人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(36)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）

一、选择题（共10题）

1. 已知 𝑓(𝑥)=𝑎∣𝑥−𝑏∣+𝑐，则对任意非零实数 𝑎，𝑏，𝑐，𝑚，𝑛，𝑡，方程 𝑚𝑓2(𝑥)+𝑛𝑓(𝑥)+𝑡=0 的解集不可能为 (  )

,𝑥≤1

2. 已知 𝑓(𝑥)={(2)，若关于 𝑥 的方程 𝑎=𝑓(𝑥) 恰有两个不同实根，则实数 𝑎

2

−𝑥+4𝑥−2,𝑥>1的取值范围是 (  )

3. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 𝑥，𝑦 应为 (  )

A． (−∞,2)∪[1,2) C． (1,2)

1

1∣𝑥∣

A． {2019} C． {1,2,2018,2019}

B． {2018,2019} D． {1,9,81,729}

B． (0,2)∪[1,2) D． [1,2)

1

A．𝑥=15，𝑦=12

B．𝑥=12，𝑦=15

C．𝑥=14，𝑦=10 D．𝑥=10，𝑦=14

4. 设函数 𝑓(𝑥) 的定义城为 𝐴，如果对于任意的 𝑥1∈𝐴，都存在 𝑥2∈𝐴，使得 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=2𝑚（其中 𝑚 为常数）成立，则称函数 𝑓(𝑥) 在 𝐴 上“与常数 𝑚 相关联”．给定函数：① 𝑦=；

𝑥1

② 𝑦=𝑥；③ 𝑦=(2)；④ 𝑦=ln𝑥；⑤ 𝑦=cos𝑥+1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 (  )

5. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥−2+log2𝑥，则 𝑓(𝑥) 的零点所在区间为 (  )

1

3

1𝑥

A．①②⑤ B．①③ C．②④⑤ D．②④

A． (0,1) B． (1,2) C． (2,3) D． (3,4)

6. 下列各式中错误的是 (  ) A． log𝑎𝑏=log𝑎𝑛𝑏𝑛 B． log𝑎𝑏=1

log𝑏

𝑎

C．

log𝑎𝑀𝑀

log𝑎𝑁

=log𝑎𝑁

D． log𝑎𝑏⋅log𝑏𝑐⋅log𝑐𝑑=log𝑎𝑑

7. 函数 𝑓(𝑥)=ln(𝑥2−2𝑥−8) 的单调递增区间是 (  ) A． (−∞,−2) B． (−∞,1) C． (1,+∞)

D． (4,+∞)

8. 用二分法求如图所示的函数 𝑓(𝑥) 的零点时，不可能求出的零点是 (  )

A． 𝑥1

B． 𝑥2

C． 𝑥3 D． 𝑥4

9. 已知 𝑥0 是函数 𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥−1 的一个零点．若 𝑥1∈(−1,𝑥0)，𝑥2∈(𝑥0,+∞)，则 ( A． 𝑓(𝑥1)<0，𝑓(𝑥2)>0 B． 𝑓(𝑥1)>0，𝑓(𝑥2)<0 C． 𝑓(𝑥1)<0，𝑓(𝑥2)<0

D． 𝑓(𝑥1)>0，𝑓(𝑥2)>0

10. 化简

√𝑎3𝑏2⋅3√𝑎𝑏2(𝑎>0,𝑏>0) 的结果为 (  )

(𝑎14𝑏142)⋅3√

𝑏𝑎

A． 𝑎

B． 𝑎𝑏

C． 𝑏

𝑎

𝑏𝑎 D． 𝑏2

二、填空题（共6题）

11. 函数 𝑓(𝑥)={𝑥exln∣x∣,𝑥≠0

0,𝑥=0 的零点个数为 ．

12. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥

1+∣𝑥∣，𝑥∈𝐑，分别给出下面几个结论：

①等式 𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=0 在 𝑥∈𝐑 时恒成立； ②函数 𝑓(𝑥) 的值域为 (−1,1)； ③若 𝑥1≠𝑥2，则一定有 𝑓(𝑥1)≠𝑓(𝑥2)； ④函数 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥 在 𝐑 上有三个零点． 其中正确结论的序号有 ．

