人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）

一、选择题（共10题） 1. 设全集为 𝐑，函数 𝑓(𝑥)=

A． {𝑥∣ 𝑥≥2}

C． {𝑥∣ 𝑥≥2或𝑥=−1}

12

(𝑥+1)0√2−𝑥 的定义域为 𝑀，则 ∁𝑅𝑀= (  )

B． {𝑥∣ 𝑥<2且𝑥≠−1} D． {𝑥∣ 𝑥>2或𝑥=−1}

2. 设 𝛼∈{−1,1,,3}，则使幂函数 𝑦=𝑥𝛼 的定义域为 𝐑 且为奇函数的所有 𝛼 值为 (  )

3. 若函数 𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑥∈[0,+∞)) 是单调函数，则实数 𝑏 的取值范围是 (  )

4. 如果函数 𝑓(𝑥)=2(𝑚−2)𝑥2+(𝑛−8)𝑥+1(𝑚≥0,𝑛≥0) 在区间 [2,2] 上单调递减，则 𝑚𝑛 的最大值为 (  )

5. 已知定义在 (0,+∞) 上的函数 𝑓(𝑥) 为增函数，且 𝑓(𝑥)⋅𝑓(𝑓(𝑥)+𝑥)=1，则 𝑓(1) 等于 (  )

6. 定义在 𝐑 上的函数 𝑓(𝑥) 满足：𝑓(𝑥−2) 的对称轴为 𝑥=2，𝑓(𝑥+1)=𝑓(𝑥)(𝑓(𝑥)≠0)，且 𝑓(𝑥) 在区间 (1,2) 上单调递增，已知 𝛼，𝛽 是钝角三角形中的两锐角，则 𝑓(sin𝛼) 和 𝑓(cos𝛽) 的大小关系是 (  )

7. 已知函数 𝑓(𝑥) 满足：对任意 𝑥1,𝑥2∈𝐑 有 𝑓(𝑥1+𝑥2)=𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)+1，下列说法一定正确的是 (  )

4

1

1

1

A．1，3 B．−1，1 C．−1，3 D．−1，1，3

A． 𝑏≥0 B． 𝑏≤0 C． 𝑏>0 D． 𝑏<0

A． 16 B． 18 C． 25 D．

812

A． C．

1+√521+√52

1−√52

B．

1−√52

或 D． √5

A． 𝑓(sin𝛼)>𝑓(cos𝛽) C． 𝑓(sin𝛼)=𝑓(cos𝛽)

B． 𝑓(sin𝛼)<𝑓(cos𝛽) D．以上情况均有可能

A． 𝑓(𝑥) 为奇函数

1

B． 𝑓(𝑥) 为偶函数

C． 𝑓(𝑥)+1 为奇函数 D． 𝑓(𝑥)+1 为偶函数

𝑓(2𝑥+1)𝑥+2

8. 已知函数 𝑦=𝑓(𝑥) 的定义域为 [−6,1]，则函数 𝑔(𝑥)=

A． (−∞,−2)∪(−2,3] C． [−,−2]

27

的定义域是 (  )

B． [−11,3]

D． [−,−2)∪(−2,0]

27

9. 已知 𝐑 上的奇函数 𝑓(𝑥) 在区间 (−∞,0) 上单调递增，且 𝑓(−2)=0，则不等式 𝑓(𝑥)≤0 的解集为 (  )

10. 已知函数 𝑓(𝑥)=−𝑥2+4𝑥+𝑎(𝑥∈[0,1])，若 𝑓(𝑥) 有最小值 −2，则 𝑓(𝑥) 的最大值为 (  )

二、填空题（共6题）

11. 在平面直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，对于点 𝐴(𝑎,𝑏)，若函数 𝑦=𝑓(𝑥) 满足：∀𝑥∈[𝑎−1,𝑎+1]，都有

𝑦∈[𝑏−1,𝑏+1]，则称这个函数是点 𝐴 的“界函数”．已知点 𝐵(𝑚,𝑛) 在函数 𝑦=−2𝑥2 的图象上，若函数 𝑦=−2𝑥2 是点 𝐵 的“界函数”，则 𝑚 的取值范围是 ．

