人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(33)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）

一、选择题（共10题）

1. 甲、乙两人在一次赛跑中，路程 𝑠 与时间 𝑡 的函数关系如图所示，则下列说法中正确的是 (  )

2. 已知函数 𝑓(𝑥)=lg(1−𝑥)+lg(1+𝑥)，𝑔(𝑥)=lg(1−𝑥)−lg(1+𝑥)，则 (  )

3. 已知函数 𝑓(𝑥)=−log2𝑥，在下列区间中，包含 𝑓(𝑥) 零点的区间是 (  )

𝑥6

A．甲比乙先出发 C．甲、乙两人的速度相同

B．乙比甲跑的路程多 D．甲先到达终点

A． 𝑓(𝑥) 与 𝑔(𝑥) 均为偶函数 B． 𝑓(𝑥) 为奇函数，𝑔(𝑥) 为偶函数 C． 𝑓(𝑥) 与 𝑔(𝑥) 均为奇函数 D． 𝑓(𝑥) 为偶函数，𝑔(𝑥) 为奇函数

A． (0,1) B． (1,2) C． (2,4) D． (4,+∞)

log𝑥,𝑥>0

4. 若函数 𝑓(𝑥)={2 有且只有一个零点，则 𝑎 的取值范围是 (  )

−2𝑥−𝑎,𝑥≤0

𝑓(𝑥),𝑥>0

5. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎∣log2𝑥∣+1(𝑎≠0)，定义函数 𝐹(𝑥)={，给出下列命题：①

𝑓(−𝑥),𝑥<0𝐹(𝑥)=∣𝑓(𝑥)∣；②函数 𝐹(𝑥) 是偶函数；③当 𝑎<0 时，若 0<𝑚<𝑛<1，则有 𝐹(𝑚)−𝐹(𝑛)<0 成立；④当 𝑎>0 时，函数 𝑦=𝐹(𝑥)−2 有 4 个零点．其中正确命题的个数为

6. 在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：mol/L，记作 [H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：mol/L，记作 [OH−]）的乘积等于常数 10−14，已知 pH 值的定义为 pH=−lg[H+]，健康人体血液 pH 值保持在 7.35∼7.45 之间，则健康人体血液中的

[OH−]

[H+]

A． (−∞,−1)∪(0,+∞) C． [−1,0) B． (−∞,−1)∪[0,+∞) D． [0,+∞)

A．0 B．1 C．2 D．3

可以为 (  )（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）

1

A． 5 B． 7 C． 9

𝑥𝑦

D． 10

0.500.992.013.98

则 𝑥，𝑦

−1.010.010.982.00

D． 𝑦=log2𝑥

7. 在某实验中，测得变量 𝑥 和变量 𝑦 之间的对应数据如表．最适合的函数是 (  )

8. 对于 𝑎>0，𝑎≠1，下列结论中： （1）𝑎𝑚+𝑎𝑛=𝑎𝑚+𝑛； （2）(𝑎𝑚)𝑛=𝑎𝑚；

（3）若 𝑀=𝑁，则 log𝑎𝑀=log𝑎𝑁； （4）若 log𝑎𝑀2=log𝑎𝑁2，则 𝑀=𝑁． 正确的结论有 (  )

A． 3 个

B． 2 个

C． 1 个

𝑛

A． 𝑦=2𝑥 B． 𝑦=𝑥2−1 C． 𝑦=2𝑥−2

D． 0 个

9. 若函数 𝑦=log𝑎(𝑥2−𝑎𝑥+1) 有最小值，则 𝑎 的取值范围是 (  )

10. 定义函数序列：𝑓1(𝑥)=𝑓(𝑥)=1−𝑥，𝑓2(𝑥)=𝑓(𝑓1(𝑥))，𝑓3(𝑥)=𝑓(𝑓2(𝑥))，⋯，𝑓𝑛(𝑥)=𝑓(𝑓𝑛−1(𝑥))，

则函数 𝑦=𝑓2019(𝑥) 与 𝑦=

二、填空题（共6题）

11. 已知方程 4𝑥2+2(𝑚−1)𝑥+(2𝑚+3)=0(𝑚∈𝐑) 有两个负实数根，则 𝑚 的取值范围为 ．

12. lg25+lg4−1= ．

13. 已知函数 𝑓(𝑥)=log1𝑥+𝑎，𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥，若 ∀𝑥1∈[4,2]，𝑥2∈[−1,2]，使得 𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，