2

)   

ln𝑥−𝑥2+2𝑥,𝑥>0

13. 函数 𝑓(𝑥)={ 的零点个数是 ．

4𝑥+1,𝑥≤0

14. 若 𝑓(𝑥)=lg𝑥，𝑔(𝑥)=𝑓(∣𝑥∣)，则当 𝑔(lg𝑥)>𝑔(1) 时，𝑥 的取值范围是 ．

15. 制造某种产品，计划经过两年后要使成本降低 36%，则平均每年应降低成本 %．

16. 函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+log𝑎(𝑥+1)（𝑎>0 且 𝑎≠1）在区间 [0,1] 上的最大值与最小值之和为 𝑎，

则 𝑎 的值是 ．

三、解答题（共6题）

17. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总

收入 𝑅（单位：元）关于月产量 𝑥（单位：台）满足函数： 400𝑥−2𝑥2,0≤𝑥≤400,

𝑅={

80000,𝑥>400.

(1) 将利润 𝑃（单位：元）表示为月产量 𝑥 的函数；

(2) 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入 = 总成本 + 利润）

18. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨

时，超过部分每吨为 3.00 元，某月甲、乙两用户共交水费 𝑦 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为 5𝑥，3𝑥 吨． (1) 求 𝑦 关于 𝑥 的函数；

(2) 若甲、乙两用户该月共交水费 26.40 元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费．

19. 用根式的形式表示下列各式 (𝑎>0)：𝑎，𝑎，𝑎，𝑎．

20. 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本 25 万元，此外每生产 1 件这样的产品，还需增加投

入 0.5 万元，经市场调查知这种产品年需求量为 500 件，产品销售数量为 𝑡 件时，销售所得的收入为 (5𝑡−200𝑡2) 万元．

(1) 设该公司这种产品的年生产量为 𝑥 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于年产量 𝑥 的

函数为 𝑓(𝑥)，求 𝑓(𝑥)；

(2) 当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．

21. 集合 𝐴 是由适合以下性质的函数 𝑓(𝑥) 构成的：对于任意的 𝑢,𝑣∈(−1,1)，且 𝑢≠𝑣，都有 ∣

𝑓(𝑢)−𝑓(𝑣)∣≤3∣𝑢−𝑣∣．

3

1

153435231

−−

(1) 分别判断函数 𝑓1(𝑥)=√1+𝑥2 及 𝑓2(𝑥)=log2(𝑥+1) 是否在集合 𝐴 中？并说明理由； (2) 设函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥，且 𝑓(𝑥)∈𝐴，试求 ∣2𝑎+𝑏∣ 的取值范围；

(3) 在（2）的条件下，若 𝑓(2)=6，且对于满足（2）的每个实数 𝑎，存在最小的实数 𝑚，使

得当 𝑥∈[𝑚,2] 时，∣𝑓(𝑥)∣≤6 恒成立，试求用 𝑎 表示 𝑚 的表达式．

22. 计算：

(1) log3√4

27+lg25−5log57

4+lg4；

4

(2) log3

√273

+log927+21+log25．

4

答案

一、选择题（共10题） 1. 【答案】D

【知识点】函数的对称性、函数零点的概念与意义

2. 【答案】B

【知识点】函数零点的概念与意义

3. 【答案】A

【解析】由图知 𝑥，𝑦 满足关系式

4

𝑥

24−𝑦16

4

=20，即 𝑦=24−5𝑥，矩形的面积 𝑆=𝑥𝑦=𝑥(24−

(𝑥−15)2+180， 𝑥)=−55

故 𝑥=15，𝑦=12 时 𝑆 取最小值． 【知识点】函数模型的综合应用

4. 【答案】D

【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=2． ① 𝑦=𝑥 的定义域为 {𝑥∣ 𝑥≠0}，由 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=2 得 𝑥+𝑥=2，

1

2

4

111

即 𝑥=2−𝑥，当 𝑥1=2 时，2−𝑥=2−2=0，此时 𝑥=0 无解，不满足条件；

2

1

1

2

11111

② 𝑦=𝑥3 的定义域为 𝐑，由 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=2 得 (𝑥1)3+(𝑥2)3=2，

3即 𝑥2=√2−𝑥1 唯一，满足条件；

3

③ 𝑦=(2) 定义域为 𝐑，由 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=2 得 (2)即 ()2

1𝑥2

1𝑥1𝑥1

+(2)

1𝑥2

=2，

=2−()，当 𝑥1=−2 时，()22

e2𝑥1

1𝑥11𝑥2

=2−()