12. 已知 𝑓(𝑥)=𝑥3+3𝑥，𝑥∈𝐑，且 𝑓(𝑎−2)+𝑓(𝑎2)<0，则实数 𝑎 的取值范围是 ．

1,𝑥>0

𝑥=0，𝑔(𝑥)=𝑥2⋅𝑓(𝑥−1)，则函数 𝑔(𝑥) 的递减区间是 ． 13. 设函数 𝑓(𝑥)={0,

−1,𝑥<0

14. 若函数 𝑓(𝑥) 在区间 [𝑎,𝑏] 上单调，且 𝑓(𝑥) 的图象连续不间断，则函数 𝑓(𝑥) 的最值必在

处取得．

15. 已知函数 𝑦=𝑓(𝑥) 是定义在 𝐑 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上是增函数，若 𝑓(𝑎+1)≤𝑓(4)，

则实数 𝑎 的取值范围是 ．

16. 若函数 𝑦=𝑎∣𝑥−𝑏∣+2 在区间 (0,+∞) 上是增函数，则实数 𝑎，𝑏 满足的条件为 ．

三、解答题（共6题）

2

1

1

A． [−2,2]

C． (−∞,−2]∪[2,+∞) B． (−∞,−2]∪[0,2] D． [−2,0]∪[2,+∞)

A． −1 B． 0 C． 1 D． 2

17. 如图，用长为 1 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，若半圆的半径为 𝑥 ,求此框架围成

的面积 𝑦 与 𝑥 的函数式 𝑦=𝑓(𝑥) ,并写出它的定义域．

18. 中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，

达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是 𝜃1，环境温度是 𝜃0，则经过时间 𝑡（单位：分）后物体温度 𝜃 将满足：𝜃=𝜃0+(𝜃1−𝜃0)⋅e−𝑘𝑡，其中 𝑘 为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到 200 ml 初始温度为 98∘C 的水在 19∘C 室温中温度下降到相应温度所需时间如

从98∘C到90∘C所用时间1分58秒

下表所示：从98∘C到85∘C所用时间3分24秒（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，

从98∘C到80∘C所用时间4分57秒

ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025）

(1) 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间 𝑡（单位：分）关于冷却后水温 𝜃（单位：

关系，并选取一组数据求出相应的 𝑘 值．（精确到 0.01）

(2) “碧螺春”用 75∘C 左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200 ml

水煮沸后在 19∘C 室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由． A．5 B．7 C．10

19. 解答下列问题：

(1) 函数的积的定义：一般地，已知两个函数 𝑦=𝑓(𝑥)（𝑥∈𝐷1），𝑦=𝑔(𝑥)（𝑥∈𝐷2），设 𝐷=

𝐷1∩𝐷2，并且 𝐷 不是空集，那么当 𝑥∈𝐷 时，𝑦=𝑓(𝑥) 与 𝑦=𝑔(𝑥) 都有意义．于是把函数 叫做函数 𝑦=𝑓(𝑥) 与 𝑦=𝑔(𝑥) 的积． (2) 如何研究和函数与积函数．

20. 函数 𝑓(𝑥)=(𝑚2−𝑚−1)𝑥𝑚

2+𝑚−3

∘

C）的函数

是幂函数，且当 𝑥∈(0,+∞) 时，𝑓(𝑥) 是增函数，求 𝑓(𝑥)

3

的解析式．

21. 对于函数 𝑦=𝑓(𝑥) 与常数 𝑎，𝑏，若 𝑓(2𝑥)=𝑎𝑓(𝑥)+𝑏 恒成立，则称 (𝑎,𝑏) 为函数 𝑓(𝑥) 的

一个“𝑃 数对”，设函数 𝑓(𝑥) 的定义域为 (0,+∞)，且 𝑓(1)=3．

(1) 若 (𝑎,𝑏) 是 𝑓(𝑥) 的一个“𝑃 数对”，且 𝑓(2)=6，𝑓(4)=9，求常数 𝑎，𝑏 的值；

(2) 若 (1,1) 是 𝑓(𝑥) 的一个“𝑃 数对”，且 𝑓(𝑥) 在 [1,2] 上单调递增，求函数 𝑓(𝑥) 在 [1,8]