2A． 1<𝑎<2 C． 0<𝑎<1

𝑥

B． 0<𝑎<2，𝑎≠1 D． 𝑎≥2

1

𝑥−2019

的图象的交点坐标为 (  )

B． (0,−D． (2,−

1201912017

A． (−1,−C． (1,−

) 2020

1

) )

) 2018

1

1

则实数 𝑎 的取值范围是 ．

14. 已知函数 𝑓(𝑥)=(2)，函数 𝑔(𝑥) 为偶函数且 𝑔(𝑥−2)=−𝑔(𝑥)，当 𝑥∈[0,2] 时，𝑔(𝑥)=

2

1𝑥

{

−𝑥2−𝑥+5,0≤𝑥≤1𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥),1<𝑥≤2

2

3

，若 𝐹(𝑥)=𝑔(𝑥)−𝑓(∣𝑥∣)−𝑎 恰有 4 个零点，则 𝑎 的取值范围

是 ．

15. 函数 𝑦=log𝑎(𝑥−4)+2（𝑎>0 且 𝑎≠1）恒过定点 ．

16. 已知 𝑎∈𝐑，𝑛∈𝐍∗，给出四个式子：

6

① √(−2)2𝑛；② √𝑎2； 6

③ √(−3)2𝑛+1；④ √−𝑎4．

95

其中没有意义的有 ．（填序号）

三、解答题（共6题）

17. 设直角三角形的斜边为 𝑐，直角边分别为 𝑎，𝑏，求证：log(𝑏+𝑐)𝑎+log(𝑐−𝑏)𝑎=2log(𝑏+𝑐)𝑎⋅

log(𝑐−𝑏)𝑎．

18. 对函数 𝑦=𝜑(𝑥)，定义 𝑓𝑘(𝑥)=𝜑(𝑥−𝑚𝑘)+𝑛𝑘（其中 𝑥∈(𝑚𝑘,𝑚+𝑚𝑘]，𝑘∈𝐙，𝑚>0，𝑛>

0 且 𝑚，𝑛 为常数）为 𝜑(𝑥) 的第 𝑘 阶阶梯函数，𝑚 叫做阶宽，𝑛 叫做阶高．已知阶宽为 2，阶高为 3．

(1) 当 𝜑(𝑥)=2𝑥 时，求 𝑓0(𝑥) 和 𝑓𝑘(𝑥) 的表达式；

(2) 若 𝜑(𝑥)=𝑥2，则是否存在正整数 𝑘，使得不等式 𝑓𝑘(𝑥)<(1−3𝑘)𝑥+4𝑘2+3𝑘−1 有解？

若存在，求出 𝑘 的值；若不存在，请说明理由．

19. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+1(𝑎∈𝐑) 在 [2,+∞) 上单调递增．

(1) 若函数 𝑦=𝑓(2𝑥) 有实数零点，求满足条件的实数 𝑎 的集合 𝐴．

(2) 若对于任意的 𝑎∈[1,2] 时，不等式 𝑓(2𝑥+1)>3𝑓(2𝑥)+𝑎 恒成立，求 𝑥 的取值范围．

20. 已知二次函数 𝑓(𝑥)=(𝑚+2)𝑥2−(2𝑚+4)𝑥+3𝑚+3 与 𝑥 轴有两个交点，一个大于 1，一个

小于 1，求实数 𝑚 的取值范围．

21. 已知函数 𝑦=∣𝑥−2∣(𝑥+1)．

(1) 作出此函数的大致图象；

(2) 判断关于 𝑥 的方程 ∣𝑥−2∣(𝑥+1)−𝑎=0(𝑎∈𝐑) 的解的个数，并说明理由．

22. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥（𝑎>0 且 𝑎≠1），𝑔(𝑥) 为 𝑓(𝑥) 的反函数．

(1) 写出函数 𝑔(𝑥) 的解析式．

(2) 解关于 𝑥 的不等式 𝑔(𝑥)−log𝑎(2−3𝑥)≤log𝑎1．

3

答案

一、选择题（共10题） 1. 【答案】D

【知识点】函数模型的综合应用

2. 【答案】D

【解析】两个函数的定义域均为 (−1,1)， 则 𝑓(−𝑥)=lg(1+𝑥)+lg(1−𝑥)=𝑓(𝑥)， 所以函数 𝑓(𝑥) 为偶函数，

又因为 𝑔(−𝑥)=lg(1+𝑥)−lg(1−𝑥)=−𝑔(𝑥)，所以 𝑔(𝑥) 为奇函数． 【知识点】对数函数及其性质

3. 【答案】C

【解析】因为 𝑓(1)=6−log21=6>0，𝑓(2)=3−log22=2>0，𝑓(4)=2−log24=−2<0， 所以函数 𝑓(𝑥) 的零点所在的区间为 (2,4)，故选C． 【知识点】零点的存在性定理