2

1𝑥1

=2−4=−2，无解，不满足条件；

④ 𝑦=ln𝑥 定义域为 {𝑥∣ 𝑥>0}，由 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=2 得 ln𝑥1+ln𝑥2=2，得 ln𝑥1𝑥2=2， 即 𝑥1𝑥2=e，𝑥2=

2

，满足唯一性，满足条件；

⑤ 𝑦=cos𝑥+1 的定义域为 𝐑，由 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)=2 得 cos𝑥1+cos𝑥2=2，

得 cos𝑥2=2−cos𝑥1，当 𝑥1=3 时，cos𝑥2=2−cos𝑥1=2−0=2，无解，不满足条件． 故满足条件的函数是②④．

【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质

5. 【答案】B

【解析】因为连续函数 𝑓(𝑥)=log2𝑥+𝑥−2 在 (0,+∞) 上单调递增，

5

π

因为 𝑓(1)=−1<0，𝑓(2)=2−2+log22=1>0， 所以 𝑓(𝑥)=𝑥−2+log2𝑥 的零点所在的区间为 (1,2)． 【知识点】零点的存在性定理

6. 【答案】C

【知识点】对数的概念与运算

7. 【答案】D

【解析】由 𝑥2−2𝑥−8>0，得 𝑥<−2 或 𝑥>4，

所以函数 𝑓(𝑥)=ln(𝑥2−2𝑥−8) 的定义域是 (−∞,−2)∪(4,+∞)． 因为函数 𝑦=𝑥2−2𝑥−8 在 (4,+∞) 上单调递增，

由复合函数的单调性，知 𝑓(𝑥)=ln(𝑥2−2𝑥−8) 的单调递增区间是 (4,+∞)， 选D．

【知识点】函数的单调性

8. 【答案】C

【解析】观察题中图象可知：零点 𝑥3 的两侧的函数值都为负值， 所以零点 𝑥3 不能用二分法求． 【知识点】二分法求近似零点

9. 【答案】A

【解析】因为 𝑥0 是函数 𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥−1 的一个零点，所以 𝑓(𝑥0)=0， 因为 𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑥−1 是单调递增函数，且 𝑥1∈(−1,𝑥0)，𝑥2∈(𝑥0,+∞)， 所以 𝑓(𝑥1)<0，𝑓(𝑥2)>0． 【知识点】零点的存在性定理

10. 【答案】A

【解析】 原式=故选：A．

【知识点】幂的概念与运算

二、填空题（共6题） 11. 【答案】 3

【解析】①当 𝑥=0 时，𝑓(0)=0 符号， ②当 𝑥≠0 时，𝑓(𝑥)=𝑥⋅ex⋅ln∣x∣， 因为 𝑥≠0，ex>0， 令 𝑓(𝑥)=0，即 ln∣𝑥∣=0， 解得 𝑥=1 或 𝑥=−1， 综上所述共 3 个零点．

6

𝑎2𝑏⋅𝑎6𝑏311−

𝑎𝑏2⋅𝑎3𝑏33

11

311+−1+2631

313=𝑎𝑏

1+−2−=𝑎𝑏−1．

【知识点】函数零点的概念与意义

12. 【答案】①②③

【知识点】函数的零点分布、函数的值域的概念与求法、恒成立问题

13. 【答案】 3

【解析】当 𝑥>0 时，作出函数 𝑦=ln𝑥 和 𝑦=𝑥2−2𝑥 的图象， 由图知，当 𝑥>0 时，𝑓(𝑥) 有 2 个零点； 当 𝑥≤0 时，由 𝑓(𝑥)=0，得 𝑥=−4． 综上，𝑓(𝑥) 有 3 个零点．

1

【知识点】函数的零点分布

14. 【答案】 (0,10)∪(10,+∞)

【解析】当 𝑔(lg𝑥)>𝑔(1) 时，𝑓(∣lg𝑥∣)>𝑓(1)，

由 𝑓(𝑥) 为增函数得 ∣lg𝑥∣>1，从而 lg𝑥<−1 或 lg𝑥>1，解得 0<𝑥<10 或 𝑥>10． 【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性