上的最大值与最小值；

(3) 若 (−2,0) 是 𝑓(𝑥) 的一个“𝑃 数对”，且当 𝑥∈[1,2) 时，𝑓(𝑥)=𝑘−∣2𝑥−3∣，求 𝑘 的值

及 𝑓(𝑥) 在区间 [1,2𝑛)(𝑛∈𝐍+) 上的最大值与最小值．

22. 某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为 𝑥 元时，

销售量可达到 (15−0.1𝑥) 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 30 元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为 10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：

(1) 每套丛书售价定为 100 元时，书商所获得的总利润是多少万元？ (2) 每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？

4

答案

一、选择题（共10题） 1. 【答案】C

【解析】由题意得 {

𝑥+1≠0,

解得 𝑥<2 且 𝑥≠−1，

2−𝑥>0,

所以 𝑀={𝑥∣ 𝑥<2且𝑥≠−1}， 故 ∁𝑅𝑀={𝑥∣ 𝑥≥2或𝑥=−1}． 【知识点】函数的定义域的概念与求法

2. 【答案】A

【解析】当 𝛼=−1,1,3 时幂函数为奇函数，当 𝛼=−1 时定义域不是 𝐑，所以 𝛼=1,3． 【知识点】幂函数及其性质

3. 【答案】A

【解析】因为 𝑦 在 [0,+∞) 上为单调函数， 所以 𝑥=−≤0，即 𝑏≥0．

2𝑏

【知识点】函数的单调性

4. 【答案】B

【解析】 𝑚≠2 时，抛物线的对称轴为 𝑥=−𝑚−2． 据题意，当 𝑚>2 时，−𝑚−2≥2 即 2𝑚+𝑛≤12． 因为 √2𝑚⋅𝑛≤

2𝑚+𝑛2

𝑛−8

𝑛−8

≤6，所以 𝑚𝑛≤18．

由 2𝑚=𝑛 且 2𝑚+𝑛=12 得 𝑚=3，𝑛=6． 当 𝑚<2 时，抛物线开口向下，据题意得，−因为 √2𝑛⋅𝑚≤

2𝑛+𝑚2

𝑛−8𝑚−2

≤ 即 𝑚+2𝑛≤18．

2

1

≤9，所以 𝑚𝑛≤

812

．

由 2𝑛=𝑚 且 𝑚+2𝑛=18 得 𝑚=9>2，故应舍去． 要使得 𝑚𝑛 取得最大值，应有 𝑚+2𝑛=18(𝑚<2,𝑛>8)． 所以 𝑚𝑛=(18−2𝑛)𝑛<(18−2×8)×8=16，所以最大值为 18． 【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值

5. 【答案】B

【解析】令 𝑥=1，得 𝑓(1)𝑓(𝑓(1)+1)=1， 令 𝑡=𝑓(1)，则 𝑡𝑓(𝑡+1)=1，

5

所以 𝑓(𝑡+1)=𝑡．

令 𝑥=𝑡+1，则 𝑓(𝑡+1)𝑓(𝑓(𝑡+1)+𝑡+1)=𝑡⋅𝑓(𝑡+𝑡+1)=1， 所以 𝑓(𝑡+𝑡+1)=𝑡=𝑓(1)．

因为函数 𝑓(𝑥) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数， 所以 𝑡+𝑡+1=1，变形可得 𝑡2−𝑡−1=0， 解得 𝑡=

1+√52

1

11

1

1

1

1

1

1

或 𝑡=

1−√52

．

1−√521

所以 𝑓(1)=

1+√52

或 𝑓(1)=

．

令 𝑥=2，得 𝑓(2)𝑓(𝑓(2)+2)=1， 令 𝑠=𝑓(2)，则 𝑠𝑓(𝑠+2)=1， 所以 𝑓(𝑠+2)=𝑠， 令 𝑥=𝑠+2，

则 𝑓(𝑠+)⋅𝑓(𝑓(𝑠+)+

22

1

21

1

1

1𝑠+2

1

11

1

)=𝑓(+

𝑠

𝑠

112

2𝑠+1

)=1，

则 𝑓(𝑠+2𝑠+1)=𝑠=𝑓(2)． 所以 +

𝑠1

22𝑠+1

=2，

所以 4𝑠2−2𝑠−1=0， 解得 𝑠=

1−√

或 𝑠=

1+√

，

1+√

所以 𝑓(2)=

1−√

或 𝑓(2)=

．

因为 𝑓(1)<𝑓(2)， 所以 𝑓(1)=

1−√52

．

【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性

6. 【答案】A

【知识点】抽象函数、函数的单调性

7. 【答案】C

6

【解析】方法一：

对任意的 𝑥1,𝑥2∈𝐑 有 𝑓(𝑥1+𝑥2)=𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)+1， 取 𝑥1=𝑥2=0 得 𝑓(0)=−1， 取 𝑥1=𝑥，𝑥2=−𝑥 得， 𝑓(0)=𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)+1，