4. 【答案】B

【解析】当 𝑥>0 时，因为 log21=0，所以有一个零点， 所以要使函数 𝑓(𝑥)={

log2𝑥,𝑥>0

有且只有一个零点，

−2𝑥−𝑎,𝑥≤0

3

1

则当 𝑥≤0 时，函数 𝑓(𝑥) 没有零点即可． 当 𝑥≤0 时，0<2𝑥≤1，所以 −1≤−2𝑥<0，

所以 −1−𝑎≤−2𝑥−𝑎<−𝑎，所以 −𝑎≤0 或 −1−𝑎>0，即 𝑎≥0 或 𝑎<−1． 【知识点】零点的存在性定理

5. 【答案】D

【解析】令 𝑥=2 时，∣𝑓(𝑥)∣=∣𝑎+1∣，𝐹(𝑥)=𝑎+1，当 𝑎<−1 时，𝐹(𝑥)≠∣𝑓(𝑥)∣，𝐹(𝑥)=𝑎∣log2𝑥∣+1,𝑥>0,{ 有 𝐹(𝑥)=𝐹(−𝑥)，所以 𝐹(𝑥) 是偶函数；当 𝑎<0 时，0<𝑚<𝑛<𝑎∣log2(−𝑥)∣+1,𝑥<0,

1，𝐹(𝑥)=−𝑎log2𝑥+1，函数 𝐹(𝑥) 是单调递增，所以 𝐹(𝑚)−𝐹(𝑛)<0 成立；当 𝑎>0 时，因为函数 𝐹(𝑥) 是偶函数，且函数 𝐹(𝑥) 的最小值是 1，所以函数 𝑦=𝐹(𝑥)−2 有 4 个零点；所以正确的命题的个数为 3 个．

【知识点】函数的零点分布、函数的奇偶性、函数的单调性

6. 【答案】B

【解析】由题意知，7.35<−lg[H+]<7.45，即 10−7.45<[H+]<10−7.35，

4

则 设

[OH−][H+][OH−][H+]

=

10−14[H+]2∈(100.7,100.9)，

=𝑥，则 100.7<𝑥<100.9，即 0.7而 lg6=lg2+lg3≈0.301+0.477=0.778，lg8=3lg2=3×0.301=0.903， 故 𝑥 的值可以为 7，即 故选B．

【知识点】函数模型的综合应用

7. 【答案】D

【解析】根据 𝑥=0.50，𝑦=−1.01，代入计算，可以排除A； 根据 𝑥=2.01，𝑦=0.98，代入计算，可以排除B、C； 将各数据代入函数 𝑦=log2𝑥，可知满足题意. 【知识点】对数函数及其性质

8. 【答案】D

【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算

9. 【答案】A

【知识点】函数的最大（小）值、对数函数及其性质

10. 【答案】A

【解析】因为 𝑓1(𝑥)=𝑓(𝑥)=1−𝑥， 𝑓2(𝑥)=𝑓(𝑓1(𝑥))= 𝑓3(𝑥)=𝑓(𝑓2(𝑥))= ⋯⋯

𝑓𝑛(𝑥)=𝑓(𝑓𝑛−1(𝑥))=1−𝑛𝑥， 所以函数 𝑦=𝑓2019(𝑥)=令 1−2019𝑥=𝑥−2019，

解得 𝑥=1（舍去）或 𝑥=−1，

将 𝑥=−1 代入 𝑦=𝑥−2019，得 𝑦=−2020，

所以函数 𝑦=𝑓2019(𝑥) 与 𝑦=𝑥−2019 的图象的交点坐标为 (−1,−2020)，故选A．

5

1

1

1

1

𝑥

1

𝑥1−2019𝑥𝑥

𝑥1−𝑥𝑥1−1−𝑥

[OH−]

[H+]

的值可以为 7．

𝑥

=1−2𝑥，

𝑥

𝑥1−3𝑥

，

．

【知识点】函数的零点分布

二、填空题（共6题） 11. 【答案】 [11,+∞)