15. 【答案】 20

【知识点】函数模型的综合应用

16. 【答案】

21

1

1

【解析】方法一：

①若 𝑎>1，

则 𝑦=𝑎𝑥 在 [0,1] 上单调递增，𝑦=log𝑎(𝑥+1) 在 [0,1] 上单调递增， 所以 𝑓(𝑥) 在 [0,1] 上单调递增， 所以 𝑓(1)+𝑓(0)=𝑎， 所以 𝑎+log𝑎2+1+0=𝑎， 所以 log𝑎2=−1，

7

所以 𝑎=2，与 𝑎>1 矛盾． ②若 0<𝑎<1，

𝑦=𝑎𝑥 在 [0,1] 上单调递减，

𝑦=log𝑎(𝑥+1) 在 [0,1] 上单调递减， 所以 𝑓(1)+𝑓(0)=𝑎， 所以 𝑎+log𝑎2+1+0=𝑎， 所以 log𝑎2=−1， 所以 𝑎=2．综上，𝑎=2． 方法二：

因为 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+log𝑎(𝑥+1)， 所以 𝑓(𝑥) 为单增或单减， 在 [0,1] 的两端点处取最值， 所以 𝑓(0)+𝑓(1)=𝑎， 即 1+𝑎+log𝑎2=𝑎， 所以 𝑎=．

211

1

1

【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质

三、解答题（共6题） 17. 【答案】

−2𝑥2+300𝑥−20000,0≤𝑥≤400,

(1) 𝑓(𝑥)={

60000−100𝑥,𝑥>400.

(2) 当 0≤𝑥≤400 时，𝑓(𝑥)=−(𝑥−300)2+25000．所以，当 𝑥=300 时，𝑓(𝑥) 有最大值

21

1

25000；当 𝑥>400 时，𝑓(𝑥)=60000−100𝑥 是减函数，𝑓(𝑥)<25000．所以，当月产量为 300 台时，公司获得利润最大，最大利润为 25000 元． 【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型

18. 【答案】

(1) 当甲用户的用水量不超过 4 吨，

即 5𝑥≤4 时，乙用户的用水量也不超过 4 吨， 即 𝑦=(5𝑥+3𝑥)×1.80=14.4𝑥；

同理可得当 <𝑥≤ 时，𝑦=20.4𝑥−4.8；

5

3

4

4

当 𝑥> 时，𝑦=24𝑥−9.6．

3

4

8

0≤𝑥≤5 14.4𝑥,

44

所以 𝑦=20.4𝑥−4.8,5<𝑥≤3．

4 24𝑥−9.6,𝑥>

3{

(2) 由于 𝑦=𝑓(𝑥) 在各段区间上均单调递增， 所以当 𝑥∈[0,5] 时，𝑦≤𝑓(5)<26.40，不合题意； 当 𝑥∈(,] 时，𝑦≤𝑓()<26.40，不合题意；

533

当 𝑥∈(,+∞) 时，令 24𝑥−9.6=26.40，得 𝑥=1.5． 3

所以甲用户用水量为 5𝑥=7.5（吨），付费 𝑦1=4×1.80+(7.5−4)×3.00=17.70（元）． 乙用户用水量为 3𝑥=4.5（吨），付费 𝑦2=4×1.80+(4.5−3)×3.00=8.70（元）．

【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用

19. 【答案】 𝑎=√𝑎，𝑎=

【知识点】幂的概念与运算

20. 【答案】

(1) 当 0<𝑥≤500 时，𝑓(𝑥)=5𝑥−200𝑥2−2−25； 当 𝑥>500 时，𝑓(𝑥)=5×500−200×5002−2−25， −𝑥2+𝑥−25,0<𝑥≤500

2

故 𝑓(𝑥)={200． 1

−2𝑥+1225,𝑥>500(2) 当 0<𝑥≤500 时，𝑓(𝑥)=−故当 𝑥=450 时，𝑓(𝑥)max=

1

19752

1200

1

9

1

𝑥

1

𝑥

15

5

34

4

4

44

444

4

√𝑎3，𝑎−5

3

=

1

3𝑎5=

15√𝑎3，𝑎

−

23

=

1

2𝑎3=

13√𝑎2．

(𝑥−450)2+

19752

．

=987.5；

当 𝑥>500 时，𝑓(𝑥)<−2×500+1225=975， 故当该公司的年产量为 450 件时，当年获得的利润最大． 【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用