所以 𝑓(𝑥)+1=−𝑓(−𝑥)=−[𝑓(−𝑥)+1]， 所以 𝑓(𝑥)+1 为奇函数． 方法二：

由已知 𝑓(𝑥1+𝑥2)=𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)+1， 设 𝑥1=𝑥2=0，则 𝑓(0)=2𝑓(0)+1， 解得：𝑓(0)=−1，

又设 𝑥1=𝑥，𝑥2=−𝑥，则 𝑥1+𝑥2=𝑥−𝑥=0， 所以 𝑓(0)=𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)+1，

所以 𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)+1+1=0，

所以 [𝑓(𝑥)+1]+[𝑓(−𝑥)+1]=0，由奇函数定义可知，𝑓(𝑥)+1 为奇函数． 【知识点】抽象函数、函数的奇偶性

8. 【答案】D

【解析】因为 𝑓(𝑥) 的定义域为 [−6,1]， 所以 −6≤𝑥≤1， 因为 𝑔(𝑥)=

𝑓(2𝑥+1)𝑥+2

，

所以 −6≤2𝑥+1≤1 且 𝑥≠−2， 所以 −≤𝑥≤0 且 𝑥≠−2，

27

所以 𝑥∈[−2,−2)∪(−2,0]． 【知识点】函数的定义域的概念与求法

9. 【答案】B

【解析】因为函数在 (−∞,0) 上单调递增，且 𝑓(−2)=0， 所以当 𝑥∈(−∞,−2] 时，𝑓(𝑥)≤0； 当 𝑥∈(−2,0) 时，𝑓(𝑥)>0．

又函数是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，𝑓(0)=0，且 𝑓(2)=0，所以当 𝑥∈(0,2] 时，𝑓(𝑥)≤0；

当 𝑥∈(2,+∞) 时，𝑓(𝑥)>0．

所以 𝑓(𝑥)≤0 的解集是 (−∞,−2]∪[0,2]．故选B． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性

10. 【答案】C

【解析】函数 𝑓(𝑥)=−𝑥2+4𝑥+𝑎 的图象开口向下，

7

7

对称轴为直线 𝑥=2，于是函数 𝑓(𝑥) 在区间 [0,1] 上单调递增， 从而 𝑓(0)=−2，即 𝑎=−2，于是最大值为 𝑓(1)=−1+4−2=1． 【知识点】函数的最大（小）值

二、填空题（共6题） 11. 【答案】 [−,]