𝛥=4(𝑚−1)2−4×4×(2𝑚+3)≥0, 2(𝑚−1)

【解析】由题意得 −4<0,

2𝑚+3

{4>0,解得 𝑚≥11，

故 𝑚 的取值范围为 [11,+∞)． 【知识点】函数的零点分布

12. 【答案】 1

【解析】 lg25+lg4−1=lg(25×4)−1=lg100−1=lg102−1=2−1=1． 【知识点】对数的概念与运算

13. 【答案】 [0,1]

【解析】因为 ∀𝑥1∈[4,2]，∃𝑥2∈[−1,2]， 使得 𝑓(𝑥1)=𝑔(𝑥2)，

设 𝑓(𝑥1) 的值域为 𝐴，𝑔(𝑥2) 的值域为 𝐵， 所以 𝐴⊆𝐵，𝑓(𝑥)=log1𝑥+𝑎∈[−1+𝑎,2+𝑎]，

2

1

𝑔(𝑥1)=𝑥2−2𝑥 的对称轴 𝑥=1，𝑔(1)min=12−2=−1，𝑔(−1)max=(−1)2+2=3， 所以 𝑔(𝑥2)∈[−1,3]， 因此 {

−1+𝑎≥−1,

⇒0≤𝑎≤1，

2+𝑎≤3

故 𝑎∈[0,1]．

【知识点】二次函数的性质与图像、对数函数及其性质

14. 【答案】 (2,8)

【解析】由函数 𝑔(𝑥) 为偶函数且 𝑔(𝑥−2)=−𝑔(𝑥)，

则 𝑔(𝑥)=𝑔(−𝑥)，𝑔(𝑥+2)=−𝑔(𝑥)，𝑔(𝑥+4)=−𝑔(𝑥+2)=𝑔(𝑥)， 函数 𝑔(𝑥) 的周期为 4，

−𝑥2−2𝑥+5,0≤𝑥≤1

𝑥∈[0,2] 时，𝑔(𝑥)={，

𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥),1<𝑥≤2

−𝑥2+2𝑥+5,−1≤𝑥≤0

则在区间 [−2,0] 上，有 𝑔(𝑥)={，

2𝑥+2−𝑥,−2≤𝑥<−1

6

3

3

19

分别作出函数 𝑦=𝑔(𝑥) 在 [−2,2] 的图象，并左右平移 4 个单位，8 个单位，⋯，可得 𝑦=𝑔(𝑥) 的图象，再作 𝑦=()

2

5

1∣𝑥∣

+𝑎 的图象，注意上下平移．

1

5

5

13

198

当经过点 𝐴(1,2) 时，𝑎=2−2=2，经过点 𝐵(3,2) 时，𝑎=2−(2)=则当 2<𝑎<

198

5

．

时，图象共有 4 个交点，

即 𝐹(𝑥)=𝑔(𝑥)−𝑓(∣𝑥∣)−𝑎 恰有 4 个零点．

【知识点】函数零点的概念与意义

15. 【答案】 (5,2)

【知识点】对数函数及其性质

16. 【答案】③

【解析】 √(−3)2𝑛+1 中根指数是偶数，被开方数为负，故没有意义的是③． 【知识点】幂的概念与运算

三、解答题（共6题） 17. 【答案】即证：

12log(𝑐−𝑏)𝑎

6

+

12log(𝑏+𝑐)𝑎

=1．

因为 𝑎2=𝑐2−𝑏2，故

12log(𝑐−𝑏)

+2log𝑎

1

(𝑏+𝑐)𝑎

=2log𝑎(𝑐−𝑏)+2log𝑎(𝑏+𝑐)=log𝑎(𝑐2−𝑏2)=1.

21

11

【知识点】对数的概念与运算

7

18. 【答案】

(1) 由题意，𝑓0(𝑥)=2𝑥，𝑥∈(0,2]；

𝑓𝑘(𝑥)=2𝑥−2𝑘+3𝑘，𝑥∈(2𝑘,2𝑘+2]，𝑘∈𝐙． (2) 由题意，得 𝑓𝑘(𝑥)=(𝑥−2𝑘)2+3𝑘．

假设存在正整数 𝑘 适合题意，则由 𝑓𝑘(𝑥)<(1−3𝑘)𝑥+4𝑘2+3𝑘−1，得 (𝑥−2𝑘)2+3𝑘<(1−3𝑘)𝑥+4𝑘2+3𝑘−1，即 𝑥2−(𝑘+1)𝑥+1<0． 当 𝑘=1 时，𝑥2−2𝑥+1<0 显然无解； 当 𝑘≥2 时，由 𝑥−(𝑘+1)𝑥+1<0，得 因为