21. 【答案】

(1) 𝑓1(𝑥)∈𝐴；𝑓2(𝑥)∉𝐴．

9

证明：任取 𝑢,𝑣∈(−1,1)，且 𝑢≠𝑣， 则 ∣𝑓1(𝑢)−𝑓1(𝑣)∣=∣∣√1+𝑢2−√1+𝑣2∣∣=∣∣𝑢2−𝑣2∣∣√1+𝑢2+√1+𝑣2∣∣=∣∣𝑢+𝑣∣⋅∣𝑢−𝑣∣∣√1+𝑢2+√1+𝑣2∣∣，

因为 ∣𝑢∣<√1+𝑢2，∣𝑣∣<√1+𝑣2，∣𝑢+𝑣∣≤∣𝑢∣+∣𝑣∣， 所以，∣∣𝑢+𝑣∣⋅∣𝑢−𝑣∣∣√1+𝑢2+√1+𝑣2∣∣<∣𝑢−𝑣∣，

所以，∣𝑓1(𝑢)−𝑓1(𝑣)∣<∣𝑢−𝑣∣<3∣𝑢−𝑣∣，也即 𝑓1(𝑥)∈𝐴；对于 𝑓2(𝑥)=log2(𝑥+1)，只需取 𝑢=−1+2−5，𝑣=−1+2−1，

则 ∣𝑢−𝑣∣<1，而 ∣𝑓2(𝑢)−𝑓2(𝑣)∣=4>3∣𝑢−𝑣∣， 所以，𝑓2(𝑥)∉𝐴．

(2) 因为 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥 属于集合 𝐴， 所以，任取 𝑢,𝑣∈(−1,1)，且 𝑢≠𝑣，

则 3∣𝑢−𝑣∣≥∣𝑓(𝑢)−𝑓(𝑣)∣=∣(𝑢−𝑣)(𝑎𝑢+𝑎𝑣+𝑏)∣． 也即：∣𝑎𝑢+𝑎𝑣+𝑏∣≤3, ⋯⋯①

设 𝑡=𝑢+𝑣，则上式化为：∣𝑎𝑡+𝑏∣≤3. ⋯⋯②

因为 𝑢,𝑣∈(−1,1)，所以 −2<𝑡<2．

式①对任意的 𝑢,𝑣∈(−1,1) 恒成立，即式②对 𝑡∈(−2,2) 恒成立，所以 ∣2𝑎+𝑏∣≤3， 即 2𝑎+𝑏∈[−3,3]．

(3) 由 𝑓(2)=6 可知 2𝑎+𝑏=3． 又由（2）可知 −3≤2𝑎−𝑏≤3， 所以 0≤𝑎≤．

23

（i）当 𝑎=0 时，𝑓(𝑥)=3𝑥 为单调递增函数， 令 𝑓(𝑥)=−6，得 𝑥=−2．所以 𝑚=−2． （ii）当 𝑎>0 时，𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+(3−2𝑎)𝑥=𝑎(𝑥+此时，−

3−2𝑎2𝑎

3−2𝑎22𝑎

(3−2𝑎)2

4𝑎

)−，

=1−2𝑎≤0，且当 𝑥∈𝐑 时，

3−2𝑎2𝑎

3

𝑓(𝑥) 的最小值为 𝑓(−若 −

(3−2𝑎)2

4𝑎

)=−

(3−2𝑎)2

4𝑎3

．

<−6，即

3

9−6√22

≤𝑎≤2 时，𝑚 为方程 𝑓(𝑥)=6 的较小根．

所以，𝑚=−𝑎． 若 −

(3−2𝑎)2

4𝑎

<−6，即 0<𝑎<

3−2𝑎2𝑎

9−6√2 2

时，

由于 𝑓(𝑥) 在 [−,+∞) 上单调递增，

所以，𝑚 为方程 𝑓(𝑥)=−6 的较大根， 所以，𝑚=

2𝑎−3+√4𝑎2−36𝑎+92𝑎

．

10

综上所述可知：𝑚=

−2,

2𝑎−3+√4𝑎2−36+9 3 −,{𝑎

2𝑎

𝑎=0,0<𝑎<

9−6√22

9−6√22． 3

≤𝑎≤2

【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值、二次函数的性质与图像

22. 【答案】

(1) 原式=log327+(lg25+lg4)−5log=+2−=1．

4

4

4

1

7

37

(2) 原式=log33

−

14

+log3233+2×2log25=−++10=

4

2

134

．

【知识点】对数的概念与运算

11