2211

【解析】 𝐵(𝑚,𝑛) 在 𝑦=−𝑥2 上，

2

1

所以 𝑛=−2𝑚2， 所以 ∀𝑥∈[𝑚−1,𝑚+1]， 都有 𝑦∈[−𝑚2−1,𝑚2+1]，

2

2

1

1

1

即都有 𝑦max≤2𝑚2+1，𝑦min≥2𝑚2−1， 所以下面讨论 3𝑥∈[𝑚−1,𝑚+1] 时，𝑦 的最值， ① 𝑚≤−1 时，𝑚+1≤0， 所以单调减，

所以 𝑦max=−2(𝑚+1)2，𝑦min=−2(𝑚−1)2， −2(𝑚+1)2≤2𝑚2+1,

所以 {1 122()−2𝑚−1≥2𝑚−1,无解．

② −1<𝑚≤0 时，

0<𝑚+1≤1，−2<𝑚−1≤−1，

所以 𝑦max=0，𝑦min=−(𝑚−1)2 (取不到)，

21

1

1

1

1

1

11

所以 {

0≤𝑚2+1,

122

1

1

−(𝑚−1)2≥𝑚2−1,

2

1

所以 −2≤𝑚≤0． ③ 0<𝑚≤1 时，

1<𝑚+1≤2，−1<𝑚−1≤0， 所以 𝑦max=0，𝑦min=−2(𝑚+1)2，

1

8

所以 {

0≤𝑚2+1,−(𝑚+1

2

1

12

1

)2

≥𝑚−1,

12

2

所以 0<𝑚≤2．

④ 𝑚>1 时，𝑚−1>0，

所以 𝑦max=−(𝑚−1)2 (取不到)，𝑦min=−(𝑚+1)2，

2

2

1

1

−(𝑚−1)2≤𝑚2+1,

2

所以 {2 1122

−(𝑚+1)≥𝑚−1,

2

2

11

无解．

综上：−≤𝑚≤．

2

2

1

1

【知识点】函数的最大（小）值

12. 【答案】 (−2,1)

【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性

13. 【答案】 [0,1)

𝑥2,𝑥>1

【解析】由题意知 𝑔(𝑥)={0,𝑥=1，

2

−𝑥,𝑥<1函数图象如图所示，其递减区间是 [0,1)．

【知识点】函数的单调性

14. 【答案】端点

【知识点】函数的最大（小）值

15. 【答案】 [−5,3]

【解析】函数 𝑦=𝑓(𝑥) 是定义在 𝐑 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上是增函数， 可得 𝑓(𝑥)=𝑓(∣𝑥∣)，

9

则 𝑓(𝑎+1)≤𝑓(4)，即为 𝑓(∣𝑎+1∣)≤𝑓(4)， 可得 ∣𝑎+1∣≤4，即 −4≤𝑎+1≤4， 解得 −5≤𝑎≤3，

则实数 𝑎 的取值范围是 [−5,3]． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性

16. 【答案】 𝑎>0，𝑏≤0

【知识点】函数的单调性

三、解答题（共6题）

⏜=πx , 17. 【答案】𝐴𝐵=2𝑥，𝐶𝐷

于是 𝐴𝐷=

1−2𝑥−πx

2

, +

πx22

因此 𝑦=2𝑥⋅即 𝑦=−

π+42

1−2𝑥−πx

2

,

𝑥2+𝑥 ,

2𝑥>0,

由 {1−2𝑥−πx

2

>0,

1

得 0<𝑥<π+2 , 函数的定义域为 (0,π+2)

【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的模型及其实际应用

18. 【答案】

(1) 由 𝜃−𝜃0+(𝜃1−𝜃0)⋅e−𝑘𝑡 得 e−𝑘𝑡=即 −𝑘𝑡=ln𝜃

𝜃−𝜃0

1−𝜃0

1

𝜃−𝜃0𝜃1−𝜃0

，

，𝑡=𝑘ln

1

𝜃1−𝜃0𝜃−𝜃0

，

在环境温度为 𝜃0=19∘C，选取从 𝜃=98∘C 下降到 𝜃=90∘C 所用时间约为 2 分钟这组数据有 2=ln，即 𝑘=

𝑘

711

79

ln79−ln71

2

≈0.05；

1

79

选取从 𝜃=98∘C 降到 𝜃=85∘C 期时间的为 3.4 分钟这组数据有 3.4=𝑘ln66， 即 𝑘=

ln79−ln66

3.4

≈0.05；

1

79

选取从们 𝜃=98∘C 得到 𝜃=80∘C 所期时的为 5 分钟这组数据有 5=𝑘ln61， 即 𝑘=

ln79−ln61

5

≈0.05；

10

故 𝑘≈0.05． (2) B

200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选B． 理由如下： 由（1）得 𝑡=20ln

79𝜃−79

，

当 𝜃=75∘C 时，有 𝑡=20×(ln79−ln56)≈6.88．

所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳． 【知识点】函数模型的综合应用

19. 【答案】

(1) 𝑦=𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)（𝑥∈𝐷）

(2) 首先要确定和函数与积函数的定义域，然后化简整理和（积）函数的解析式，结合解析式研究函数的性质．

【知识点】函数的相关概念

20. 【答案】根据幂函数的定义得 𝑚2−𝑚−1=1，

解得 𝑚=2 或 𝑚=−1．

当 𝑚=2 时，𝑓(𝑥)=𝑥3 在 (0,+∞) 上是增函数；

当 𝑚=−1 时，𝑓(𝑥)=𝑥−3 在 (0,+∞) 上是减函数，不符合要求． 故 𝑓(𝑥)=𝑥3．

【知识点】幂函数及其性质

21. 【答案】

𝑎𝑓(1)+𝑏=𝑓(2),

(1) 由题意知 {

𝑎𝑓(2)+𝑏=𝑓(4).3𝑎+𝑏=6,即 {

6𝑎+𝑏=9.解得 {

𝑎=1,

𝑏=3.