𝑘+1+√(𝑘+1)2−42

2

𝑘+1−√(𝑘+1)2−42

𝑘+1+√(𝑘+1)2−42

<𝑥<．

<

𝑘+1+√(𝑘+1)22

=𝑘+1<2𝑘，

又 𝑥∈(2𝑘,2𝑘+2]， 所以此时不等式无解． 故不存在正整数 𝑘 符合题意．

【知识点】二次不等式的解法、指数函数及其性质

19. 【答案】

(1) 函数 𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+1(𝑎∈𝐑) 的单调递增区间是 [𝑎,+∞)， 因为 𝑓(𝑥) 在 [2,+∞) 上单调递增，所以 𝑎≤2， 令 2𝑥=𝑡，则 𝑓(2𝑥)=𝑓(𝑡)=𝑡2−2𝑎𝑡+1(𝑡>0)，

函数 𝑦=𝑓(2𝑥) 有实数零点，即 𝑦=𝑓(𝑡) 在 (0,+∞) 上有零点． 𝛥=4𝑎2−4≥0,

只需：{𝑎>0, 解得 𝑎≥1．

𝑓(0)>0,综上：1≤𝑎≤2．

故 𝐴={𝑎∣ 1≤𝑎≤2}．

(2) 𝑓(2𝑥+1)>3𝑓(2𝑥)+𝑎 化简得 (2𝑥+1−1)𝑎+22𝑥−2>0， 因为对于任意的 𝑎∈𝐴 时，不等式 𝑓(2𝑥+1)>3𝑓(2𝑥)+𝑎 恒成立， 即对于 1≤𝑎≤2，不等式 (2𝑥+1−1)𝑎+22𝑥−2>0 恒成立， 设 𝑔(𝑎)=(2𝑥+1−1)𝑎+22𝑥−2(1≤𝑎≤2)， 𝑔(1)>0,2𝑥+1−1+22𝑥−2>0,所以 { 即 {

𝑔(2)>0,2(2𝑥+1−1)+22𝑥−2>0.解得 2𝑥>1， 所以 𝑥>0，

综上，满足条件的 𝑥 的取值范围是 (0,+∞)．

【知识点】函数的零点分布、恒成立问题、函数的单调性

20. 【答案】由 (𝑚+2)⋅𝑓(1)<0，

即 (𝑚+2)⋅(2𝑚+1)<0⇒−2<𝑚<−2，

1

8

即 𝑚 的取值范围为 (−2,−)．

2【知识点】函数的零点分布

21. 【答案】

(𝑥−2)(𝑥+1),𝑥≥2

(1) 由题设条件，可得 𝑓(𝑥)={ 其大致图象如图所示．

(2−𝑥)(𝑥+1),𝑥<2(2) 令 𝑦=𝑎，𝑦=∣𝑥−2∣(𝑥+1)，于是由（1）可得， 当 𝑎<0 或 𝑎>4 时，方程有 1 个解； 当 𝑎=0 或 𝑎=4 时，方程有 2 个解； 当 0<𝑎< 时，方程有 3 个解．

49

99

1

【知识点】函数图象、函数零点的概念与意义

22. 【答案】

(1) 因为函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥（𝑎>0，且 𝑎≠1）， 所以 𝑔(𝑥)=log𝑎𝑥（𝑎>0，且 𝑎≠1）．

(2) 由 𝑔(𝑥)−log𝑎(2−3𝑥)≤log𝑎1，得 log𝑎𝑥≤log𝑎(2−3𝑥)． 当 𝑎>1 时，因为函数 𝑦=log𝑎𝑥 在 (0,+∞) 上为增函数， 所以 {

𝑥≤2−3𝑥,1

解得 0<𝑥≤．

2𝑥>0,

𝑥≥2−3𝑥,12

解得 ≤𝑥<．

232−3𝑥>0,

1

当 0<𝑎<1 时，因为函数 𝑦=log𝑎𝑥 在 (0,+∞) 上为减函数， 所以 {

综上，当 𝑎>1 时，原不等式的解集为 (0,2]； 当 0<𝑎<1 时，原不等式的解集为 [2,3)． 【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质

12

9