2

182222

∴ρ＝x＋y＝＋＝5，∴与C的交点M的极径为5.

44【类题通法】

1．参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简． 【对点训练】

x＝2＋2cos θ，

y＝2sin θ

已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正

π半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋＝4.

6

(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；

π11π

(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C36交于O，P两点，求△PAB的面积.

x＝2＋2cos θ，

[解析] (1)由(θ为参数)，消去θ.

y＝2sin θ

普通方程为(x－2)＋y＝4.

从而曲线C的极坐标方程为ρ－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，

π31因为直线l的极坐标方程为ρsinθ＋＝4，即ρsin θ＋ρcos θ＝4，

622∴直线l的直角坐标方程为x＋3y－8＝0.

2

22

ππ(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为2，，4，， 33

11π11π联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程得P点极坐标为23，， 66∴|AB|＝2，

1ππ∴S△PAB＝×2×23sin＋＝23.

236