(2) 因为 (1,1) 是 𝑓(𝑥) 的一个“𝑃 数对”， 所以 𝑓(2𝑥)=𝑓(𝑥)+1，

所以 𝑓(2)=𝑓(1)+1=4，𝑓(4)=𝑓(2)+1=5，𝑓(8)=𝑓(4)+1=6． 因为 𝑓(𝑥) 在 [1,2] 上单调递增，

所以当 𝑥∈[1,2] 时，𝑓(𝑥)max=𝑓(2)=4，𝑓(𝑥)min=𝑓(1)=3， 所以当 𝑥∈[1,2] 时，3≤𝑓(𝑥)≤4； 当 𝑥∈[2,4] 时，2∈[1,2]，3≤𝑓(2)≤4， 所以 4≤𝑓(𝑥)=𝑓(2)+1≤5；

11

𝑥𝑥

𝑥

当 𝑥∈[4,8] 时，∈[2,4]，4≤𝑓()≤5，

22所以 5≤𝑓(𝑥)=𝑓(2)+1≤6．

综上，当 𝑥∈[1,8] 时，3≤𝑓(𝑥)≤6．

故 𝑓(𝑥) 在 [1,8] 上的最大值为 6，最小值为 3．

(3) 当 𝑥∈[1,2) 时，𝑓(𝑥)=𝑘−∣2𝑥−3∣，令 𝑥=1，可得 𝑓(1)=𝑘−1=3，解得 𝑘=4， 所以 𝑥∈[1,2) 时，𝑓(𝑥)=4−∣2𝑥−3∣， 故 𝑓(𝑥) 在 [1,2) 上的取值范围是 [3,4]． 又 (−2,0) 是 𝑓(𝑥) 的一个“𝑃 数对”， 所以 𝑓(2𝑥)=−2𝑓(𝑥) 恒成立，

当 𝑥∈[2𝑘−1,2𝑘)(𝑘∈𝐍+) 时，2𝑘−1∈[1,2)， 𝑓(𝑥)=−2𝑓(2)=4𝑓(4)=⋯=(−2)𝑘−1⋅𝑓(2𝑘−1)，

故 𝑘 为奇数时，𝑓(𝑥) 在 [2𝑘−1,2𝑘) 上的取值范围是 [3×2𝑘−1,2𝑘+1]； 当 𝑘 为偶数时，𝑓(𝑥) 在 [2𝑘−1,2𝑘) 上的取值范围是 [−2𝑘+1,−3×2𝑘−1]．

所以当 𝑛=1 时，𝑓(𝑥) 在 [1,2𝑛) 上的最大值为 4，最小值为 3；

当 𝑛 为不小于 3 的奇数时，𝑓(𝑥) 在 [1,2𝑛) 上的最大值为 2𝑛+1，最小值为 −2𝑛； 当 𝑛 为不小于 2 的偶数时，𝑓(𝑥) 在 [1,2𝑛) 上的最大值为 2𝑛，最小值为 −2𝑛+1． 【知识点】函数的最大（小）值、抽象函数

22. 【答案】

(1) 每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15−0.1×100=5 (万套)，所以每套丛书的供货价格为 30+

105

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥𝑥

=32 (元)，

故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元)．

15−0.1𝑥>0,

(2) 每套丛书售价定为 𝑥 元时，由 { 得 0<𝑥<150 .

𝑥>0,设单套丛书的利润为 𝑃 元，

则 𝑃=𝑥−(30+15−0.1𝑥)=𝑥−150−𝑥−30， 因为 0<𝑥<150，所以 150−𝑥>0， 所以 𝑃=−[(150−𝑥)+又 (150−𝑥)+

100150−𝑥

100150−𝑥

10

100

]+120，

100150−𝑥

≥2√(150−𝑥)⋅

100

=2×10=20，

当且仅当 150−𝑥=150−𝑥，即 𝑥=140 时等号成立， 所以 𝑃max=−20+120=100 .

故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．

12

【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值、均值不等式的应用

13